|f（v）「f（u）|=|v2「u2|=|vu||v「u|乞2（|a||b|）|v「u|
取M=2（|a||b|），即知函数y=x2在［a,b］上差商有界.
例1.2求证函数yhjx在区间［0,1］上非差商有界，但对于
任意的a>0,它在［a,上差商有界.
证明先用反证法证明其在区间［0,1］上非差商有界.若不然，有正数M,使得对［0,1］上任意两点u1.取u=0,v・代人推出2W1,矛盾.（图2）.
4M2
而当a>0时在［a,垃］上，由于匚且=亠,可见它是差
v-uJu+Jv2ja
商有界的。
几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界，也就是不能太陡，
多项式函数，三角函数，指数函数和对数函数，在有定义的闭区间上，总是差商有界的.两个差商有界函数的和，积.以及复合函数也是差商有界的，
显然有
定理1.2如果函数F（x）在区间［a,c］上和区间［c,b］上都是差商有界的，则它在区间［a.b］上也是差商有界的.反过来，若函数F（x）在区间［a,b］上差商有界，则它在［a,b］的任意子区间上也是差商有界的.
差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数”.练习计算函数的差分差商，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却
很有帮助.
2换一个眼光看3个经典例子
不用极限，如何看待微积分的几个经典案例呢？
例2.1用S=S（t）表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V二V（t）表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间［u，v］上的平均速度的大小，应当在［u,v］上的某两个时刻的瞬时速度之间.
也就是说，有［u,v］上的p和q,使得下面的不等式成立：
u-v
V（p）乞S（u）_S（v）乞V（q）（2.1）
上式可用语言表达为“函数S（t）的差商是v（t）的中间值”.
要注意的是，尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某两个时刻的瞬时速度之间”，但要提炼出不等式（2.1）并不容易.从直观的表述得到数学的符号语言，对学生是很好的锻炼，
例2.2记函数y=F（x）的曲线上在点x处的切线的斜率为k（x）.则过两点A=（u,F（u））和B=（v,F（v））的割线的斜率，应当在［u,v］上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间（图3）.
图3割践絆車在两切线無率之间
也就是说，有［u,v］上的p和q,使得下面的不等式成立：
k（p）J（U）_F（v）mk（q）（2.2）
u—v
上式可用语言表达为“函数F（x）的差商是k（x）的中间值”上面两个例子，在数学上是一回事.但从平均速度和瞬时速度的问题中，更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值.
例2.3考虑［a,b］上的函数f（x）的曲线和x轴之间的面积.若记［a,b］上曲边梯形面积为F（x）（如图4）,则［u,v］上这块面积为F（v）-F（u）.如果把这块面积去高补低折合成长为v-u的矩形,则矩形的高应当在［u,v］上的某两个变量值对应的f（x）的值之间（图5）.
\
/（X）
\
O
«工$X
也就是说，有［u,v］上的p和q,使得下面的不等式成立：
f（p^F（U）~F（v^f（q）（2.3）
u—v
上式可用语言表达为“函数F（x）的差商是f（x）的中间值”
注意，我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义.但从几何
直观上看，这面积应当存在，并且折合成长为v-u的矩形后，矩形的
上面3个例子中，都涉及两个函数，其中一个函数的差商是
另一个函数的中间值，
从这些例子中，提炼出一个问题，这是微积分的基本问题：
若f（x）的差商是g（x）的中间值，知道了一个函数，如何求另
一个？
这个问题解决了，求作曲线切线的问题，求瞬时速度问题，求曲边梯形面积问题就都解决了.
牛顿和莱布尼兹是天才，他们一下子就想到用无穷小或用极限来解决这些问题：
无穷小也好，极限也好，都属于天才的思想，所以长时期内使普通人困惑，普通人的平常的推理，只能想到平常的不等式（2.1）,（2.2）和（2.3）.对这些不等式，小学生都不会困惑。
问题在于，从这些不等式出发，不借助无穷小或极限概念，
能得到问题的答案吗？
3用平常的推理寻求答案
我们已经从3个经典问题中提炼出来一个数学模型：
若函数f（x）的差商是g（x）的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？
为了方便，引入
定义3.1若在I的任意闭子区间［u，v］上，函数f（x）的差商都是g（x）的中间值，则把f（x）叫做g（x）在I上的甲函数，把g（x）叫做f（x）在I上的乙函数，
显然有定理3.1若g（x）是f（x）在［a，b］上的乙函数，又是f（x）
在［b，c］上的乙函数，贝卩g（x）是f（x）在［a，c］上的乙函数，
这是因为，对于任意的uvvvw,差商f（w）一f（u）总在f（w）—f（u）w-uw-u
和f（v）-f（u）之间的缘故.‘
V-u
学过一些微积分的读者心知肚明，f（x）的乙函数似乎就应当
是f（x）的导数.但是，用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗？
例3.1函数g（x）=2x是f（x）=x2的乙函数.
