第五章相交线与平行线知识点0123Word文档下载推荐.docx

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2、垂线

⑴定义:

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，

其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O

（2）、垂直是两直线相交的特殊情况。

注意：

两直线垂直，是互相垂直，

即：

若线AB垂直线CD，则线CD垂直线AB

垂足：

两条互相垂直的直线的交点叫垂足。

垂直时，一定要用直角符号表示出来。

（3）垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与后面的平行公理相比较记）

垂线段的定义：

从直线AB外一点P向直线AB作垂线，垂足记为O，

则线段PO叫做点P到直线AB的垂线段。

要确定垂线段，只须找到它的两个端点即可。

垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

垂直的性质：

∵AB⊥CD

∴∠BOC=90°

垂直的判定：

∵∠BOC=90°

∴AB⊥CD

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，

⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，

⑶三画：

沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离:

垂线段：

过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。

垂线与垂线段：

垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。

垂线段最短：

（或说直角三角形中，斜边大于直角边。

）

点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。

注：

距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。

所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

结合图形进行记忆。

如上图所示：

若PO⊥AB，垂足为O，则PO是垂线段。

点P到直线AB的距离就是垂线段PO的长度。

PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

现实生活中：

开沟引水，牵牛喝水……都是“垂线段最短”性质的应用。

如图，

那么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______，

点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________．

5、“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

⑴垂线与垂线段

区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；

垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：

具有垂直于已知直线的共同特征。

（垂直的性质）

⑵两点间距离与点到直线的距离

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

都是线段的长度；

点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。

⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；

线段是一种图形，它们之间不能等同。

5.2平行线

1、平行线的概念：

同一平面内，两条直线若没有公共点（即交点），那么这两条直线平行。

平行线永不相交。

直线

与直线

互相平行，记作：

∥

2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；

⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；

反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：

①点在线上②点在线外

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

设

、b、c为平面上三条不同直线，

a）若

，则a与c的位置关系是_________；

b）若

c）若

，

，则a与c的位置关系是________．

3、平行公理――平行线的存在性与唯一性：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

（注：

这一点是在直线外）

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（或叫平行线的传递性）

符号语言：

∵

∴

前提条件是：

两直线都平行于第三条直线，

才有结论：

这两条直线都平行。

5、三线八角：

平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，

其中有：

4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。

　如图，直线

被直线

所截：

　①∠1与∠5在截线

的同侧，同在被截直线

的上方，叫做同位角（位置相同）

　②∠5与∠3在截线

的两旁（交错），在被截直线

之间（内），

叫做内错角（位置在内且交错）

　③∠5与∠4在截线

的同侧，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角。

　注意：

①借助模型来区分。

同位角是“F”型；

内错角是“Z”型；

同旁内角是“U”型。

②同位角、内错角、同旁内角的称呼，并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上

才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。

6、如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，

1

有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，

有时又需要把图形补全。

　如图，判断下列各对角的位置关系：

⑴∠1与∠2；

⑵∠1与∠7；

⑶∠1与∠BAD；

⑷∠2与∠6；

⑸∠5与∠8

分析：

将这两个角先分别单独画出来，得到四条线，再结合原来图形，找到构成这两个角的“三条线”。

观察这三条线，所构成的模型究竟是：

“F”型；

“Z”型；

“U”型，中的哪一个。

从复杂的图形中分离出基本图形：

从原图中抽出来（或者说略去与有关角无关的线）后，从而得到下列各图。

　如图所示，不难看出：

∠1与∠2是同旁内角；

∠1与∠7是同位角；

∠1与∠BAD是同旁内角；

∠2与∠6是内错角；

∠5与∠8对顶角。

图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

答：

不是。

因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截。

7、两直线平行的判定方法

方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同位角相等，两直线平行

∵　∠3＝∠2

　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

内错角相等，两直线平行

∵　∠1＝∠2

　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

同旁内角互补，两直线平行

∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

书写的顺序以及前因后果（因果推理），平行线的判定是由角相等，然后得出平行。

是先看角如何，再判断两直线是否平行，前提是“角相等/互补”。

格式：

先写角相等，然后再写平行即：

∵角=角或角+角=180°

∴线∥线

⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系。

常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。

平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，

判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：

①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。

②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

典型例题：

判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

⑴不相交的两条直线必定平行线。

（错误）

⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

（正确）

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行（错误）

