③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇
,则t2时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
①表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移;
②x0是开始追及以前两物体之间的距离;
③t2-t0=t0-t1;
④v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度.
二、相遇问题
这一类:
同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
第二类:
相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.
解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了.
求解追及问题的分析思路
(1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系.
(2)通过对运动过程的分析,画出简单的图示,找出两物体的运动位移间的关系式.追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同.
(3)寻找问题中隐含的临界条件.例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离,等等.利用这些临界条件常能简化解题
过程.
(4)求解此类问题的方法,除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次
函数求极值,及应用图象法和相对运动知识求解.
相遇问题
相遇问题的分析思路:
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.
(1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系.
(2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系.
(3)寻找问题中隐含的临界条件.
(4)与追及中的解题方法相同.
2、典型例题
【例1】物体A、B同时从同一地点,沿同一方向运动,A以10m/s的速度匀速前进,B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动,求A、B再次相遇前两物体间的最大距离.
【解析一】 物理分析法
A做υA=10m/s的匀速直线运动,B做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运动.根据题意,开始一小xx内,A的速度大于B的速度,它们间的距离逐渐变大,当B的速度加速到大于A的速度后,它们间的距离又逐渐变小;A、B间距离有最大值的临界条件是υA=υB.①
设两物体经历时间t相距最远,则υA=at②
把已知数据代入①②两式联立得t=5s
在时间t内,A、B两物体前进的距离分别为
A、B再次相遇前两物体间的最大距离为
【解析二】 相对运动法
因为本题求解的是A、B间的最大距离,所以可利用相对运动求解.选B为参考系,则A相对B的初速度、末速度、加速度分别是υ0=10m/s、υt=υA-υB=0、a=-2m/s2.
根据υt2-υ0=2as.有
解得A、B间的最大距离为sAB=25m.
【解析三】极值法
物体A、B的位移随时间变化规律分别是sA=10t,.
则A、B间的距离,可见,Δs有最大值,且最大值为
【解析四】图象法
根据题意作出A、B两物体的υ-t图象,如图1-5-1所示.由图可知,A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA=υB,得t1=5s.
A、B间距离的最大值数值上等于ΔOυAP的面积,即.
【答案】25m
【点拨】相遇问题的常用方法
(1)物理分析法:
抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,按(解法一)中的思路分析.
(2)相对运动法:
巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系.
(3)极值法:
设相遇时间为t,根据条件xx,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若△>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若△=0,说明刚好追上或相碰;若△<0,说明追不上或不能相碰.
(4)图象法:
将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出,然后利用图象求解.
●拓展
如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点,沿同一方向做直线运动的υ-t图象,由图象可以看出 ( 〕
A.这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末
B.这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末
C.两物体相距最远的时刻是2s末
D.4s末以后甲在乙的前面
【解析】从图象可知两图线相交点1s末和4s末是两物速度相等时刻,从0→2s,乙追赶甲到2s末追上,从2s开始是甲去追乙,在4s末两物相距最远,到6s末追上乙.故选B.