事实上，对任意uf（V）-f（u）V2-u2
（3.1）
uV
V—uV一u
不等式g（u）=2u函数.
例3.2函数g（x）=3x2是f（x）=x3的乙函数.
这里有
（3.2）
f（v）—f（u）d=u2uvv2
V-uV-u
当UV>0时，u2uvv2显然在g（u）=3u2和g（v）=3v2之间；这表明，在（一汽O］和［O,+C0）上，g（x）=3x2都是f（x）的乙函数.因此在（一°°,+00）上函数g（x）=3x2是f（x）=x3的乙函数，
例3.3对任意正整数n,函数g（x）=nx2是f（x）=xn的乙函数.
推导类似于上例，从略.
例3.4在（0,+°）上，函数g（x）=—1_是f（x）=、,x的乙函数.2品
同样道理，对Ovuvv有
f（V）—f（u）__1（33）
v-u_卞丁「右一°（）
不等式g（v）1-1-1=g（u）表明，g（x）是f（x）的乙函
2JvJu2Ju
数.
例3.5在（0,+°）和（一°,O上，函数g（x）二丄是f（x）=丄
xx
的乙函数.此时
f（v）-f（u）_V__=z!
（34）:
v-uv-uuv
不等式g（u）二丄_二二g（v）表明，g（x）是f（x）的乙函数.
uuvV
例3.6在（一°,+oo）上，函数g（x）=cosx是f（x）=sinx
的乙函数.
只要对任意的整数n,证明在［牛，豊丄］上函数g（x）=cosx是
f（x）=sinx的乙函数即可.
注意当0：
：
：
h时，有sinh：
：
$^：
：
：
1；于
2h
是对警，［宁，斗｝］上的任意两点uv_uv+u
sinv-sinusin（^）cos（-^）
V-u
另一方面，有
2sin（匕土）cos匸巴）
sinv-sinu'22
V-U“v+u、cosu+cosv-cos（）cos（
这表明，在［宁,呼］上COSX是sInx的乙函数.
成立.
例3.7在［0宀）上，函数g—是f（x"的乙函数.
这个例子计算起来稍繁，但方法大体相同，对owu算出
f（v）-f（u）（而）3-（vu）3u+v+vuv
v-u（M2-（‘u）2
（3・7）
再根据owu3、u（,u亠.v）=3（u亠，uv）_2（uv.uv）_3（v“uv）=3、v（、u亠-v）（3.8）
从而得到兰匕昇一，表明g（x）=乞$是f（X）=X2的乙函数，
2石+W2yk72'
例3.7值得注意：
所得到的乙函数在包含0的区间有定义，
但不是差商有界的.
例3.8探索问题，g（x）23x，2a是不是
f（x）=x3ax2bxc的乙函数呢？
如果对f（x）分项求乙函数再加起来确实得到g（x）.但是现在还没有证明分项计算乙函数的法则，所以只能直接计算.先求出f（x）在［u,v］上的差商，记做D二一=v2uvu2a（uv）b考虑它
和g（u）以及g（v）之差：
222
D-g（u）=v-uuv-ua（v-u）=（v-u）（v2ua）（3.9）
222
g（v）-D=v-uv-uva（v-u）=（v-u）（2vua）（3.10）
因为（v-u）总是正数，故当3u+a>0时，（3.9）和（3.10）
都非负，即g（u）•：
：
）上g（x）是f（x）的乙函数；3
当3v+a<0时，（3.9）和（3.10）都非正，即g（v）上g（x）也是f（x）的乙函数.这肯定了在（°°,+^°）上g（x）3
是f（x）的乙函数.
上面求出来的乙函数和用取极限方法求出来的导数是一样
的.普普通通的推理和天才巨匠的方法得到了相同的结论.奇怪的是，
这样平常的推理，过去居然没人提到！
由定义直接推出：
定理3.2（i）函数g（x）=0是常数函数f（x）=C的乙函数.
（ii）函数g（x）=k是一次函数f（x）=kx+b的乙函数.
（iii）若函数g（x）是f（x）的乙函数，则函数kg（x）是kf（x）
+c的乙函数.
（iv）若函数g（x）是f（x）的乙函数，则函数kg（kx+c）是f（kx
+c）的乙函数.
