北师大版九年级数学上册16应用一元二次方程培优训练题1附答案.docx

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北师大版九年级数学上册16应用一元二次方程培优训练题1附答案

北师大版2019-2020九年级数学上册1.6应用一元二次方程培优训练题1（附答案）

1．元旦将至，九

（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九

（1）班共有多少名学生？

设九

（1）班共有x名学生，那么所列方程为（）

A．

B．

C．

D．

2．今年福安白云山千古冰臼群迎来旅游高峰,前三天的游客人数共计约5.1万人,其中第一天的游客人数是1.2万人,假设每天游客增加的百分率相同,且设为

则根据题意可列方程为（）

A．

B．

C．

D．

3．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个流感患者传染人的个数为（）

A．10B．11C．60D．12

4．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x，根据题意可列出关于x的方程为（）

A．

B．

C．

D．

5．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-13x＋36=0的根，则三角形的周长为（）

A．13B．15C．18D．13或18

6．市工会组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（  ）

A．11个B．10个C．8个D．9个

7．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）

A．

B．

C．

D．

8．据调查，2014年5月某市的平均房价为7600元/m2，2016年同期将达到8200元/m2，假设这两年该市房价的年平均增长率为x,，根据题意，所列方程为（）

A．7600（１＋x%）2=8200B．7600（1-x%）2=8200

C．7600（１＋x）2=8200D．7600（1-x）2=8200

9．一个两位数，个位数比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为_____________．

10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价________．

11．某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率________.

12．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为_____.

13．电视机原价1000元，先提价10%，再降价10%，这时电视机的售价为__________。

14．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是_______________.

15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为_________.

16．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．

17．据统计，某市农村居民人均纯收入由2012年的14000元增长到2014年的16940元，则这个市从2012年到2014年的年平均增长的百分率是________．

18．某种商品两个月内从每件250元降低到了160元，平均每月降价的百分率是____．

19．向阳村2014年的人均收入为1200元，2016年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率．

20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝4．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．

21．某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，则票价应定为多少元？

22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为96m2？

23．要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．

（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；

（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积．（友情提示：

小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同）

24．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．

（1）经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？

试说明理由．

25．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.

（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

（2）求当这种商品售价为多少时，该商品的总利润最大？

并求总利润的最大值？

26．某图书馆2015年年底有图书10万册，预计2017年年底有图书14.4万册.求这两年图书册数的年平均增长率．

参考答案

1．D

【解析】由题意得：

每个学生需要向其他（x-1）个学生，则得方程得：

.故选D.

2．D

【解析】试题解析：

设增长率为

，根据题意得：

第二天的人数为

，第三天的人数为

，所以

，故选D.

3．A

【解析】设每轮传染中，平均每个流感患者传染

人，根据题意得：

，解得：

（不合题意，舍去），

∴每轮传染中，平均一个流感患者传染10人.

故选A.

4．B

【解析】本题依题意可知矩形边框的周长为16米，即已知矩形相邻两边的和是8，再结合矩形的面积公式得出答案．

解：

依题意得：

一边长为x，则另一边长=8-x，又矩形的面积为：

x（8-x）= 9 ．故选B．

5．A

【解析】试题解析：

解方程x2-13x+36=0得，

x=9或4，

即第三边长为9或4．

边长为9，3，6不能构成三角形；

而4，3，6能构成三角形，

所以三角形的周长为3+4+6=13，

故选A．

考点：

1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．

6．D

【解析】设参加比赛的球队个数为x，根据题意可得，

=36，整理可得x2－x－72=0，（x－9）（x+8）=0，x=－8或9，x=－8舍去，所以x=9.

故选D.

点睛：

若有x个球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），那么一共进行了

场比赛.

7．C

【解析】本题可根据：

原售价×（1-降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程：

3200（1-x）2=2500，

故选C.

8．C

【解析】2015年同期的房价为7600（1+x），

2016年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，

即所列的方程为7600（1+x）2=8200，

故选C．

9．25或36

【解析】

试题分析：

设十位数字为x则个位数字为x+3,所以两位数为10x+x+3=11x+3，因为个位数字的平方刚好等于这个两位数，所以

=11x+3，解得x=2或3,所以得到25,或36．

考点：

一元二次方程的应用

10．10元或20元

【解析】设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价x元，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，即商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元.

故答案为：

10元或20元．

11．20℅

【解析】设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意得，5000（1+x）2=7200，解得x1=

=20%，x2=-

（舍去），所以这两个月平均每月增长的百分率是20%．

点睛：

本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，要根据实际情况确定解得取舍．

视频

12．1+a+a2.

【解析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，

可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：

1+a+a2.

故答案为：

1+a+a2.

13．990元

【解析】

14．-1或4；

【解析】试题分析：

∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1，

解得x=﹣4或x=﹣1．

考点：

一元二次方程的解

15．

％

【解析】

根据题意，设这种药品的成本的年平均下降率为x，则一年前这种药品的成本为100（1-x）万元，今年在100（1-x）元的基础之又下降x，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2万元，进而可列出方程100（1-x）2=81，解得x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．

故这种药品的成本的年平均下降率为0.1，即10%．

故答案为：

10.

