开放式基金的投资问题数学建模论文.docx
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开放式基金的投资问题数学建模论文
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
广西教院
参赛队员（打印并签名）：
1.李开玲
2.黄敏英
3.米检辉
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2012年9月2日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
开放式基金的投资问题
摘要
随着社会经济的发展，项目投资是商业的热点话题。
本题要我们给出最佳投资方案，总资金18亿，对八个项目进行投资，，通过运用lingo、matlab软件得出结果，求得最大的利润和相应投资方案。
问题一：
我们建立了线性规划模型Max=
（a
表示i个项目的年利润x
表示对项目投资的次数），应用lingo软件得如下方案及获得的总利润：
项目编号
1
2
3
4
5
6
7
8
投资次数
6
1
0
5
6
6
5
5
总利润（元）
42534
问题二：
我们考虑8个项目可以重复投资的，但每个项目投资及全部项目投资总额都有上限，会出现项目之间的相互利润影响。
在问题一的基础上，建立非线性规划模型，0-1模型，通过lingo软件编程及数据整理得如下结果：
项目编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
投资份额
3
0
7
5
6
4
5
5
总利润
42956.50
问题三：
在问题二的基础上考虑风险因素要求风险少收益大，建立双目标规划模型，maxL，Min
，为简化问题，固定投资风险，求总利润，把双目标转化为单目标：
maxL=p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+p5x5+p6x6+p7x7+p8x8。
引入风险度，运用matlab软件获取风险度和总利润关系，选择合适的风险度，确定投资方案：
风险度
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
总利润（万元）
0.04
3
5
6
4
0
6
4
5
39181
问题四：
我们在问题二和问题三的基础上，保留适量现金以备兑现，在采取一定的资金保留比例系数下，固定投资风险度，得到方案为;
资金保留系金额
风险度
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
总利润
9000万元
0.04
3
5
6
4
0
6
3
5
37571万元
关键词：
投资方案非线性规划模型风险度双目标函数
一、问题重述
某开放式基金现有总额为18亿元的资金可用于对8个项目进行选择性的投资。
每个项目可以重复投资（即同时投资几份），据专家经验，对每个项目投资总额不能太高（有上限）。
这些项目的投资额以及专家对投资一年后各项目所得
的利润估算，见表
（一）如下所示。
表1投资项目所需资金及预计一年后所得利润
项目编号
1
2
3
4
5
6
7
8
每份投资额
6700
6600
4850
5500
5800
4200
4600
4500
预计利润
1139
1056
727.5
1265
1160
714
1840
1575
投资上限
41000
33000
34000
29000
35000
26000
27000
25000
（单位：
万元）
?
在具体对这些项目投资时，还会出现项目之间相互影响的情况。
专家分析得如下可靠信息：
l）如果同时对项目A1和A3投资；它们的预计利润分别为1005万元和1018．5万元；
2）如果同时对项目A4和A5投资，它们的预计利润分别为1045万元和1276万元；
3）如果同时对项目A2,A6,A7和A8投资，它们的预计利润分别为1353万元、840万元、1610万元、1350万元。
整理数据得如下表
（二）。
表2各项目相互影响后的年利润及影响组合
项目编号
1
2
3
4
5
6
7
8
利润
1005
1353
1018．5
1045
1276
840
1610
1350
影响组合
1,3
2,6,7,8
1,3
4,5
4,5
2,6,7,8
2,6,7,8
2,6,7,8
4） 投资项目总风险可用所投资项目中金额最大的项目的风险来衡量。
如果考虑投资风险，则应该如何投资使得收益尽可能大，而风险尽可能的小。
专家预测出的投资项目的风险损失率数据见表
（二）所示。
表3：
投资项目的风险损失率
项目编号
1
2
3
4
5
6
7
8
风险损失率（%）
30
14.5
22
30
33
5.5
39
33
解决以下问题：
（l）就表一提供的数据，试问应该选取哪些项目进行投资组合，使得第一年所得利润最大？
