《步步高学案导学设计》数学必修一北师大第二章指数函数和对数函数553Word下载.docx
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尸x对称.
3.对于底数0>
1的几个对数函数，在（1，+8）区间内，底数空_越靠近x轴；
对于底数0<
«
<
1的几个对数函数，
探究点一对数函数的图像和性质
问题1你能在同一坐标系内画出函数y=lo时及丿=b叩的图像吗？
问题2通过观察问题1画出的两个函数的图像，你能说出
这两个函数的相同性质和不同性质吗？
答相同性质：
两图像都位于y轴右方，都经过点（1,0）,这说明两函数的定义域都是（0,+°
）,且当x=l时，y=0.
不同性质：
y=log3x的图像是上升的曲线，烛亡的图像是下降的曲线，这说明前者在（0,+°
o）上是增函数，后者在（0,+°
）上是减函数.
问题3你能从函数y=log3X及的解析式的关系上说明其对应的函数图像的关系吗？
3
答利用换底公式，可以得到：
—1。
肿，又点3,y）和点（x,—y）关于％轴对称，所以，y=log3x和吨严的图像关于x轴对称.'
问题4类比指数函数的性质，你能写出对数函数y=lo&
x的性质吗？
答对数函数的性质如下表
函数
y=log（K（a>
0口亠ci1）
底数
a>
l
0GV1
图像
y
厂
y!
o
/f1x
1
—
定义域
（0,+°
）
值域
R
定点
（1,0）,即x=\时,y=Q
值分布
当x>
l时，y>
0当OVxVl时，y<
当兀>
1时，y<
0当OVxVl时，y>
单调性
在（0,+8）上是增函数
在（0,+8）上是减函数
趋势
底数越大，图像越靠近X轴
底数越小，图像越靠近X轴
探究点二对数函数性质的应用例1比较下列各题中两个数的大小:
（1）log25.3与log24.7；
（2）log0.27与log0.29；
（3）log37t与lo斷3；
（4）lo弧3.1与lo刍5.2（a>
0,aHl）.
解⑴丁底数a=2>
l,函数y=log2x是增函数，
又J5.3>
4.7,・\log25.3>
log24.7；
（2）丁底数“=0.2,而0<
0.2<
1,/.函数y=logo.2X是减函数,又•.*7<
9,.，.log0.27>
logo.29;
（3）Vy=log3x是增函数，ti>
3,/.log37C>
log33=1,同理1=logKK>
logn3,log37i>
logK3；
⑷当a>
\时，函数y=\ogax在（0,+°
）上是增函数，此时logfl3.1<
logfl5.2；
当Ovavl时，函数y=logM在（0,+°
）上是减函数，此时loga3.1>
logfl5.2.
小结比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数判断对数函数的单调性；
再利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数“进行
跟踪训练1比较下列各题中两个数的大小：
（1）logo.il.3和logo.jl.8；
（2）10^5和log64；
⑶（lgn）11和（1»
）2（〃>
1）.
解⑴对数函数尸logo.]%在（0,+°
）内是减函数.因为1.3<
1.8,所以logo,il.3>
logo,il.8.
（2）因为log35>
log33=1=log66>
log64,所以log35>
log64.⑶若l>
lgn>
0,即1<
h<
10时，y=（lg沙在R上是减函数，所以（lgn）1!
（lgn）2;
若lgn>
l,即n>
10时，y=（lg〃）x在R上是增函数，所以（lg』<
0gn）2.
若lgn=l,即n=10时，（lgn）11=（lgn）2.
探究点三底数大小与函数图像的关系
问题1观察下图所示函数j=log2x,y=logo.尹，J=log10r,
J=logo.iX图像，你能得出什么结论？
y=log2兀
y=logiar
X
y=log01xy=logo.H
答对于底数6/>
1的对数函数，在（1,+°
）区间内，底数越大越靠近x轴；
对于底数Ovavl的对数函数，在（1,+°
）区间内，底数越小越靠近x轴.
问题2函数j=Iog^,y=logbX9y=logcX的图像如下图所
示，那么a,b,c的大小关系如何?
的图像在（1,+呵上比y=logK的图像靠近x轴，所以bvc,因此a,byc的大小关系为0<
b<
c<
1<
a・
例3⑴比较下列各组数的大小.