乙函数还有什么用？
下面的定理说明，乙函数用处很大.
定理3.3设在区间I上函数g（x）是f（x）的乙函数，在I的
任意子区间［u,v］上，若g（x）为正则f（x）递增；若g（x）为负则f（x）递减；若g（x）为0则f（x）为常数.
根据乙函数的定义就知道，这个命题显然成立.
上面诸例中得到的乙函数其实就是导数.在当前的高中教材
中，根据导数正负判断函数增减是导数的最重要的应用，可是道理说
不清楚.在大学里非数学专业的高等数学课程里，也只能讲一部分道
理，不要求完全严谨证明.因为涉及实数理论，板限概念和连续性，完全说清楚至少要两周的课时.现在，平平常常的推理，就说清楚了.既直观又严谨.
由例3.8和定理3.3，三次函数单调区间的确定以及最大最小值问题就完全而严谨地解决了.新方法的好处露出了冰山一角.
4导数概念
上面几个例子中找出来的乙函数，除了例3.7，在有定义的闭区间上都是差商有界的.
差商有界的函数有何特色呢？
定理4.1（差商有界函数的局部保号性）设函数f（x）在区间
I上差商有界，且对任意实数A和uI有f（u）>A（或f（u）vA），则有一个包含u的开区间△，使对一切X-I都有f（x）>A（或f（x）证明由f（x）在区间I上差商有界，有正数M使得对于任意
xl有If（x）-f（u）DM|x-uI，也就是
f（u）M|x-u|—f（x）—f（u）-M|x-u|（4.1）
于是当|x-u卜:
卫心（或以7卜：
比血）时，就有
MM
f（u）_AA_f（u）
f（x）f（u）-MA（或f（x）：
：
f（u）MA）（4.2）
MM
证毕.
保号性表明，差商有界函数在每个点处的函数值在某种意义上是有代表性的.它能代表附近一小片的函数值.这样具有保号性的函教在实际问题中才有意义，才不至于因为自变量的一点误差而引起函数值的大波动，不至产生“差之毫厘，谬之千里”的后果.
一般说来，具有保号性的函数叫做连续函数.连续函数是一类比差商有界函数更广泛的函数.上面提到的函数y=G在[o,1]上
不是差商有界的，但却是连续的.在中学如果讲连续函数，涉及更多的概念，增加了推理的难度.从应用范围和思想方法来看，差商有界的函数足够广泛也足够说明思路和方法的实质，但推理要干净利落得多.
进一步看，差商有界的乙函数有何特色呢？
定理4.2若在I上f（x）是F（x）的乙函数，且f（x）在I上差
商有界，则有正数M使对I上的任意两点u和u+h,和任意的s€[u,u+h]（或
s€[u+h,u]）有
|F（uh）-F（u）-f（s）h#Mh2（4.3）
或等价地，，hz0时有|F（uh）-F（u）_f（s）^M|h|（4.4）
h
证明由乙函数的意义，对I上的任意两点u和u+h,有[u,
u+h]（或[u+h,u]）上的两点p和q,使得
将（4.5）的各项同减f（s）得
f（p）-f（s）乞F（Uh^~F（U^f（s^f（q^f（s）（4.6）
h
注意到p、q和s都在u和u+h之间，又因为f（x）在I上差商有界，故有正数M使得
|f（q）—f（s）|^M|q—s|EM|h|
彳（4.7）
|f（p）-f（s）EM|p-s$M|h|
结合（4.6）和（4.7）得到（4.4），去分母后得到（4.3）.而（4.3）当h=0时仍成立.证毕.
不等式（4.4）表明，当乙函数差商有界时，只要h=v-u足够
小，甲函数在［u,v］上的差商和乙函数在［u,v］上的函数值就能非常接近，要多么接近就可以多么接近，也就是说，当时间段足够小的时候，平均速度和瞬时速度的差可以要多么小就多么小.或者说，当函数的曲线上两点足够接近时，过两点的割线的斜率和其中一点处切线的斜率的差，可以要多么小就多么小.这在物理上和几何上都很合理，很符合直观的想象，
现在我们淡化甲函数乙函数这些临时性的语言，向传统的数学概念靠拢.
