追及与相遇问题知识详解及典型例题.docx

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追及与相遇问题知识详解及典型例题

追及与相遇问题知识详解及典型例题

知识要点

  追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。

追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键。

速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。

在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：

两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。

解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。

1.追及

追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。

如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。

若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。

再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。

“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：

两物体速度相等，即v甲＞v乙，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：

假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上去，若v甲＜v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。

两物体恰能“相遇”的临界条件：

两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同。

2.相遇

   同向运动的两物体追及即相遇，分析同1。

   相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

三.解题方法指导：

1.解“追及”“相遇”问题的思路：

解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等。

解题的基本思路是：

①根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图；②根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程。

注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。

③由运动示意图找出两物体位移间关联方程。

④联立方程求解。

运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：

解析法、图象法、极值法等。

应适当地做些一题多解的练习，以开启思路，培养发散思维的能力。

但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主。

通过适当的练习后，总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题，应在思考的基础上总结出临界状态的特点，找出临界条件。

2.分析“追及”“相遇”问题应注意：

①分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：

一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如“两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。

两个关系是时间关系和位移关系。

其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口，也是解题常用方法。

因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。

养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。

特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。

②分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。

特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。

③仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。

往往对应一个临界状态，由此找出满足相应的临界条件。

还要注意：

由于公式较多，且公式间有相互联系，因此，题目常可一题多解。

解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案。

解题时除采用常规的公式解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是解题中常用的方法。

【典型例题】

[例1]火车以速度v1向前行驶。

司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为_____________________。

分析：

司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。

解法一：

当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为t，则

解法二：

以前车为参照系，后车的速度为

，当后车的速度减为零时，其位移小于s，两车不会相撞，即

解法三：

作出两车运动的速度—时间图像如图所示，由图像可知：

在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于s时，两车不会相撞。

即

解法四：

后车的位移为

，前车的位移为

，要使两车不相撞，即

说明此二次函数无解，即

以上四种解法中，以第二种解法最简捷。

[例2]甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

解析：

由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t   

①当a1v乙，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次；②当a1=a2时，alt=a2t，可得v甲>v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次：

③当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲>v乙，随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大；当alt—a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t—a2t>v0，则有v甲

解法一：

由于x甲=v0t+

a2t2，x乙=

a1t2，

相遇时有x甲—x乙=x，

则：

v0t+

a2t2－

a1t2=x，

（a1—a2）t2—v0t+x=0

所以t=

    ①

①当a1

②当a1=a2时，x甲—x乙=v0t十

a2t2—

a1t2=v0t=x，

所以t=

，t只有一个解，则相遇一次。

③当a1＞a2时，若

<2（a1—a2）x，①式无解，即不相遇，

若

=2（a1—a2）x，①式t只有一个解，即相遇一次。

若

＞2（a1—a2）x，①式t有两个正解，即相遇两次。

解法二：

利用v—t图象求解，

①当a1

的I和Ⅱ，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。

②当a1

③当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和Ⅱ，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移。

若划实斜线部分面积小于S，则不能相遇；若划实斜线部分面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于s，如图中0─t1内划实斜线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1—t时间内，甲车超前乙车的位移为t1─t时间内划实斜线部分的面积，随后在t─t2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。

【模拟试题】

1.甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象由图所示，下列说法正确的是（  B  ）

A.甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动

B.两物体两次相遇的时刻分别为2s末和6s末

C.乙在前4s内的平均速度等于甲的速度

D.2s后甲、乙两物体的速度方向相反

2.甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标，从此开始甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（  B  ）