【答案】B
【实战演练1】(2011·新课标全国卷)甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动,加速度方向一直不变。
在第一xx间隔内,两辆汽车的加速度大小不变,汽车乙的加速度大小是甲的两倍;在接下来的相同时间间隔内,汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍,汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。
求甲乙两车各自在这两xx间隔内走过的总路程之比。
【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程,再根据两车加速度的关系,求出两车路程之比。
【精讲精析】设汽车甲在第一xx间隔末(时刻t0)的速度为v,第一xx间隔内行驶的路程为s1,加速度为a,在第二xx间隔内行驶的路程为s2,由运动学公式有,
v=at0①
s1=at02②
s2=vt0+2at02③
设汽车乙在时刻t0的速度为v′,在第一、二xx间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′,同理有,
v′=2at0④
s1′=2at02⑤
s2′=v′t0+at02⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s′,则有
s=s1+s2⑦
s′=s1′+s2′⑧
联立以上各式解得,甲、乙两车各自行驶路程之比为
=
答案:
【实战演练2】(2011·xx省级示范高中名校联考)甲、乙两辆汽车,同时在一条平直的公路上自xx运动,开始时刻两车平齐,相对于地面的v-t图象如图所示,关于它们的运动,下列说法正确的是( )
A.甲车中的乘客说,乙车先以速度v0向西做匀减速运动,后xx做匀加速运动
B.乙车中的乘客说,甲车先以速度v0向西做匀减速运动,后做匀加速运动
C.根据v-t图象可知,开始乙车在前,甲车在后,两车距离先减小后增大,当乙车速度增大到v0时,两车恰好平齐
D.根据v-t图象可知,开始甲车在前,乙车在后,两车距离先增大后减小,当乙车速度增大到v0时,两车恰好平齐
【答案】A
【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系,相当于甲车静止不动,乙车以初速度v0向西做减速运动,速度减为零之后,再xx做加速运动,所以A正确;乙车中的乘客以乙车为参考系,相当于乙车静止不动,甲车以初速度v0xx做减速运动,速度减为零之后,再向西做加速运动,所以B错误;以地面为参考系,当两车速度相等时,距离最远,所以C、D错误.
考点2相遇问题
相遇问题的分析思路:
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.
(1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系.
(2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系.
(3)寻找问题中隐含的临界条件.
(4)与追及中的解题方法相同.
【例2】甲、乙两物体相距s,同时同向沿同一直线运动,甲在前面做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动,乙在后做初速度为υ0,加速度为a2的匀加速直线运动,则 ( )
A.若a1=a2,则两物体可能相遇一次
B.若a1>a2,则两物体可能相遇二次
C.若a1<a2,则两物体可能相遇二次
D.若a1>a2,则两物体也可相遇一次或不相遇
【解析】 设乙追上甲的时间为t,追上时它们的位移有
上式化简得:
解得:
(1)当a1>a2时,差别式“△”的值由υ0、a1、a2、s共同决定,且,而△的值可能小于零、等于零、大于零,则两物体可能不相遇,相遇一次,相遇两次,所以选项B、D正确.
(2)当a1<a2时,t的表达式可表示为
显然,△一定大于零.且,所以t有两解.但t不能为负值,只有一解有物理意义,只能相遇一次,故C选项错误.
(3)当a1=a2时,解一元一次方程得t=s/υ0,一定相遇一次,故A选项正确.
【答案】A、B、D
【点拨】注意灵活运用数学方法,如二元一次方程△判别式.本题还可以用v—t图像分析求解。
●拓展
A、B两棒均长1m,A棒悬挂于天花板上,B棒与A棒在一条竖直线上,直立在地面,A棒的下端与B棒的上端之间相距20m,如图1-5-3所示,某时刻烧断悬挂A棒
的绳子,同时将B棒以v0=20m/s的初速度竖直上抛,若空气阻力可忽略不计
,且g=10m/s2,试求:
(1)A、B两棒出发后何时相遇?
(2)A、B两棒相遇后,交错而过需用多少时间?
【解析】本题用选择适当参考系,能起到点石成金的效用。
由于A、B两棒均只受重力作用,则它们之间由于重力引起的速度改变相同,它们之间只有初速度导致的相对运动,故选A棒为参考系,则B棒相对A棒作速度为v0的匀速运动。
则A、B两棒从启动至相遇需时间
当A、B两棒相遇后,交错而过需时间
【答案】
(1)1s
(2)0.1s
【例3】(易错题)经检测汽车A的制动性能:
以标准速度20m/s在平直公路上行驶时,制动后40s停下来。
现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶,司机立即制动,能否发生撞车事故?
