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广西师范大学研究生学院制

浅谈麦克斯韦方程组

李健康

（广西师范大学电子工程学院广西桂林541004）

摘要：

经过本学期对《电磁场理论》课程的学习，使我认识到麦克斯韦方程组的重要性，麦克斯韦方程组诞生的关键是“位移电流”的思想实验,这不是从电磁学经验公式的前提中用数学方法演绎出来的。

麦克斯韦方程组以一种公理关系的方程组形式表达了电磁场的本质,表现了物理学进步的真正特征。

麦克斯韦方程组是电磁理论的核心方程组，它是深刻理解好整个电磁理论的基础。

本论文在原有学习的基础上，通过查阅大量资料，并结合现代信息技术的发展，从麦克斯韦方程组所蕴涵的物理思想、方法原理和应用价值角度重新对其进行审视，最后，再结合上述分析简单阐述了自己的一些观点。

关键词：

麦克斯韦方程组；

位移电流；

电磁理论

1背景

麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831-1879）是一个集电磁学大成的伟大物理学家,他在库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等人的一系列发现和实验成果的基础上,建立了完整的电磁场理论,麦克斯韦的工作在物理学意义上的关键在于发现了交变电场可以产生（交变）磁场,在这以前[1]。

安培定律己表明,电流可以产生磁场,法拉第定律则表明,变化的磁场可以产生电场,但是当时的实验物理学家都没有发现变化的电场可以产生磁场这样的事实,因为当时的实验条件达不到可以观察这种现象的水平,这样,虽然库仑定律、安培定律、法拉第定律已在当时为大家所熟悉并有了应用,但人们并没有发现它们之间重要的内在关系,顶多只不过把它们一起归结电与磁的共有现象[2]。

麦克斯韦不是实验物理学家,他在理论物理领域内工作,他的实验室是思想,他的工具是数学,麦克斯韦建立了电与磁的统一的数学关系,即麦克斯韦方程组（Maxwell'

sequations）,这样人们都认为麦克斯韦是用数学演释方法创建了了电磁理论,实际上这是一个误解,如果我们追踪一下他的工作的大概过程,我们完全可以看到他是在思想实验中而不是在数学演演中得到这个关键性的发现而完成了电与磁的统一,在这个意义上,他是先于爱因斯坦和玻尔等而进行缜密的思想实验的科学家[3]。

电磁学定律是从电学实验中发现和总结出来的,当时发现（恒定的）电流可以产生（恒定的）磁场,这主要由安培定律表达,但是恒定的磁场却不会产生电流；

另一方面,变化的磁场才可以导致电流的产生,这主要由法拉第定律表达,人们却没有与之对应的变化的电场的概念,这种电磁关系的不对称并没有引起当时实验物理学字的特别关注,因为在当时的实验条件下看不到这些现象。

但麦克斯韦的工作不同,他完全用数学语言表达来电磁定律,从而使这种不对称的缺陷充分暴露出来,但是麦克斯韦并不能直接从这种不对称性中关系中推演出对称性来,他仍然只能回到实验中去,不同的是他不用做实验室中的实验,他只须做思想实验,这种思想实验不是数学表达式在思想中的推演,而是在思想中进行的对电和磁的运动形象过程的再创造.他沿用安培定律的实验,想象电流和磁场的运动过程,当时的情形在现在看来是非常奇特的,的物理学家只能沿用经典图像进行思考（甚至今天在大多数情况中也只能这样）,比如把电和磁想象为以太流体、涡旋、弹性物质,甚至齿轮之类,麦克斯韦的思想实验也是在这样的图像中进行的,但是由于麦克斯韦脱离了具体实验环境的限制,所以他能在他的思想实验中“观察”到新的“现象”。

麦克斯韦工作的关键是他的著名的所谓“位移电流（Displacementcurrent）”的思想图像,即把变化的电场也看成为一种（以太）电流,事实上,电场在物理过程上可以解释为电介质内的分子产生极化的状态,它是分子中的外层电子的总的位移效应,在当时的实验室中条件下观察不到这种效应所表现出来的现象,而位移电流是一个在的思想实验中的能够被“观察”到的交变电流过程,你可以想象有一种流态的电物质在物质中来回移动（交变电流）而不是通过（稳恒电流）,这样它就脱离了实验室条件下具体的导体或绝缘体的物理限制,使电场能以电流的形象出现,这种交变的位移电流产生交变磁场,这样交变的电、磁场可以相互产生,电与磁的对称性成为了在理论上表达完全的一种共同的本质关系,这种在相互转化的对称性中的电与磁的统一就是电磁场。

位移电流的思想实验,直接导至麦克斯韦在以前的安培公式中添加电场的变化率一项,这就是麦克斯韦方程组物理本质化的一个关键,这样麦克斯韦就成功地的把静态意义的安培公式改造成了交变（电磁场）的安培公式,奠定了电磁场数学表达形式在本质上的统一,使以前没有内在共同统一性的静电学的和静磁学转变成为了电磁场理论的电动力学[4]。

