昆明理工大学上机安排3符号计算Word格式.docx
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最接近的有理表示，MATLAB的缺省表示方法
2.对于字符串变量名argv，flagv可以取以下“限定”项：
positive'
“正实数”符号变量
real'
“实数”符号变量
unreal'
“非实数”符号变量
3.syms是sym函数的简化书写方式，各符号对象之间只能用空格分开。
2符号常量
用sym函数可以定义符号常量对象，包括符号标量对象和符号常量数组对象，定义符号常量对象的同时也可以指定数值常量的表示方法。
例符号常量的定义
>
a=[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）]；
%定义数值数组
s1=sym（[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）],'
）；
%用十进制方式表示符号常量
s2=sym（[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）]）；
%用最接近的有理方式表示符号常量
s3=sym（'
[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）]'
%绝对准确的符号数值表示，输入为字符串
3符号变量与符号表达式
1.定义符号变量和符号表达式
例符号变量和符号表达式的定义
x=sym（'
x'
'
）;
%定义实数符号变量x
symyreal;
%定义实数符号变量y
z=x+i*y；
%定义符号表达式对象z
conj（z）%符号变量求共轭复转置
f=z*conj（z）；
%符号表达式对象
f=simple（f）%符号表达式对象化简
f=
x^2+y^2
例符号变量与符号矩阵
symsabc;
%定义符号变量a，b，c
A=[a,b,c;
b,c,a;
c,a,b]；
%定义符号矩阵A
sum（A（:
1））；
%求矩阵A第一列的元素的和
sum（A（1,:
））==sum（A（:
2））%符号对象的关系运算
det（A）；
%矩阵求行列式
symsalphabeta;
%定义符号变量alpha和beta
A（1,3）=beta;
%矩阵元素赋值
A=subs（A,a,alpha）%符号表达式的替换操作，矩阵A中的a用alpha代替
以上例子可以看出:
元素是符号对象的矩阵叫做符号矩阵;
符号表达式是由以下部分组成的符号对象：
a.符号常量；
b.符号变量；
c.符号运算符；
d.专用函数。
4符号表达式中自变量的确定
在数学表达式或者数学函数中，一般都含有自变量。
为了便于进行数学运算，通常要显示指定表达式中的自变量，如果不指定自变量，MATLAB会根据上下文关系，识别表达式中默认的自变量（独立自由的符号变量）。
识别表达式中自变量的基本原则是：
按照字母表中靠近小写字母x的顺序识别，最靠近字母x的变量被第一个识别为自变量。
MATLAB还提供了自变量识别函数findsym。
findsym（exp）识别表达式exp中所有的自由符号变量
findsym（exp,n）识别表达式exp中最靠近x的n个独立自由变量
1.表达式可以是符号矩阵，此时变量识别是对整个矩阵进行的。
2.函数识别的是“独立的”“自由的”符号变量，符号常量或者非独立的符号变量无法被识别。
3.识别次序是按照靠近x的远近进行的，区分大小写，总认为大写字母距离x的距离大于所有小写字母。
例符号表达式中自变量的识别
symsabxXY;
%定义符号变量
k=sym（2.5）;
z=sym（'
c*sqrt（alpha）+y*sin（beta）'
%定义符号表达式对象（变量）z
exp=a*z*X+k*Y+b^x%定义符号表达式变量exp
exp=
a*（c*alpha^（1/2）+y*sin（beta））*X+5/2*Y+b^x
findsym（exp）%自动识别所有自由独立变量，k为常量，z为非独立
findsym（exp,3）%识别exp中前3个靠近x的独立自由变量
5符号数学函数
在MATLAB中，可以定义表示数学函数的符号对象，既能建立具有详细运算关系的函数，又能建立抽象数学函数。
定义符号数学函数有2种方法：
1.用符号表达式
2.用函数M文件（在函数M文件中用符号变量作为输入变量）
例用符号表达式定义符号数学函数
symsxyz%定义函数自变量
r=sqrt（x^2+y^2+z^2）;
%定义函数r
t=atan（y/x）;
%定义函数t
f=sin（x*y）/（x*y）;
%定义函数f
例用函数M文件来定义符号数学函数，下列代码定义了函数sin（x）=sinc（x）/x。