（2）如果只考虑专家的前3条信息，基金该如何进行投资，才能使收益最大？
（3）如果全面考虑专家的4条信息，基金又应该如何进行投资，使收益最大，风险最少？
（4）开放式基金一般要保留适量的现金，以备为未到期客户随时兑付现金（提前兑付，客户承担一定损失）。
在这种情况下，再考虑专家的4条信息，那么基金该如何决策，使得在风险尽可能低的情况下一年后投资利润尽可能多？
二、问题分析
1、对于问题一，要求第一年的利润最大，对8个项目进行选择性投资策划及组合，我们建立线性规划模型。
在每个项目对投资额以及资金总额存在限制的条件下，运用线性规划求得第一年利润最大值以及最优投资方案。
g=1，h=1，f=0，说明我们可以对A1,A2和A4，A5分别组合投资，A2，A6，A7，A8个别投资。
2、对于问题二，具体项目投资时存在利润上的相互影响，在问题一的条件上，运用非线性规划，0-1模型，求其利润最大值及投资方案。
3、在问题二的前提下，添加风险因素，要求风险最少，收益最大，建立双目标规划模型，为了简化问题，把双目标化为单目标，及固定投资风险，求总利润最大。
4、在前一问题的答案下，我们固定风险系数为0.03,0.04，改变资金的保留系数，得到不同的总投资额，从而得到不同的利润。
三、模型假设
1.投资到每个项目的总资金是一次投资额的整数倍；
2.无交易费，投资费等费用的开支；
3.不考虑项目的风险和预期收益的波动；
4.在投资过程中，忽略政策，政府条件，社会因素对投资的影响。
5.利润相同时，投资人对各项目的投资偏好是一样的。
四、符号说明
含义
单位
备注
一年后的总利润
万元
常量
共同投资项目的投资份数
份
变量
每份的预计利润
万元
常量
每份投资项目的投资额
万元
常数
M
总投资额
万元
项目
的投资上限
万元
常数
项目类型
q
风险损失率
%
常数
u
资金的保留系数
%
常数
s
风险度
常数
风险度=项目的风险损失率*项目投资额/投资总额。
g
0和1
h
0和1
f
0和1
w
风险损失值
万元
五、模型的建立及求解
模型一
由于投资8个项目的总资金额不能超过18亿元，8个模型可重复重复投资。
在不超过投资上限的情况下，假设不考虑任何的不利因素，求最大利润，建立线性模型：
Max=
，i=1,2,3,…,8；
s.t.
通过lingo软件（见附录一）解出该线性规划模型的结果：
如下表（表4）
表4第一年项目投资规划及预计利润
项目编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
投资次数
6
1
0
5
6
6
5
5
投资额（万元）
40200
6600
0
27500
34800
25200
23000
22500
总投资（万元）
159100
年利润（万元）
6834
1056
0
6325
6960
4284
9200
7875
利润率（%）
17
16
0
23
20
17
40
35
总利润（万元）
42534
由上表可知，项目的投资次数分别x1=6,x2=1,x3=0,x4=5,x5=6,x6=6,x7=5,
x8=5.第一年的最大利润为42534万元。
模型二
对某项项目投资时，还会出现项目之间相互影响的情况，该8个项目的相互影响后预计利润发生变化（见表
（二））。
在考虑投资的相互影响时，要求投资后获得的利润最大，我们利用非线性规划模型求解：
引入“0-1”变量：
g，h，f。
g=
h=
f=
目标函数：
maxL=g（1005*x
+1018.5*x
）+（1-g）（a
*x
+a
*
x
）+h*（1045*x
+1276*x
）+（1-h）*（a
*x
+a
*x
）+f*（1353*x
+840*x
+1610*x
+1350*x
）+（1-f）*（a
*x
+a
*x
+a
*x
+a
*x
）
约束条件：
约束条件中x1*x3<=30*g是因为项目A1最多能投资5分，A2最多能投资6份，同理有x4*x5<=30*h;x2*x6*x7*x8<=250*f;
将数值代入得到：
max=g*（1005*x1+1018.5*x3）+（1-g）*（1139*x1+727.5*x3）+（1-h）*（1265*x4+1160*x5）+h*（1045*x4+1276*x5）+（1-f）*（1056*x2+714*x6+1840*x7+1575*x8）+f*（1353*x2+840*x6+1610*x7+1350*x8）;
6700*x1+6600*x2+4850*x3+5500*x4+5800*x5+4200*x6+4600*x7+4500*x8<=180000;
6700*x1<=41000;
6600*x2<=33000;
4850*x3<=34000;
5500*x4<=29000;
5800*x5<=35000;
4200*x6<=26000;
4600*x7<=27000;
4500*x8<=25000;
x1*x3<=30*g;
x4*x5<=30*h;
x2*x6*x7*x8<=250*f;