【错解】设汽车A制动后40s的位移为x1,货车B在这xx内的位移为x2。
据得车的加速度a=-0.5m/s
又得
x2=v2t=6×40=240(m)
两车位移差为400-240=160(m)
因为两车刚开始相距180m>160m
所以两车不相撞。
【错因】这是典型的追击问题。
关键是要弄清不相撞的条件。
汽车A与货车B同速时,两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。
当两车同速时,两车位移差大于初始时刻的距离时,两车相撞;小于、等于时,则不相撞。
而错解中的判据条件错误导致错解。
【正解】如图1-5汽车A以v0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。
据加速度公式可求出a=-0.5m/s2当A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻,这时若能超过B车则相撞,反之则不能相撞。
据可求出A车减为与B车同速时的位移
此时间t内B车的位移速s2,则
△x=364-168=196>180(m)
所以两车相撞。
【点悟】分析
追击问题应把两物体的位置关系图画好。
如图1-5-4,通过此图理解物理情景。
本题也可以借图像帮助理解,如图1-5-5所示,阴影区是A车比B车多通过的最多距离,这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞。
小于、等于则不相撞。
从图中也可以看出A车速度成为零时,不是A车比B车多走距离最多的时刻,因此不能作为临界条件分析。
【实战演练1】(2011·xx模拟)在平直公路上,自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标,它们的位移随时间变化的规律为:
汽车x=10t-t2,自行车x=5t,(x的单位为m,t的单位为s),则下列说法正确的是()
A.汽车做匀加速直线运动,自行车做匀速直线运动
B.经过路标后的较短时间内自行车在前,汽车在后
C.在t=2.5s时,自行车和汽车相距最远
D.当两者再次同时经过同一位置时,它们距路标12.5m
【答案】选C.
【详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知,汽车做匀减速运动,v0=10m/s,a=-2m/s2,自行车做匀速直线运动,v=5m/s,故A、B错误.当汽车速度和自行车速度相等时,相距最远.根据v=v0+at,t=2.5s,C正确.当两车位移相等时再次经过同一位置,故10t′-t′2=5t′,解得t′=5s,
x=25m,故D错误.
【实战演练2】(2011·xx三校联考)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度—时间图象如图所示.在0~t2时间内,下列说法中正确的是( )
A.Ⅰ物体所受的合外力不断增大,Ⅱ物体所受的合外力不断减小
B.在第一次相遇之前,t1时刻两物体相距最远
C.t2时刻两物体相遇
D.Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是
【答案】B
【详解】速度—时间图象中Ⅰ物体的斜率逐渐减小,即Ⅰ物体的加速度逐渐减小,所以Ⅰ物体所受合外力不断减小,A错误;在0~t1时间内,Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度,所以两物体间距离不断增大,当两物体速度相等时,两物体相距最远,B正确;在速度—时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移,故到t2时刻,Ⅰ物体速度图线所围面积大于Ⅱ物体速度图线所围面积,两物体平均速度不可能相同,C、D错误.
◇限时基础训练(20分钟)
1.如图1-2-6所示,某同学沿一直线行走,现用频闪照相记录了他行走xx9个位置的图片,观察图片,能大致反映该同学运动情况的速度-时间图象是图1-2-7xx的()
1.答案:
C.解析:
从图片可知,该同学在连续相等时间间隔内位移先逐渐增多,说明先向右做加速运动;后向左连续相等时间内位移相等,说明后向左做匀速运动.选项C正确.
2.两辆游戏赛车在a、b在两条平行的直车道上行驶.t=0时两车都在同一计时线处,此时比赛开始.它们在四次比赛中图像的如图1-2-8图像所示.哪些图对应的比赛中,有一辆赛车追上了另一辆(AC)
3.一质点从A点沿直线向B点运动,开始时以加速度加速运动到AB之间的某一点C,然后接着又以加速度继续作匀加速运动到达B点.该质点若从B点以加速度运动到C点,接着又以加速度继续加速运动到达A点,则两次运动的过程中()
A.由于相同的路段加速度相同,所以它们所用的时间相同
B.由于相同的路段加速度相同,所以它们的平均速度大小相同
C.虽然相同的路段加速度相同,但先后的加速的加速度顺序不同,所用的时间肯定不同
D.由于相同的路段加速度相同,它们的位移大小相同,所以它们的末速度大小相同
3.答案:
CD.解析:
两次运动的在每段相同的路径上加速度相同,说明两次的末速度相同,位移的大小相同,利用这两个特点作出两次运动中的路程与时间图像如答图1-2-1,就可以判断出正确的选项.