创建M函数文件如下：
functionz=sinc（x）
%SINC符号函数
%sin（x）/x数学计算公式
%接受符号变量作为输入变量
ifisequal（x,sym（0））%如果自变量值为符号0，则函数值为1
z=1;
else
z=sin（x）/x;
end
例建立抽象的符号数学函数（可用help命令查看subs、limit函数的用法）
f=sym（'
f（x）'
）%建立抽象函数f（x）
symsxh;
df=（subs（f,x,x+h）-f）/h%建立抽象函数df，表示f（x）的导数表达式
df=
（f（x+h）-f（x））/h
g=subs（df,'
sin'
）%建立sin（x）的导数函数的定义
g=
（（sin）（x+h）-（sin）（x））/h
limit（g,h,0）%根据导数定义，求sin（x）的导数
ans=
cos（x）
二符号计算
符号计算有：
代数运算、函数运算、微积分运算、极限运算、级数求和、方程（组）求解等。
A代数运算
符号对象的基本代数运算
符号对象的基本代数运算和普通数值变量一样，可以使用算术运算符、关系运算符（仅能用==和！
=），其运算符的定义和数值运算相同。
例符号矩阵的基本代数运算，查看结果
symst;
G=[cos（t）,sin（t）;
-sin（t）,cos（t）]；
A=G*G；
%符号矩阵的乘法
A=simple（A）；
%化简为最简表达式
I=G'
.*G；
%符号数组乘法
I=simple（I）；
F=[cos（t）,-sin（t）;
sin（t）,cos（t）]；
（F+G）/2；
%符号矩阵加法和符号矩阵与标量的除法
B函数运算
数值计算使用的函数基本上也可以用于符号计算，包括三角函数（atan2除外）、指数函数、对数函数（log2、log10除外）、复数函数（angle除外）、线性代数函数和矩阵函数。
例符号矩阵的函数运算，运行下面语句查看结果（去掉分号）
H=hilb（3）；
%生成3×
3的希尔伯特数值矩阵
H=sym（H）；
%将数值矩阵转为符号常数矩阵
inv（H）；
%符号矩阵求逆
det（H）%符号矩阵求行列式的值
symss
H（1,1）=s；
%将符号元素赋值为符号变量s，使矩阵变为非奇异矩阵
Z=det（H）%带有符号变量的符号矩阵求行列式的值
sol=solve（Z）%求行列式的根
H=subs（H,s,sol）；
%将矩阵行列式的根代入符号矩阵，使矩阵变为奇异矩阵
det（H）；
%奇异矩阵的行列式值
%奇异矩阵求逆
eig（H）；
%符号矩阵的特征值
C符号表达式分解、展开与化简
MATLAB提供了符号表达式的因式分解、展开和化简函数。
collect（expr,v）合并符号表达式expr中符号对象v的同类项系数
expand（expr）对表达式expr进行多项式、三角函数、指数对数等函数展开
factor（expr）对符号表达式expr做因式分解
horner（expr）把多项式expr分解为嵌套形式
[n,d]=numden（expr）提取表达式最小分母公因子d和相应的分子多项式n
simplify（expr）用多种恒定变换对表达式expr进行综合化简
simple（expr）把expr化简为最简表达式
【说明】上述表达式expr可以是符号矩阵，此时函数对符号矩阵的每个元素进行相应操作。
例符号表达式的展开和分解
f=sym（'
（x^3-6*x^2+10*x-5）+（x-1）'
%定义原始的符号表达式
fc=collect（f）；
%符号表达式合并同类项
ff=factor（f）；
%符号表达式因式分解
fh=horner（f）；
%符号表达式的嵌套分解
fe=expand（fh）；
%符号表达式的展开
factor（1025）；
%正整数的质数分解，1025＝5×
5×
41
例写出矩阵
各元素的分子多项式和分母多项式
symsx;
A=[1/4,1/（2*x-1）+1/（x+1）;
2/（x^2-1）,3*x+2];
[n,d]=numden（A）；
%提取表达式最小分母公因子d和相应的分子多项式n
pretty（simplify（n./d））；
例化简
解：
用simplify进行多次化简也得不到最简结果，用simple化简可以得到最简结果
f=（1+3/x+3/x^2+1/x^3）^（1/3）;
sfy1=simplify（f）；
sfy2=simplify（sfy1）；
sp1=simple（f）；
sp2=simple（sp1）
D符号表达式的置换操作
MATLAB提供了子表达式的置换函数。
通常在这几种情况下使用子表达式的置换函数：
第一，符号计算结果中多次出现同一个表达式，为了阅读方便，可以把这个表达式用符号变量来置换；
