曲线拟合实验报告.docx
《曲线拟合实验报告.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线拟合实验报告.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
曲线拟合实验报告
数值分析
课程设计报告
学生姓名
学生学号
所在班级
指导教师
成绩评定
一、课程设计名称
函数逼近与曲线拟合
二、课程设计目的及要求
实验目的：
⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。
实验要求：
⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数
和拟合函数的图形；
⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与
（1）结果进行比较。
三、课程设计中的算法描述
用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。
思路分析：
从整体上考虑近似函数
同所给数据点
误差
的大小，常用的方法有三种：
一是误差
绝对值的最大值
，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和
，即误差向量的1范数；三是误差平方和
的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。
前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。
算法的具体推导过程：
1.设拟合多项式为：
2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：
3.为了求得到符合条件的
的值，对等式右边求
偏导数，因而我们得到了：
4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式
5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
6.将这个范德蒙得矩阵化简后得到
7.因为
那么
计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。
四、课程设计内容
⑴实验环境：
MATLAB2010
⑵实验内容：
给定的数据点
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
1.75
1.96
2.19
2.44
2.71
3.00
1）用最小二乘法求拟合数据的多项式；
2）用MATLAB内部函数polyfit函数进行拟合。
⑶实验步骤
1）首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点图（图1）。
2）观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。
则用二次多项式进行拟合，取一组基函数
并令
，其中
是待定系数
。
3）用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。
算法实现代码如下：
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=[11.751.962.192.442.713.00];
R=[（x.^2）'x'ones（7,1）];
A=R\y'
4）用MATLAB程序计算平均误差。
算法实现代码如下：
y1=[11.751.962.192.442.713.00];
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=x.^2+x+1;
z=（y-y1）.^2;
sum（z）
5）作出拟合曲线和数据图形（图2）。
6）用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。
算法实现代码如下：
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=[11.751.962.192.442.713.00];
A=polyfit（x,y,2）;%二次多形式拟合%
z=polyval（A,x）;
A
d=sum（（z-y）.^2）
7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。
（图3）
五、程序流程图
图5-1用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图
图5-2用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图
六、实验结果
图6-1表中数据的散点图
图6-2.最小二乘法实现的拟合曲线
第1问
系数为
A=1.00001.00001.0000
则多项式的方程为
平方误差和为
ans=1.9722e-031
图6-3.polyfit函数实现的拟合函数
第2问
系数为
A=1.00001.00001.0000
则多项式的方程为
平方误差和为
ans=1.9722e-031
七、实验结果分析
编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较光滑。
而用MATLAB的内部函数求polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的内部函数做出的图形由明显的尖点，不够光滑。
此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。
但是在应用实际问题中，数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。
例如在进行数据采集时，由于数据采集器（各种传感器）或机器自身的原因及其外部各种因素的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一些偏差极大的数据，不能真实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选或修正。
而此时就可应用曲线拟合的最小二乘法的进行处理。
八、实验心得体会
在日常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题，并不是所有的数据都是有用，必须对数据进行适当的处理，然后找出数据之间的关系，然后进行分析得出结果。
此次实验结果基本没有大的区别，可是MATLAB提供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实现相同的结果。
虽然很方便，但是对于初学者来说，我觉得打好基础才是关键，对于一个知识点，应该掌握其最基本的原理，然后在将它应用于实际。
通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想，从中受益匪浅。
附录：
源代码
散点图：
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=[11.751.962.192.442.713.00];
plot（x,y,'r*'）
title（'实验数据点的散点图'）;
legend（'数据点（xi,yi）'）;
xlable（'x'）;
ylable（'y'）;
最小二乘拟合：
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=[11.751.962.192.442.713.00];
R=[（x.^2）'x'ones（7,1）];
A=R\y'
x1=[00.50.60.70.80.91.0];
y1=[11.751.962.192.442.713.00];
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=x.^2+x+1;
plot（x1,y1,'k+',x,y,'r'）
title（'实验数据点的散点图及拟合曲线'）;
z=（y-y1）.^2;
sum（z）
Polyfit函数拟合：
x=[00.50.60.70.80.91.0];
y=[11.751.962.192.442.713.00];
A=polyfit（x,y,2）;%二次多形式拟合%
z=polyval（A,x）;
A
d=sum（（z-y）.^2）
plot（x,y,'k+'）
title（'实验数据点的散点图及拟合曲线'）;
holdon
plot（x,z,'r'）
升级会员 