设质点第一次到达C点的速度为,第一次的末速度为,那么在第一次的运动中,有
①
同理,在第二次运动中有
②
比较①②两末速度的大小,它们是相等的.
由于两段路段上的加速度不同,所以假设>,分别作出质点在这两次运动中的速率-时间图像,如图所示,由图像与时间轴所围的面积相等,显然,第一次所用的时间少一些.故C、D正确.
4.甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶.甲、乙两车的速度分别为和,当两车距离接近到250m时两车同时刹车,已知两车刹车时的加速度大小分别为和,问甲车是否会撞上乙车?
4.答案:
(略).解析:
作两车的运动草图和v-t图像如答图1-2-2、1-2-3所示.从图中可看出:
在0~t秒即两车速度相等之前,后面的甲车速度大,追得快;前面的乙车速度小,“逃”得慢.两车之间的距离越来越小,而在t秒后,后面的车速度小于前面车的速度.可见,速度相等时,两者距离最近.此时若不会相撞,那么以后一定不会相撞,由此可知速度相等是解决本题的关键.
两车速度相等时有,得
故在30s内,甲、乙两车运动的位移分别为
,
因为,故甲车会撞上乙车.
5.一物体做直线运动,速度图象如图2所示,设向右为正方向,则前内()
A.物体始终向右运动
B.物体先向左运动,后开始向右运动
C.前物体位于出发点左方,后位于出发点的右方
D.在时,物体距出发点最远
5.答案:
BC.解析这是粤教版上的一道习题,解此题时学生选择A或C较多.学生依据图线随时间斜向上倾斜,认为物体xx方向运动,错误地选择选项A;学生依据前速度是负,后速度为正,且前是加速运动,后也是加速运动,即速度是由一直加速到,因为速度越来越大,所以认为前物体位于出发点左方,后位于出发点的右方而错选选项C.正确解答此题的对策是抓住:
物体的运动方向是由速度的正负决定的,物体的位置是由位移决定的,纵轴正、负号只表示速度的方向,前物体是向左做减速运动,后是向右做加速运动,物体在某xx内的位移等于这xx内所对应的图线所围的图形的面积的代数和,因此末物体位于出发点最左端处,从末开始向右加速运动,在之前,物体一直位于出发点左侧,在末回到出发点,所以正确的选项是BC.
6.某物体运动的图象如图1所示,则物体运动情况是(C)
A.往复来回运动
B.匀变速直线运动
C.xx同一方向做直线运动
D.无法判断
7.某同学从学校匀速xx去邮局,邮寄信后返回学校.在下图2xx能够正确反映该同学运动情况的图应是(C)
8.如图3所示,图线、、是三个质点同时同地开始沿直线运动的位移—时间图象,则时间内()
A.三质点的平均速度相等
B.的平均速度最大
C.三质点的平均速率相等
D.的平均速率最小
8.A(提示:
首先要清楚:
平均速度=位移÷时间,平均速率=路程÷时间.O~内,三质点位移相同,则平均速度均相同,而三个质点的路程有,则与的平均速率相等,的平均速率最大)
9.A、B两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动,如图6所示为
两车运动的速度—时间图象,对于阴影部分的说法正确的是()
A.若两车从同一点出发,它表示B车追上A车前两车的最大距离
B.若两车从同一点出发,它表示B车追上A车前的最小距离
C.若两车从同一点出发,它表示B车追上A车时离出发点的距离
D.表示两车出发前相隔的距离
9.A(速度相等时,两车间的距离最远,阴影部分表示A比B多走的位移)
如图,足够长的水平传送带始终以大小为v=3m/s的速度向左运动,传送带上有一质量为M=2kg的小木盒A,A与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.3,开始时,A与传送带之间保持相对静止。
先后相隔△t=3s有两个光滑的质量为m=1kg的小球B自传送带的左端出发,以v0=15m/s的速度在传送带上向右运动。
第1个球与木盒相遇后,球立即进入盒中与盒保持相对静止,第2个球出发后历时△t1=1s/3而与木盒相遇。
求(取g=10m/s2)
(1)第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度时多大?