点睛：

此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．

16．x2﹣70x+825=0

【解析】

试题分析：

本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．

试题解析：

由题意得：

（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：

x2﹣70x+825=0

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

17．10%

【解析】试题分析：

设年平均增长率为x，根据题意可得：

14000

，则

，

，解得：

（舍去），即年平均增长率为10%．

18．20%

【解析】设降价的百分率为x,降价一次后的价格是250（1-x）,第二次降价后的价格是250（1-x）2,由"降为每台160元"作为相等关系可列方程,解方程即可求解.

解：

设降价的百分率为x,由题意得250（1-x）2=160，

解得,x1=0.2，x2=-1.8（舍）

所以平均每次降价的百分率为20%.

19．该村人均收入的年平均增长率为10%．

【解析】

试题分析：

设该村人均收入的年平均增长率为x，2012年的人均收入×（1+平均增长率）2=2014年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．

试题解析：

设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：

1200（1+x）2=1452，

解得：

x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．

答：

该村人均收入的年平均增长率为10%．

【考点】一元二次方程的应用．

20．点P运动的时间是1秒．

【解析】

试题分析：

先设出AP,BQ,PC,QC关于AP的长度，再利用四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半作为等量关系，列方程，解方程.

试题解析：

设点P运动了x秒，则AP＝x，BQ＝2x.

由AC＝4，BC＝6得：

PC＝4－x，QC＝6－2x.

根据题意得：

∴

∵∠C＝90

∴

解得：

，

经检验，x＝6舍去

答：

点P运动的时间是1秒．

21．票价应定为35元.

【解析】试题分析：

可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程解题．

试题解析：

设票价应定为

元，依题意得：

解之得

答：

票价应定为35元。

22．长为12m、宽为8m．

【解析】试题分析：

设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为

，可以得出平行于墙的一边的长为

根据矩形的面积公式建立方程求解即可.

试题解析：

设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为

，可以得出平行于墙的一边的长为

，由题意得

解得：

当

时，

（舍去），当

时，

答：

所围矩形猪舍的长为

宽为

23．

（1）小亮设计方案中甬路的宽度为2m;

（2）2299m2.

【解析】试题分析：

（1）利用平移把互相垂直的小路分别移到左侧和下面，表示出绿地的长和宽，建立绿地面积的一元二次方程求解；

（2）由上题知道了甬路的宽，此题绿地面积应该等于矩形面积减去两个平行四边形的面积再加上两个平行四边形重合的小正方形的面积，因为两条甬路为平行四边形，所以求出平行四边形的高是解决问题的关键，过A点作CD边上的高，利用60度的正弦值求出高，即可求出绿地面积．

试题解析：

（1）由题意可得，绿地的长为（52-x）m，绿地的宽为（48-x）m，因为绿地面积共2300平方米，所以列方程得：

（52-x）（48-x）=2300，去括号得：

x2-100x+196=0，解得：

x1=2，x2=98（不合题意舍去），所以x=2，即甬路的宽度为2m；

（2）过A点作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J，因为AB∥CD，∠1=60°，所以∠ADI=60°，因为BC∥AD，所以四边形ADCB为平行四边形，所以BC=AD，由上题得甬路x=2，所以BC=HE=2=AD，在Rt△ADI中，AI=2sin60°=

，所以绿地面积应该等于矩形面积减去两个平行四边形的面积再加上两个平行四边形重合的小正方形的面积，即为52×48-52×2-48×2+

=2496-104-96+3=2299（平方米）．

考点：

实际问题与一元二次方程．

24．

（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；

（1）△PBQ的面积不能等于7cm2．

【解析】试题分析：

（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．

（2）参照

（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．

试题解析：

（1）设x秒后，∆PBQ的面积等于4cm2，

此时，AQ=xcm,QB=（5-x）cm.BP=2xcm,

由

QB·BP=4得

（5-x）·2x=4，

整理，得x2-5x+4=0，

解得x1=l，x2=4（不合题意，舍去）

所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.

（2）根据题意，得

（5-x）·2x=7,

整理，得x2-5x+7=0,

因为b2-4ac=25-28<0，

所以此方程无解，即△PBQ的面积不能等于7cm2.

25．

（1）60；

（2）售价326元时，总利润最大为10580元

【解析】试题分析：

（1）设每件应降价x元，则销量增加5x件，总利润=（售价-降价-进价）×（60+5x），代入列方程，解出即可，并根据有利于减少库存取舍x的值；

（2）设总利润为W元，同理列函数解析式，利用配方法求最值．

试题解析：

（1）设每件应降价x元，

根据题意得（360-x-280）（5x+60）=7200，

解得x1=8，x2=60，

∵有利于减少库存，

∴x=60，

答：

每件商品应降60元；

（2）总利润=（360-x-280）（5x+60）=-5（ x-34）2+10580，

当x=34时，总利润有最大值，则售价为：

360-34=326，

则当降价34元，

即售价326元时，总利润最大为10580元．

26．20%

【解析】试题分析：

经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书10（1+x）2万册，即可列方程求解．

试题解析：

设这两年图书册数的年平均增长率为x．

根据题意，得10（1+x）2=14.4

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2 （不符合题意，舍去）．

答：

这两年图书册数的年平均增长率为20%．