　　A.甲车先通过下一个路标          B.乙车先通过下一个路标

　　C.丙车先通过下一个路标          D.条件不足，无法判断

3.摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方s处，有一辆汽车正以v2

为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速。

求其加速度至少需要多少？

13.解：

（1）如图（甲）所示，其相对位移为

   即

（甲）

（2）如图（乙）所示，当两车间距较小，即

时，两车不发生碰撞的条件是，其相对速度为0，即二者有共同速度

。

因为

，所以

，

由此可得摩托车的加速度为

（3）如图（丙）所示，两车间距较大，即

，汽车经过时间

先停下，摩托车经时间

后停下，这种情况下两车不发生碰撞的条件为

。

有

这时摩托车的加速度为

4.甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上，车速分别为6m/s、8m/s、9m/s。

当甲、乙、丙三车依次相距5m时，乙驾驶员发现甲车开始以1m/s2的加速度做减速运动，于是乙也立即做减速运动，丙车亦同样处理。

如图所示。

直到三车都停下来时均未发生撞车事故。

求丙车减速运动的加速度至少应为多大？

解：

先研究两车行驶中的一种特殊临界状态，两车同时停下且刚好接触在一起。

则

（1）若

，要使其同时停下则必然相碰。

即是说

仍要增大，

按DC线所示规律变化，在D处时二者相距最近，如图所示。

由题意知，

有

（1）

（2）如果

，则

还可再小些，二者不同时停下，停止时相对位移为

，如图中

线那样变化。

有

三式联立得

（2）

将题中数据代入可得

由

（1）式得

乙、丙两车间距

由

（2）式得

一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申

A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A在前，速度为vA＝10m/s，B在后，速度为vB＝30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：

（1）车若要仍按原速前进，两车是否相撞？

试说明理由。

（2）B在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5s后加速前进，A车加速度为多大时，才能避免事故发生？

（不计信号从A传到B的时间）

第一问的解法如下：

解：

先求B车从刹车到停下来所需时间tB

　　由sB=

vB·tB得BAA’B’

　tB=

=2×

s=120s

再求在相同的时间内A车通过的位移sA

sA=vA·tB=10×120m=1200m

最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判断结果

由于sA+s0=（1200+500）m=1700m故sA+s0＜sB由位置关系图可知两车会相撞。

提问1：

通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？

解：

设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有sA+s0=sB

而sA=vA·t，sB=vB·t+

at2（其中a为B车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a＝-0.25m/s2），

将sA、sB的表达式代入上式解得

t1=31s，　　　t2=129s

提问2：

为什么有两个解？

t2是否有意义？

　　答：

A、B两车相撞两次，第一次是B车追上A车，第二次是A车追上B车。

两车只能相撞一次，故t2没有意义。

提问3：

B车追上A车时，哪车的速度大？

答：

B车的速度大，因为B车从减速到和A车的速度相等所需的时间为：

t’=

=

s=80s，因为t’＞t1，故B车的速度大。

提问4：

若A、B两车相遇但不会相撞，A车又追上B车时，B车的速度是多大？

从B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？

答：

由于B车刹车后经过120s后就停下来，故129s时它的速度仍为零。

由于B车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：

t2’=

=

s=130s。

这是一个实际问题，要注意解的合理性。

提问5：

若开始两车相距700m，试问两车是否会相撞？

答：

由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0＞sB，故两车不会相撞。

提问6：

若用第二种方法，即设B刹车后经过时间t两车相撞，方程是否有解呢？

答：

由sA+s0=sB得

vA·t+s0=vB·t+

at2

即10t+700=30t-0.125t2

移项并整理得

t2-160t+5600=0

该方程的判别式为

△=1602-4×5600=3200＞0，

故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。

原来先是B超过A，后来A又超过B，我们不能认为开始时A在B的前面，后来A仍在B的前面，就得出两车不相撞的结论。

由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。

提问7：

试问：

若要使两车不相撞，开始时两车间的距离s0至少为多少？

　　　解：

设两车经过时间t后相撞，由位置关系易得出：

　　　　　vA·t+s0=vB·t+

at2

　　　　　即10t+s0=30t-0.125t2

移项并整理得

　　　　　t2-160t+8s0=0

要使两车不相撞，即要使该方程无解，即△＜０

　　　　　即　1602-4×8s0＜0

故s0＞800m，即开始时两车间的距离至少为800m。

提问8：

若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？

　　答：

应该刚好相等，刚开始时B车的速度比A车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。

若s0=800m时，解得t=80s，此时B车的速度为

vB’=vB+at=30+（-025）×80m/s=10m/s=vA。

规律总结：

求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间t后两物体相撞，根据位移关系列出方程，它一般是关于t的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若△≥０，则二者能相撞，若△＜０，则不能相撞；若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；也可设经过时间t后两者相距△S，根据位置关系写出△S的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。

这样，该题第二问的解法很易得出：

设B车刹车后经过ts两车刚好相撞，则应有：

sB=sA+s0

即vB·t+

aBt2=vA·t0+vA（t-t0）+

aA（t-t0）2+s0

30t-

t2=15+10（t-1.5）+

aA（t-1.5）2+500

刚好相撞，则△=0，解得aA=0.16m/s2