第二，可以用符号常量对象置换表达式中的自变量，实现表达式求值；
第三，通过置换某些表达式可以生成新的表达式。
1.自动置换函数
[RS,vn]=subexpr（S,vn）用符号变量vn置换S中的子表达式，并重写S为RS。
[RS,vn]=subexpr（S,'
vn'
）
例对一元三次方程
的符号解进行子表达式的置换。
t=solve（'
a*x^3+b*x^2+c*x+d=0'
[r,s]=subexpr（t,'
s'
）
2.通用置换函数
RS=subs（S,old,new）用new置换S中old，生成RS
【说明】
（1）old是被替换的子表达式，可以是符号变量，也可以是字符串表达式。
（2）new是替换old的值，可以是符号常量、符号变量、符号表达式，也可以是数值。
（3）如果要替换多个子表达式，则old和new为细胞数组。
例通用置换函数。
symsax;
f=a*cos（x）+1;
f1=subs（f,'
cos（x）'
sym（'
y'
））；
%用符号变量替换
f2=subs（f,{a,x},{3,sym（'
pi/4'
）}）%用符号常量替换，
f3=subs（f,{a,x},{3,pi/4}）；
%用双精度数替换
f4=subs（f,{a,x},{0:
3,0:
pi/3:
pi}）；
%用双精度数组替换
f5=subs（f,x,sym（'
exp（-t）'
））%用符号表达式替换
E符号函数的反函数
g=finverse（f,v）求指定自变量为v的函数f（v）的反函数g（v）
g=finverse（f）求函数f对缺省的自变量（由findsym确定）的反函数g
例求
的反函数。
f=（x^2+1）^（1/2）;
g=finverse（f）；
F符号函数的复合函数
fg=compose（f,g,x,y,z）对f（x）和g（y）求复合函数fg（z）=f（g（y））|y=z
fg=compose（f,g）对f（⋅）和g（⋅）求复合函数fg=（fg（⋅）），自变量由findsym确定
例求复合函数。
symsxyztu;
f=1/（1+x^2）;
g=sin（y）;
h=x^t;
p=exp（-y/u）;
compose（f,g）；
compose（f,g,t）；
compose（h,g,x,z）
compose（h,g,t,z）；
compose（h,p,x,y,z）；
compose（h,p,t,u,z）
G符号微分和雅可比矩阵
求导数、高阶导数、偏导数是常见的数学运算，MATLAB提供这方面的符号微分函数。
【调用格式】
df=diff（f,v,n）求
，即求函数f（v）对的n阶导数
R=jacobian（f,v）求多元向量函数f（v）的雅可比矩阵，即
例
求
和
symsatx;
f=[a,t^2;
t*sin（x）,log（x）];
dfx=diff（f,x）%矩阵f对x的一阶导数，也可写为diff（f）
df2t=diff（f,t,2）；
%矩阵f对t的二阶导数
dfxt=diff（diff（f,x）,t）
，求其雅可比矩阵
symsxyz;
f=[x*y*z;
y;
x+z];
v=[x,y,z];
R=jacobian（f,v）
H函数极限
函数的极限是通过导数来定义的，limit函数用于求函数极限。
limit（f,x,a）求
limit（f,x,a,'
right'
）求
left'
例求极限运算。
limit（sin（x）/x,x,0）；
limit（1/x,x,0,'
limit（（sin（x+h）-sin（x））/h,h,0）%sin（x）导函数的定义
v=[（1+a/x）^x,exp（-x）];
limit（v,x,inf）
I符号积分
int函数用于求定积分、不定积分和多重积分的符号解。
S=int（f,v）求不定积分∫f（v）dv，符号计算结果不带积分常数
S=int（f,v,a,b）求定积分
rsums（f,ra,rb）用Riemann和求符号函数f（x）在[ra,rb]区间上的近似积分
1.当f为矩阵时，将对矩阵的每个元素做积分运算。
2.v缺省时，积分对findsym确认的变量进行。
3.积分上下限a和b可以是任何数值和表达式
4.rsums函数绘制求积分的曲线，根据用户的选择来确定最终的近似积分值
例计算
symsat;
f=[exp（t）,t^4;
1,sin（a*t）];
int（f,t）
例求多重积分
V=int（int（int（x^2+y^2+z^2,z,sqrt（x*y）,x*y）,y,sqrt（x）,x^2）,x,1,2）
vpa（V）
J符号级数求和
symsum函数实现符号级数的求和运算。
s=symsum（f,v,a,b）求
，a和b为整数，b可以取无穷大
和
symstkx;
f1=[t,k^2];
f2=x^k/sym（'
k!