利用LinGo软件进行模型求解得：
L=42956.5，项目的具体投资如下表：
表5
项目号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
投资份额
3
0
7
5
6
4
5
5
投资额
20100
0
33950
27500
34800
16800
23000
22500
利润
3015
0
7129.5
5225
7656
2856
9200
7875
总利润
42956.50
g=1，h=1，f=0，说明我们可以对A1,A2和A4，A5分别组合投资，A2，A6，A7，A8个别投资。
模型三
在问题二的前提上，考虑专家的四条信息，对资金进行分配投资项目总风险可用所投资项目中金额最大的项目的风险来衡量。
专家预测出的投资项目风险损失率q
数据见表2所示
项目编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
风险损失率（%）
30
14.5
22
30
33
5.5
39
33
作为投资者，我们希望利润最大，风险最小，我们在问题二的基础上再加一个风险最小的目标函数，得到两个目标函数：
maxL
Min
对于双目标函数的规划问题，我们可以分情况讨论：
（一）固定风险，利润最大。
（二）固定利润，风险最小。
这样就可以把双目标函数转变为单目标规划问题。
我们引入分段函数：
Sgn
项目的风险度=项目的风险损失率*项目投资额/投资总额。
情况一：
固定风险，利润最大
目标函数：
maxL=p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+p5x5+p6x6+p7x7+p8x8
约束条件：
s是我们任意给定的风险度，在计算时，我们不断变化s的值，用lingo编程求解如下，得出部分结果
表6风险和利润的关系
风险度
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
总利润
0.01
0
0
1
1
0
6
1
5
15991.5
0.02
1
0
3
2
1
6
2
5
23265.5
0.03
2
0
5
3
0
6
3
5
28576.5
0.04
3
5
6
4
0
6
4
5
39181
0.05
4
5
0
5
1
6
5
5
37662
0.06
5
5
0
4
1
6
4
4
34796
0.07
6
5
1
4
1
6
5
5
39109.5
0.08
6
5
1
4
1
6
5
5
39109.5
0.09
6
5
1
4
1
6
5
5
39109.5
0.10
6
0
1
5
0
6
5
5
34732.5
将上表显示风险度与利润的变化关系用matlab表示。
（如下）
结果分析：
1.风险越大，利润也越大
2.在风险度a=0.04时，为投资的就好组合此时的方案为：
风险度
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
总利润（万元）
0.04
3
5
6
4
0
6
4
5
39181
（二）固定利润，风险最小
作为投资者，如果希望总利润达到K水平，在风险最小，求出投资组合
目标函数：
Min
对于情况
（二）我们不作求解，只是与模型三作对比。
模型四：
开放式基金一般要保留适量的现金，以备为未到期客户随时兑付现金（提前兑付，客户承担一定损失）。
在这种情况下，我们还要考虑专家的四条信息。
我们在前面问题二和问题三的基础上，用u来表示资金的保留系数，这样投资的资金系数为（1-u）M，
目标函数：
maxL=p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+p5x5+p6x6+p7x7+p8x8
约束条件;
我们应用问题三的解决方法，不断改变u的值，在风险度为0.04的情况下，找出利润比较大的。
在不同资金保留比例系数下的风险系数有表7:
（lingo程序求解见附录四）
表7
资金保留比例系数（%）
风险度
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
总利润
0
0.03
2
0
5
3
0
6
3
5
28576.5
10
0.03
2
5
1
0
0
1
2
5
20603.5
0
0.04
3
5
6
4
0
6
4
5
39181
5
0.04
3
5
6
4
0
6
3
5
37571
10
0.04
3
5
6
3
0
6
3
5
36306
15
0.04
2
5
5
3
0
6
3
5
34282.5
20
0.04
0
5
4
2
3
6
3
5
32213
25
0.04
2
5
3
2
0
6
3
5
30980.5
作图如下：
根据上表可知：
在风险度为0.04时，取保留资金比例系数为10%，保留资金为9000万元，把剩余的171000万元投入这些项目，这样子收益的利润最大。
投资如下：
单位（万元）