定义4.1（强可导的定义）设函数y=F（x）在I上有定义，
如果存在一个定义在I上的函数f（x）和正数M使得对I上的任意点x和x+h（这里h可正可负）成立不等式
|F（xh）—F（x）-f（x）h^Mh2（4.8）
或等价的不等式
|F（U［呼⑴）_电）匡m|h|（4.9）
h
则称函数y=F（x）在I上强可导，并称f（x）是F（x）的导函数，简称为F（x）的导数，记做F（X）二f（x）或y=f（x），或3=f（x）.
dx
由定理4.2和强可导的上述定义，立刻得到：
推论4.1若在I上f（x）是F（x）的乙函数，且f（x）在I上差
商有界，则F（x）强可导，且其导数就是f（x）.
强可导函数是否可能有多于一个的导数呢？
定理4.3（强可导函数的导数唯一性）若F（x）在I上强可
导；f（x）和g（x）都是F（x）的导数，则对一切xl,f（x）=g（x）
证明用反证法.假设有x。
-I，使得f（X。
）-g（x。
）=d=0取h使…引且叶扫，由F（x）强可导，有M>O使
|"。
［""。
…冋
|F（xoh「F（xo）g）|_M|h|
于是得
|d円f（X。
）-g（x°）|
定理4.3告诉我们，一个函数的乙函数中，至多只有一个是
差商有界的，它就是导数.直观上看，它就是例2.1中要求的瞬时速度，就是例2.2中要求的切线的斜率.
5导数计算初步
用强可导的定义来计算导数，和前面计算乙函数的方法相比
各有千秋.但用于探索计算的法则，有时更方便，规律性更强.
例5.1
验证函数f（x）-x3在任意区间［a,b］上强可导，且
（x3）'=3x2
解根据函数的差分计算结果得
22322
|f（xh）-f（x）-3xh|=|3xhh|=|3xh|h_3（|a||b|）h（5.1）
取M=3（|a|+|b|），由强可导定义，即得所要结论.
例5.2
验证函数F（x）J土在任意不含0的闭区间［a,b］上
X
强可导，且（丄）丄-g
XX
解计算函数的差分得到
11hhhh
F（xh）-F（xr石〒-寸二V（厂刁）®2）
移项，并且设m=min{|a|,|b|}，则有
取M=A，由强可导定义即得所要结论.
m
例5.3验证函数G（x）-上在在任意不含0的闭区间［a,b］
计算函数的差商和的差，得到
2jx
G（xh）-G（x）1h2x
=_1L|
y/x+h+yfx2yfx\（Jx+h_仮）
2\/x（Jx+h+依）
例5.4验证：
（i）f（x）=ax+b在任意区间I上强可导，且
（（axb）"（5.5）
（ii）f（x）=xn（n为正整数）在任意区间［a，b］上强可导，
且
（xnf=nxn」（5.6）
解（i）由于|f（x+h）-f（x）-ah|=|a（x+h）-ax-ah|=0
n
（ii）由于f（xh）-f（x）=（xh）n-xn=nxn'h'C：
xn*hk得
k=2
n
|f（xh）-f（x）-nxnjh鬥'C^kx^hkI乞2n（|aI|b|）n'h2（5.7）
k=2
取M=2n（|a||b厂,由定义可知，f（x）"强可导，且f（x）=nxn4
由例5.4（i）可以推出，常数函数是强可导的，其导数为0.
上面得到的结论和前面求乙函数所得可谓殊途同归.
下面对求导运算基本法则作初步探讨.
定理5.1（求导运算的线性性质）若F（x）和G（x）都在［a,
b］上强可导,f（x）和g（x）分别是F（x）和G（x）的导数，贝S
（i）对任意常数c,cF（x）在［a,b］上强可导，且其导数是
cf（x）；
即
（cF（x））=cF（x）
（5.8）
（ii）F（x）+G（x）
在［a,b］上强可导，且其导数为f（x）+g（x）;
即
（F（x）G（x））=F（x）G（x）（5.9）
（iii）设cmo,则F（cx+d）在［空d,bd］（或卩d］cccc
上强可导，且其导数是cf（cx+d）;即
（F（cxd））=cF（cxd）（5.10）
证明（i）由F（x）在［a,b］上强可导，f（x）是F（x）的导数，
有M>O使
2
|F（x+h）-F（x）-f（x）h|于是得|cF（x+h）-cF（x）-cf（x）h|<|cM|=M1h2，这证明了
所要结论.
（ii）由F（x）和G（x）都在［a,b］上强可导，f（x）和g（x）分别
是F（x）和G（x）的导数，有M>0使
（5.11）
$F（x+h）_F（x）_f（x）hWMh
”G（x+h）—G（x）—g（x）h|EMh
.立
|F（xh）G（xh）-（F（x）G（x））-（f（x）g（x））h卜2Mh2（5.12）
这证明了所要结论（
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