由此我们可以看出,并不是麦克斯韦依完全靠数学演绎方法直接从库仑定律、安培定律、法拉第定律等数学表达式中推导得到了麦克斯韦方程组,麦克斯韦不是由即定的演绎性前提中推导出新的结果,而是首先是他用思想实验方法发现了安培定律的新的意义,补充了安培公式,从而揭示了电与磁的物理现象后面存在的共同的本质,这样才使以前几个相互没有内在统一性的电磁公式成为了具有本质性意义的麦克斯斯韦方程,成为了可以表达一种全新的物理对象的数学形式。

2物理思想及方法原理

2.1麦克斯韦方程组的表达形式

（真空中）

（介质中）

2.2物理思想和原理

（1）和（5）是电场高斯定律，该定律单独描述了电场的一种性质，反映了空间中电场分布与电荷分布间的关系。

它既适用于静止带电体激发的静电场，又适用于变化的磁场激发感生涡旋电场[5]。

对于静电场，一点的静电场散度，表明该点在空间其他点产生静电场的能力，散度函数表明有源场场源的分布。

而静电场的散度在有电荷的地方不为零，这反映了电荷是静电场的源，而由积分形式我们可以知道，静电场的电场线是不闭合的曲线，在有电荷的地方电场线不连续，说明静电场是有源矢量场。

（2）和（6）是法拉第电磁感应定律。

观察该式，我们发现等式两边分别为电场的量和磁场的量，这表明电场与磁场之间存在某种关联或者说是转化关系。

考察积分形式，我们可以看到，随时间变化的磁场在空间中有电场环量，说明它在空间中激发了电场[6]；

再来看微分形式，我们可以知道该电场的旋度不为零，即它是有旋矢量场，这与静电场不同，我们把这种电场叫做感生涡旋电场。

静电场环量（旋度）等于零，因此静电场是无旋矢量场，或者说是保守场，静电力是保守力，它做的功与路径无关，仅与初末位置有关。

而因为感生涡旋电场是有旋矢量场，所以感生涡旋电场是非保守电场，涡旋电场力是非保守力，它所做的功不仅与初末位置有关，也与路径有关。

（3）和（7）是磁场高斯定律。

我们知道产生磁场的方式有两种，分别是传导电流和位移电流。

然而该定律表明这两种磁场在空间中的通量（散度）均为零，因此两种磁场都是无源矢量场，磁感应线是自闭合线[7]。

同时他也表明了磁单极子是不存在的。

（4）和（8）是麦克斯韦-安培定律，观察该定律，我们发现等式右边有一个与电场有关的量，这说明变化的电场对空间磁场环量有贡献，也即变化的电场在空间中激发了磁场。

这两种磁场性质相同，都是非保守场[8]。

3意义

经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律，并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。

但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚，在物理上以“场而不是以“力”作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符，这两条是发现电磁波方程的基础。

这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论[9]。

4麦克斯韦方程组的应用

磁传感器广泛应用于航空航天、自动化测量、磁性存储、生物医学等各行业中，扮演着重要角色。

巨磁阻抗（GiantMagnetoimpedance,GMI）效应作为一种新型磁传感技术，它能够弥补巨磁阻（GiantMagnetoresistance,GMR）传感器的不足，实现在很宽温度范围下对微弱磁场的快速灵敏测试，同时它的制作成本较低，容易实现微型化和集成化，是一种能够同时满足灵敏度高、微型尺寸、响应速度快、功耗低和无磁滞等信息技术要求的传感器。

相对于薄膜和薄带材料而言，非晶丝材比较容易制备，易于形成理想的磁各向异性，能够获得较为理想的敏感性和GMI性能[10]。

但是丝材存在着明显的缺点：

大批量生产时难以保证样品性能的可重复性，与电路的焊接、安装比较困难等。

而通过工艺手段的改进，薄膜和薄带材料目前在GMI性能和磁场敏感性方面已经达到甚至超过非晶丝材，同时二者的制作工艺能够与大规模集成电路相兼容，批量生产时能够保证样品性能的可重复性，制作成本较低，与电路的焊接和安装比较方便。

对单层和多层结构薄膜与薄带材料中的GMI效应，人们开展了相关的理论研究，但是理论研究的过程都进行了简化，没有考虑到材料中各向异性场、易轴取向和阻尼系数对GMI效应的影响，同时对于曲折状结构的薄膜与薄带材料，还没有相应的理论模型对其GMI效应进行描述。

对于薄膜和薄带GMI传感器的制备，很多研究小组采用手工裁剪或金属掩膜图形化的方法进行制备，缺乏对MEMS制备工艺的系统研究，难以保证样品的性能稳定性和批量化生产。

在生物检测方面，科学家已经开始了基于GMI传感技术的相关研究，但到目前为止，尚未见到针对某个具体病原体的、基于巨磁阻抗传感器的应用型检测体系。

同时，目前基于GMI效应的生物检测尚处于起步阶段，涉及到为数不多的细胞实验都是利用细胞样品具有的吞噬作用与磁性粒子进行结合，未有对某一种细胞样品进行特异性检测。

基于以上考虑，本文对基于软磁薄膜和薄带材料的微型GMI传感器开展理论、制备工艺和生物检测应用方面的研究，将基于MEMS工艺制备的高性能GMI传感器应用于生物检测领域，通过实验工作，为建立一套相对完善的、基于GMI效应的生物检测系统打下基础。