如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行？

解答：

⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

　　　⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

　　　⑶由∠3＋∠F＝180°

可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。

　　　　　　　　　5.3平行线的性质

1、平行线的性质：

　性质1：

两直线平行，同位角相等；

性质2：

两直线平行，内错角相等；

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

　几何语言：

∵AB∥CD

　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°

（两直线平行，同旁内角互补）

是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。

先写平行，然后再写角相等即：

∵线∥线∴角=角或角+角=180°

※此章难度最大就在如何利用平行线的判定或性质来进行解析几何的初步推理，

要在熟练掌握好基本知识点的基础上，学会逻辑推理，既要条理清晰，又要简洁明了。

2、两条平行线的距离

（1）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，

则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，

则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

（2）平行线间的距离处处相等。

例如：

应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，

还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，

或以下底为底的两等面积的三角形。

（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。

3、命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成

每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；

结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“如果……，那么……”的形式。

用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；

命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

“明天可能下雨。

”这句语句______命题，

而“今天很热，明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

（填“是”或“不是”）

1命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。

假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

2逆命题：

将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。

原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

“对顶角相等”是个真命题，但其逆命题“___________________________________”却是个假命题。

不论是真命题还是假命题，都要学会能非常熟练地把一个命题写成“如果……那么……”的形式。

例:

1、把“等角的补角相等”写成“如果……那么……”的形式为:

___________________。

2、把“三角形的内角和等于180度。

”写成包含题设与结论的形式：

________________。

4、平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

　两直线平行　　　　　同位角相等；

　两直线平行　　　　　内错角相等；

　两直线平行　　　　　同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；

由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

已知∠1＝∠B，求证：

∠2＝∠C

　　证明：

∵∠1＝∠B（已知）

　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）

　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行同位角相等）

在证明了DE∥BC之后，就不需要再写一次了。

比如这道题：

因为前面得到了DE∥BC，所以可以把它当作条件来用了。

1、已知：

如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

　　求：

∠2、∠3的度数

2.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°

求：

∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．

3.如图，

与

是邻补角，OD、OE分别是

的平分线，

试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．

4.如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．

解：

∠B＋∠E＝∠BCE

过点C作CF∥AB，

则

____（）

又∵AB∥DE，AB∥CF，

∴____________（）

∴∠E＝∠____（　　　　　　　　　　　　　）

∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2

即∠B＋∠E＝∠BCE．

5.⑴如图，已知∠1＝∠2　求证：

a∥b．

⑵直线

，求证：

．

6.阅读理解并在括号内填注理由：

如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．

　证明：

∵AB∥CD，

　　　∴∠MEB＝∠MFD（　　　　　　　　　　　）

　　　又∵∠1＝∠2，

　　　∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，

　　即　∠MEP＝∠______

∴EP∥_____．（　　　　　　　　　　　　　）

7.已知：

DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°

，∠ACE＝36°

，AP平分∠BAC，

⑴∠BAC的大小；

⑵∠PAG的大小.

8.已知：

于D，

为

上一点，

于F，

交CA于G.

求证：

.

9.已知：

如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？

试说明理由．

5、几何计数：

①平面内n条直线两两相交，共有n（n–1）组对顶角。

（或写成

–n组）

②平面内n条直线两两相交，最多有

n（n–1）个交点。

③平面内n条直线两两相交，最多把平面分割成

n（n+1）+1个面。

④当平面内n个点中任意三点均不共线时，一共可以作

n（n–1）条直线。

回顾：

ⅰ、一条直线上n个点之间，一共有

n（n–1）条线段；

ⅱ、若从一个点引出n条射线，则一共有

n（n–1）个角。

5.4平移

1、概念：

把图形的整体沿着某一方向移动一定的距离，得到一个新的图形，

这种图形的移动，叫平移。

①确定平移，关键是要弄清平移的方向（并不一定是水平移动或垂直移动哦）与平移的距离。

②如果是斜着平移的，则需把由起始位置至最终位置拆分为先水平移动，再上下移动，或拆分为先上下移动，再水平移动。

当然，如果是在格点图内平移，则可利用已知点的平移距离是某一矩形的对角线这一特点来对应完成其它顶点的平移。

2、特征：

①发生平移时，新图形与原图形的形状、大小完全相同

（即：

对应线段、对应角均相等）；

②对应点之间的线段互相平行（或在同一直线上）且相等，均等于平移距离。

3、画法：

掌握平移方向与平移距离，利用对应点（一般指图形的顶点）之间连线段平行、连线段相等性质描出原图形顶点的对应点，再依次连接，就形成平移后的新图形。

1、平移变换

　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，

新图形与原图形的形状和大小完全相同。

　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

　③连接各组对应点的线段平行且相等

如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：

⑴点A的对应点是点＿＿＿；

⑵点B的对应点是点＿＿＿。

⑶点＿＿的对应点是点F；

⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿；

⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿；

⑹∠A的对应角是＿＿＿。

　　⑺＿＿＿的对应角是∠F。

　⑴D；

⑵E；

⑶C；

⑷DE；

⑸EF；

⑹∠D；

⑺∠ACB。

思维方式：

利用平移特征：

平移前后对应线段相等，

对应点的连线段平行或在同一直线上解答。