simple（symsum（f1,t,0,t））
simple（symsum（f2,k,0,inf））
K符号代数方程组的解
代数方程包括线性、非线性和超越方程等，solve函数用于符号代数方程求解。
g=solve（'
eq1'
eq2'
...,'
eqn'
var1'
var2'
varn'
g=solve（exp1,exp2,...,expn,var1,var2,...,varn）
1.'
是字符串表达式的方程，或者是字符串表达式，如果它们是不含等号的字符串表达式，则相当于方程'
eqi＝0'
2.'
是用字符串表示的方程中的变量名
3.exp1,exp2,...,expn只能是符号表达式，不能是带有等号的表达式方程。
4.var1,var2,...,varn只能是符号变量。
5.返回值g是一个结构体数据，方程组的解用g.var1，g.var2，...，g.varn表示。
6.在无法求得解析解的时候，给出数值解。
例方程组
，分别求其关于y，z和关于u，v,w的解
s1=solve（'
u*y+v*z^2+w=0'
'
y+z+v=0'
z'
%方程组关于的解，从结果来看方程有2组解:
s1=
y:
[2x1sym]
z:
y=s1.y；
z=s1.z；
%方程组关于u,v,w的解，2个方程3个变量，方程有无穷多组解，其中w为自由变量,
s2=solve（'
u'
v'
w'
u=s2.u；
v=s2.v；
w=s2.w；
L符号微分方程的解
g=dsolve（'
cond1'
cond2'
...,'
condn'
是微分方程，只能用字符串形式。
微分方程是函数必须的输入变量。
是初始条件，也只能用字符串形式。
3.'
定义了微分方程的独立变量名（微分方程解中的自变量名），只能用字符串形式。
默认的独立变量名为t。
4.微分方程字符串中，Dny表示y的n阶导数，Dy表示y的一阶导数。
5.返回值g是一个结构体变量，要引用其成员才能得到方程的解。
例求微分方程组
的解。
s=dsolve（'
Dx=y,Dy=-x'
x=s.x
x=
-C1*cos（t）+C2*sin（t）
y=s.y
y=
C1*sin（t）+C2*cos（t）
例求微分方程
的解y（x），初始条件为y（0）=0,y
（1）=1
x*D2y-3*Dy=x^2'
y（0）=0,y
（1）=1'
s=
4/3*x^4-1/3*x^3
例求微分方程y”+y2=1的解，初始条件为y（0）=0
y=dsolve（'
（Dy）^2+y^2=1'
y（0）=0'
sin（t）
-sin（t）
M积分变换
MATLAB的符号计算支持积分变换，对傅氏变换、拉氏变换和Z变换都提供了相应的符号计算函数。
1傅立叶变换及其反变换
Fw=fourier（ft,t,w）求时域函数ft的傅氏变换Fw
ft=ifourier（Fw,w,t）求频域函数Fw的傅立叶反变换ft
【说明】：
ft是以时间t为自变量的时域
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