(2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇?
(3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中,由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少?
(1)设第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度为v1,根据动量守恒定律:
(1分)
代入数据,解得:
v1=3m/s(1分)
(2)设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s,第1个球经过t0与木盒相遇,则:
(1分)
设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度为a,根据xx第二定律:
得:
(1分)
设木盒减速运动的时间为t1,加速到与传送带相同的速度的时间为t2,则:
=1s(1分)
故木盒在2s内的位移为零(1分)
依题意:
(2分)
代入数据,解得:
s=7.5mt0=0.5s(1分)
(3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中,传送带的位移为S,木盒的位移为s1,则:
(1分)
(1分)
故木盒相对与传送带的位移:
则木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是:
(2分)
三、课后练习
1.如图1-4-19所示(t轴单位为s),有一质点,当t=0时从原点由静止开始出发,沿直线运动,则:
A.t=0.5s时离原点最远
B.t=1s时离原点最远
C.t=1s时回到原点
D.t=2s时回到原点
1.BD解析:
v-t图线与时间轴(t轴)围成的几何图形的面积等于位移的大小,t轴上方图形面积为正值,下方图象面积为负值,分别表示位移的方向.一xx内的位移值等于这xx内几何图形面积的和.
2.某物体沿直线运动的v-t图象如图1-4-20所示,由图可看出物体:
A.沿直线向一个方向运动
B.沿直线做往复运动
C.加速度大小不变
D.做匀变速直线运动
2.BC解析:
一xx内的位移值等于这xx内几何图形面积的和.图线斜率的绝对值为加速度大小.
3.汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动,当它路过某处的同时,该处有一辆汽车乙开始做初速为0的匀加速直线运动去追赶甲车,根据上述的已知条件:
A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度
B.可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程
C.可求出乙车从开始起到追上甲车时所用的时间
D.不能求出上述三者中的任何一个
3.A;解析:
设乙车的加速度为a,两车经历时间t能相遇,由两车的位移关系可知:
;解得:
,故乙车能追上甲车,乙车追上甲车时乙车速度为:
,故A正确;由于乙车的加速度未知,所以追上的时间、乙车追上甲车时乙车所走的路程都无法求出,故B、C、D均错误.
4.甲、乙两物体由同一地点向同一方向,以相同的加速度从静止开始做匀加速直线运动,xx比乙提前一段时间出发,则甲、乙两物体之间的距离:
A、保持不变B、逐渐增大
C、逐渐变小D、不能确定是否变化
4.B;解析:
设前一辆车比后一辆车早开,则后车经历时间t与前车距离为,由于加速度和为定值,所以两车间的距离是关于时间的一次函数,所以两车之间的距离不断增大.
5.两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为:
A.sB.2sC.3sD.4s
5.B;解析:
设匀速运动时两车最少应相距S,两车刹车加速度为a.前车刹车时间为,则前车在此时间内前进位移为;后车在时间内前进位移为,之后后车刹车距离也等于s,所以两车在匀速运动阶段至少相距,正确答案B.
6.甲、乙两车以相同的速率V0在水平地面上相向做匀速直线运动,某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动,当速率减小到0时,甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动.为了避免碰车,在乙车开始做匀减速运动时,甲、乙两车的距离至少应为:
A.B.C.D..
6.D解析:
在乙做减速运动的过程中,甲做匀速运动,分别发生的位移为:
和.在乙停止运动后,甲也做减速运动,设与乙相遇时甲的速度恰好为零,则甲减速运动位移为,故乙开始减速运动时,甲乙之间的距离至少为:
7.经检测汽车A的制动性能:
以标准速度20m/s在平直公路上行使时,制动后40s停下来.现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使,司机立即制动,能否发生撞车事故?
7.解析:
汽车A与货车B同速时,两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时,两车位移差大于初始时刻的距离时,两车相撞;小于、等于时,则不相撞.而错解中的判据条