5总结

我们从麦克斯韦方程组的产生,形式、内容和它的历史过程中可以看到,第一、物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所撑握,所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的,一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。

第二、物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西,但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在”。

第三、我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。

通过学习麦克斯韦方程组，我更加感受到了物理学的美大自然的美科学的美。

科学美是一种与真、善相联系的，人的本质力量以宜人的形式在科学理论上的显现。

自然界中物质深层次的固有结构既然具有和谐、简介、对称的美学特征，那么在揭示与描述其奥秘的科学理论中就应当充分的反映。

正如德国著名物理学家海森堡所说：

“自然也反映在科学的美之中[11]。

”自然美以物质形态和运动过程的感性特征引发人的审美感受，表现为自然界的和谐统一。

而自然科学是由建立在经验和逻辑基础之上的关于自然界各种现象及其相互关系的普遍性和精确性陈述构成的有组织的知识。

自然科学的一个最核心的假设就是“一种广泛传播，出自本能的信念，相信存在着一种事物的秩序，特别是一种自然界的秩序”。

这种秩序感与人的审美心理相契合。

海森堡曾在他的一篇文章中引用了一句拉丁格言：

“美是真理的光辉”。

物理学中的科学美是理性的美、内在的美、本质的美、虽然物理学的研究范围极其广泛，物理规律极其复杂，但物理学的美却都具有对称、简洁、和谐、多样统一等特点。

麦克斯韦的光电磁统一理论是麦克斯韦等人总结法拉第等人的研究成果，进一步探究物理世界美的结晶，是经典物理学科美的典范之一。

麦克斯韦方程组在我心里是最美的方程[12]。

参考文献

[1]列昂.库珀,物理世界,杨其方等译,海洋出版社,1981:

第22章.

[2]麦克斯韦,电磁通论,戈革译,武汉出版社,1991.

[3]周剑民.麦克斯韦方程组的文化阐释,2005.

[4]李燕.高等继续教育学报（JournalofHigherContinuingEducation）《浅析“位移电流”》,2003年03期:

5.

[5]田晓岑.真空中的位移电流与真实电流同等地激发磁场的传统提法并没有错[J],大学物理,2001年20（8）:

24-28.

[6]陈俊华.《关于麦克斯违反方程组的讨论》物理与工程（PhysicsandEngineering）2002年04期:

18.

[7]陈宜生,杨晓龙.《对麦克斯韦方程组的理解》物理通报（PhysicsBulletin）,2001年10期:

2.

[8]白玄.十九世纪最深刻数学物理学家—麦可斯韦[M],北京:

中央文献出版社,2000.

[9]陈俊华.关于麦克斯韦方程组的讨论[J],物理与工程,2002,04:

18-20.

[10]佟华.硅谷（SiliconValley）《经典电磁场理论体系的建立》[J],2011年22期:

39.

[11]肖志俊.对麦克斯韦方程组的探讨[J],通信技术,2008,09:

81-83.

[12]周艳玲,吉春燕,杨庆余.19世纪电磁学史上的一座丰碑——麦克斯韦与电磁场理论的创立[J],物理与工程,2011,01:

59-63.

一、分离变量法求解电磁场问题的思路和步骤：

（1）建立正确的坐标系，

（2）确定变量的个数；

（3）求方程的通解；

（4）利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数。

二、解题关键是确定积分常数，积分常数的大致确定方法如下：

（1）若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期的，则分离常数是虚数，其解选三角函数；

（2）若在某一个方向的边界条件是非周期的，则分离常数是实数，其解选双曲函数或者指数函数。

其中：

有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；

若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。

三、分离变量法的特点：

分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。

它要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合。

在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。

四、综合分析分离变量法求解电磁场问题的思路和步骤。

将内半径为a、外半径为b的无限长中空圆柱导体，放入方向与圆柱轴线垂直的均匀外电场E0中，用分离变量法求平衡后的电势分布。

解：

圆柱的轴线与E0垂直，取圆柱轴线上一点o为原点，令轴线为Z轴，求电势分布，则电势u满足：

当导体平衡后，导体内表面没有电荷，内部空腔区域E0为零，内部电势也为零。

当导体平衡后，导体内部没有电荷，静电导体是一等势体，其表面是一等势面。

无穷远处电势为

在平面极坐标下，拉普拉斯方程的表达式为：

设

代入拉式方程，得到两个常微分方程:

对于边界条件U|r=b=0，在极坐标下分离变量得：

对于边界条件U|r=∞=-Er是非齐次得方程，则不能进行变量分离，且满足：

因此得到：

和

由

（1）式解得：

对于

（2）式解得：

于是有：

由边值条件得系数：

最后解得平衡后的电势分布为：