李老师高考一轮复习精品学案排列组合.docx
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李老师高考一轮复习精品学案排列组合
排列组合、二项式定理、概率
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
典例精析
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有 种取法.
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有 种.
【题型三 分类和分步计数原理综合应用
【例3】（2011长郡中学）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 .
排列与组合
典例精析
题型一 排列数与组合数的计算
【例1】计算：
（1）
；
（2）C
＋C
＋…＋C
.
【变式训练1】解不等式
＞6
.
题型二 有限制条件的排列问题
【例2】3男3女共6个同学排成一行.
（1）女生都排在一起，有多少种排法？
（2）女生与男生相间，有多少种排法？
（3）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？
（4）3名男生不排在一起，有多少种排法？
（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
题型三 有限制条件的组合问题
【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.
（1）A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？
（2）A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？
（3）A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？
（4）A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？
（5）A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？
【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.
（1）在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
（2）在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？
排列组合难题解法
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
二.相邻元素捆绑策略
例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
练习题:
10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
六.环排问题线排策略
例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
七.平均分组问题除法策略
例7.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
二项式定理典例精析
题型一 二项展开式的通项公式及应用
【例1】已知
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
（1）求证：
展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有的有理项.
【变式训练1】若（x
＋
）n的展开式的前3项系数和为129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项？
如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.
题型二 运用赋值法求值
【例2】
（1）已知（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则n＝ ；
（2）已知（1－x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋（－1）nan＝ .
【变式训练2】设（3x－1）8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值.
题型三 二项式定理的综合应用
【例3】求证：
4×6n＋5
n＋1－9能被20整除.
【变式训练3】求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
随机事件的概率与概率的基本性质
典例精析
题型一 频率与概率
【例1】某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？
（结果保留到小数点后三位）
【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
题型二 随机事件间的关系
【例2】从一副桥牌（52张）中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.
题型三 概率概念的应用
【例3】甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计后，得到如下列联表.
优秀
非优秀
总计
甲
10
乙
30
总计
105
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
.
（1）请完成上面列联表；
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”（参考数据P（K2＞6.635）＝0.05）；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：
把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.
古典概型
典例精析
题型一 古典概率模型的计算问题
【例1】一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：
辆），
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆.
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9.4,8.6,9.2,
9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
题型二 有放回抽样与不放回抽样
【例2】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
题型三 古典概型问题的综合应用
【例3】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.
（1）若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
（2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为
，求n.
几何概型
典例精析
题型一 长度问题
【例1】如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，
试求：
（1）△AOC为钝角三角形的概率；
（2）△AOC为锐角三角形的概率.
题型二 面积问题
【例2】两个CB对讲机（CB即CitizenBand民用波段的英文缩写）持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：
00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：
00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：
00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
题型三 体积问题
【例3】在线段[0,1]上任意投三个点，设O至三点的三线段长为x、y、z，研究方法表明：
x，y，z能构成三角形只要点（x，y，z）
落在棱长为1的正方体T的内部由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的区域G中（如图），则x，y，z能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大？
12.7 条件概率与事件的独立性
典例精析
题型一 条件概率的求法
【例1】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.
题型二 相互独立事件的概率
【例2】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为
，
，
，且他们是否破译出密码互不影响.
（1）求恰有二人破译出密码的概率；
（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？
说明理由.
题型三 综合问题
【例3】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：
三门课程中至少有两门及格为考试通过；
方案二：
在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（1）分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率；
（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
离散型随机变量及其分布列典例精析
题型一 离散型随机变量的分布列
【例1】设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
求：
（1）2X＋
1的分布列；
（2）|X－1|的分布列.
题型二 两点分布
【变式训练2】若离散型随机变量ξ＝
的分布列为：
ξ
0
1
P
9c2－c
3－8c
（1）求出c；
（2）ξ是否服从两点分布？
若是，成功概率是多少？
题型三 超几何分布
【例3】有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数X的分布列.
独立重复试验与二项分布典例精析
题型一 相互独立事件同时发生的概率
【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
.
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
【变式训练1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
.
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
题型二 独立重复试验
【例2】（2010天津）某射手每次射击击中目标的概率是
，且各次射击的结果互不影响.
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率.
【变式训练2】袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是
.从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.
（1）求恰好摸5次停止的概率；
（2）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求P（ξ≥2）.
题型三 二项分布
【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率为
.
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【变式训练3】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求随机变量ξ的分布列.
12.10 离散型随机变量的期望与方差
典例精析
题型一 期望与方差的性质的应用
【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
（1）求ξ的分布列、期望和方差；
题型二 期望与方差在风险决策中的应用
【例2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
η
0
1
2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【变式训练3】（2010北京市东城区）已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为
.
（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E（ξ）.
正态分布典例精析
题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
【例1】某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
，求总体位于区间[－4，－2]的概率.
【变式训练1】设X~N（1,22），试求：
（1）P（－1＜X≤3）；
（2）P（X≥5）.
题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率
【例2】已知某地区数学考试的成绩X~N（60,82）（单位：
分），此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人？
【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布N（30,100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.
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