26
①10眄与log5g;
®
logL10.7与logL20.7.
（2）已知10§
1^<
10§
1«
kg】s比较2阮的大小关系.
222
解⑴①Vlog3^<
log3l=0,而log5^>
logs1=0,
②方法一70<
0.7<
1,1.1<
1.2,
Alog3^<
log55-••0>
logo.71・1>
logo.71-2.
]]
logo.7】・1log0.71・2,
由换底公式可得logL10.7<
logL20.7.
方法二作出J=10gLiX与y=logi・2兀的图像，
如图所示，两图像与兀=0・7相交可知log1.10.7<
log120.7.
.9.b>
c.
而y=2x是增函数，：
.2b>
2a>
2c.
小结比较对数式的大小方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；
②若底数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图像，数形结合解得；
③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.
跟踪训练3已知函数幷）=lo&
（l—/）@>
0,“Hl）.解关于兀的不等式：
lo&
（l—巧>
/*
（1）；
解=bg“（1—/），・°
談1）=log“（1一“）•
/.1—a>
0・.：
。
VaV1.
•••不等式可化为logjl一6?
）>
10gd（l—d）・
：
.0<
x<
l.
•••不等式的解集为（o，l）・
例4人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中,
常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰
减服从指数规律：
C（f）=G）e其中t表不衰减的时间，Cq
表示放射性物质的原始质量，C（f）表示经衰减了/年后剩余的
质量.为了计算衰减的年代，通常给出该物质衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，"
C的半衰期大约为5730年，
由此可确定系数几人们又知道，放射性物质的衰减速度与质
量成正比.1950年在巴比伦发现一根刻有Hammiwbi王朝字
样的木炭，当时测定，其14C分子衰减速度为4.09个/（gmin）,
而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为6.68个/（g・min）,
请估算出Hammurbi王朝所在年代.
解因为叱的半衰期大约为5730年,所以建立方程l/2=e-5730r.解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数C（t）=C°
e-o・oooa,设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为％年,放射性质物质的衰减速度是与质量成正比的，所以罟=甥•于是e严°
hi/=4.09/6.68,两边取自然对数，得一0.000121九=
In4.09-In6.68,解得054（年），即Hammurbi王朝大约存
在于公元前2100年.
跟踪训练4溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻
画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[屮]表示溶液
中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱
度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=107摩尔/升，计算纯
净水的pH.
解⑴根据对数的运算性质，有pH=—lg[H+]=lg[H+]_1=lg詁打在（0,+°
）上，随着[FT]的增大，詁打减小，相应地,lg击也减小，即pH减小，所以随着[屮]的增大，pH值减小,
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸碱度就越小・
（2）当[H+]=10-7时，PH=-lglO_7=7,所以纯净水的pH是7.
1.函数y=x+a与y=lo%x的图像可能是
解析由直线y=x+a在y轴上的交点，可得tz的取值范围，然后看这个范围是否适合的图像所在的位置，只有C符合.
2.比较下列各题中两个数的大小:
（l）log23.4,log28.5；
（2）log0,31.8,log0,32.7；
（3）10^5.1,log^5.9（«
0,aH1）•
解
（1）考察对数函数y=log2"
因为它的底数2>
1,所以它在（0,+8）上是增函数,于是log23.4<
log28.5；
（2）考察对数函数〉=logo.3X，因为它的底数0<
0.3<
1,所以它在（0,+8）上是减函数,于是logo.31.8>
logo.32.7；
⑶当a>
l时，y=\ogax在（0,+°
）上是增函数，
于是loga5.1<
log^5.9；
当Ovavl时，y=logn在（0,+8）上是减函数，
于是10ga5・l>
10ga5・9・
@课堂小结
1.两个对数比较大小的常用方法：
（1）同底数比较大小时:
当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断；
当底数不确定时，应对底数进行分类讨论；
（2）同真数的比较相同，则常借助1、0等中间量进行比较.
2.对数函数）=lo討和y=loSix的图像关于兀轴对称；
对数函数y=lo討（兀丘（0,+8））与函数y=ax（xeR）互为反
函数，它们的图像关于直线对称.
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