资金保留比例系数（%）
风险度
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
总利润
（万元）
5
0.04
3
5
6
4
0
6
3
5
37571
六、模型评价
优点：
问题回答过程中，成功运用lingo和matlab数学软件把问题解决，避免计算的复杂。
模型简单易懂，并且引入sgn函数，使问题、程序都得到简化。
在回答问题四时，我们用不同的风险系数来计算，得到比较合理的风险系数，使得利润最大化，具有实际指导意义。
缺点：
在问题回答中，我们没有考虑太多的投资风险，如投资者的偏好，国家的政策，使得到的利润太过理想化。
模型推广
本模型还可用于房地产投资问题，证券组合投资，彩票购买等，在风险投资投资领域都有一定的指导意义。
七、参考文献
[1].姜启源．数学模型（第三版）[M]．北京.高等教育出版社，2003
刘卫国，MATLAB程序设计与应用（第二版）高等教育出版社
附录
模型一程序：
Lingo代码
model:
sets:
H/1..8/:
a,b,m,d,x;
endsets
data:
a=1139,1056,727.5,1265,1160,714,1840,1575;
b=6700,6600,4850,5500,5800,4200,4600,4500;
d=180000;
m=41000,33000,34000,29000,35000,26000,27000,25000;
enddata
max=@sum（H（i）:
a（i）*x（i））;
@for（H（i）:
b（i）*x（i）@sum（H（i）:
b（i）*x（i））<=180000;
@for（H（i）:
@gin（x（i）））;
End
模型二程序
Lingo代码
model:
max=g*（1005*x1+1018.5*x3）+（1-g）*（1139*x1+727.5*x3）+（1-h）*（1265*x4+1160*x5）+h*（1045*x4+1276*x5）+（1-f）*（1056*x2+714*x6+1840*x7+1575*x8）+f*（1353*x2+840*x6+1610*x7+1350*x8）;
6700*x1+6600*x2+4850*x3+5500*x4+5800*x5+4200*x6+4600*x7+4500*x8<=180000;
6700*x1<=41000;
6600*x2<=33000;
4850*x3<=34000;
5500*x4<=29000;
5800*x5<=35000;
4200*x6<=26000;
4600*x7<=27000;
4500*x8<=25000;
x1*x3<=30*g;
x4*x5<=30*h;
x2*x6*x7*x8<=250*f;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;@gin（x7）;@gin（x8）;
@bin（g）;@bin（h）;@bin（f）;
End
模型三程序
max=p1*x1+p2*x2+p3*x3+p4*x4+p5*x5+p6*x6+p7*x7+p8*x8;
6700*x1<41000;
6600*x2<33000;
4850*x3<34000;
5500*x4<29000;
5800*x5<35000;
4200*x6<26000;
4600*x7<27000;
4500*x8<25000;
p1=@sign（x1*x3）*1005+（1-@sign（x1*x3））*1139;
p2=@sign（x2*x6*x7*x8）*1353+（1-@sign（x2*x6*x7*x8））*1056;
p3=@sign（x1*x3）*1018.5+（1-@sign（x1*x3））*727.5;
p4=@sign（x4*x5）*1045+（1-@sign（x4*x5））*1265;
p5=@sign（x4*x5）*1276+（1-@sign（x4*x5））*1160;
p6=@sign（x2*x6*x7*x8）*840+（1-@sign（x2*x6*x7*x8））*714;
p7=@sign（x2*x6*x7*x8）*1610+（1-@sign（x2*x6*x7*x8））*1840;
p8=@sign（x2*x6*x7*x8）*1350+（1-@sign（x2*x6*x7*x8））*1575;
（0.3*6700*x1）/180000<0.01;
（0.145*6600*x2）/180000<0.01;
（0.22*4850*x3）/180000<0.01;
（0.3*5500*x4）/180000<0.01;
（0.33*5800*x5）/180000<0.01;
（0.055*4200*x6）/180000<0.01;
（0.39*4600*x7）/180000<0.01;
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