基于B-S模型的权证定价分析以宝钢权证例Word文件下载.doc
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（四）B-S模型定价 7
一、中国权证产品的现状
二、权证产品的定价模型
权证产品的定价是从20世纪60年代开始的，在1973年，FisherBlack和MyronScholes成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和欧式看跌期权的精确定价公式Black-Scholes（即B-S）模型。
B-S定价模型被提出后，权证的定价研究进入了一个崭新时期。
不同的权证及其包含的不同条款，需要不同的定价方法。
一般来说，权证定价最常用的方法有B-S模型、二叉树模型和蒙特卡罗模拟。
（一）B-S模型
Black-Scholes模型的基本思想是无套利分析。
如果权证的定价不合理，投资者就可以通过动态复制进行套利，而套利行为会反过来影响权证价格，使其趋于一个合理的均衡价格，套利机会也随之消失。
在B-S模型中，假设股价服从几何布朗运动，即有一个固定的期望报酬率及一个固定的方差，同时还对市场做了以下假设：
1.无风险利率已知且在合约期限内为常数，参与者可以无风险利率自由借贷款。
2.股票不分发股利，也不做其他任何的利润分配。
3.权证为欧式权证。
4.买卖股票与权证无交易成本，不考虑税。
5.对卖空没有任何限制。
6.交易时间及价格变动是连续的。
根据B-S模型关于期权的定价公式，权证价值由5个变量决定：
标的股票价格（S）、行权价格（X）、无风险利率（r）、距离到期时间（T-t）、标的股票价格波动率（σ）。
所以欧式认购权证的定价公式如下：
C（S、X、r、T-t、σ）=SN（d1）-Xe-r（T-t）N（d2）（3-1）
其中，
d1=（3-2）
d2=d1-σ（3-3）
（二）二叉树模型
由于B-S模型是在假设权证为欧式的情况下推导出，理论上并不适用于美式权证的估值。
Cox、Ross和Rubinstein（1979）的Binomial提出二叉树模型：
二项式模型的基本假设：
（1）标的资产的价格遵从离散随机模型。
这里所假定的离散随机过程具有以下特征：
第一，基础资产的价格只在δt，2δt，3δt，……，Mδt等时点上变化，Mδt=T是权证产品的到期日；
第二，如果资产价格在mδt时为Sm，则在（m+1）δt时，资产价格只能有两种可能，要么ξSm（>
Sm），要么ζSm（<
Sm），这相当于假定，在每一个时间段，收益率δS/S只有两个取值，（ξ-1）>
0和（ζ-1）<
0，并且这一收益率在每一时间段都是相同的；
第三，价格从S上升到ξSm的概率p是已知的，下降的概率为（1-p）。
在这些假定下，如果在t时，基础资产的价格为S，剩下的时间（T－t）被分成M等分，δt=（T-t）/M，资产价格只在mδt时点上变化，m＝1，2，·
·
，M，则每一步的资产价格就可以方便地求出来，并可画成树状。
在第一步，资产价格为S；
在第二步，资产价格为ξSm和ζSm；
在第三步，资产价格为ξ2Sm，ζ2Sm和ξζSm，如此类推，直到期满。
由于先上升后下降和先下降后上升将得到同一个结果，在第m步，只有m＋1个资产价格，如下图所示：
（2）风险中性假设，即投资者的风险偏好与所投资产品的定价无关。
只有当投资可以进行完全保值而不存在风险时，这个假设才会成立。
这时，当然可以认为投资者是风险中性的，从投资组合中得到的收益为无风险收益率。
在风险中性世界，衍生产品在第m步的价值是第m＋1步的无风贴现的预期值。
在以上两个假设下，使用二叉树方法，可以得出每一步的资产价格及其概率，权证的定价问题就解决了。
相应的权证计算公式为：
C=e-rt[pCu+（1-p）Cd]（3-4）
C是认购期权的价格，p为股价上升的概率，1-p为股价下降的概率，t为一个细分的时间长度，r为无风险利率。
上行乘数u=（3-5）
下行乘数d=1/u（3-6）
股价上升的概率p=（3-7）
（三）蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟（MonteCarlo）并不是一种公式型的定价模型，它是通过模拟数学期望得到金融衍生产品价格的。
利用蒙特卡罗模拟对权证进行定价可以简单陈述为：
模拟标的资产状态变量的样本路径，每一个状态变量的路径在每一模拟运转期必须抽样。
根据权证产品的性质，估计出每一条样本路径上的折现预期收益。
如果无风险利率r是状态变量的函数，r的均值必须在每个模拟期中计算。
在下一个模拟运转开始之前，预期收益必须以r的均值折现。
对所模拟出的样本路径上的预期收益进行平均，得到该权证的估计值。
由于模拟的目的，应注意到所有状态变量的扩散过程必须是风险中性过程。
欧式权证到期日T时刻的收益为TP，在0时刻时该权证的价格为：
P=E（e–rt*PT）（3-8）
其中：
E表示风险中性测度下的期望，r为无风险利率。
假设股票的随机过程为：
ds/S=udt+σdw（3-9）
为了进行模拟，将权证的有效期分为N个⊿t小时段，则随机变量S变化的离散形式为：
⊿S=udt+σSξ（3-10）
⊿S是⊿t时间内S的变化，ξ是从标准正态分布中抽取的一个随机样本。
为了进行一次模拟运算，从标准正态分布中抽取N个独立的随机样本。
通过计算，我们能算出在⊿t，2⊿t，3⊿t，4⊿t，……，T时刻的⊿S的值。
这样提供了一条S的模拟路径，并计算出权证在这一样本路径上的终期收益。
假设共进行了M次的模拟，可得到权证的M个样本路径的终期收益，记为：
TP1、TP2、……、TPM，则权证的蒙特卡罗模拟结果为：
（3-11）
上述三种方法均用到了风险中性定价或无套利定价原理，都能对常规的权证定价，其中B-S模型用的是解析方法，估值要精确一些，而另外两种方法适用范围更广一些。
三、权证定价的实证分析——以宝钢权证为例
从已有权证定价的实证研究成果来看，B-S定价模型是应用最广泛的。
本文选取了宝钢CWB1（580024），运用B-S模型，对其定价进行实证分析。
（一）宝钢CWB1（580024）简介
行权代码：
582024
标的证券：
宝钢CWB1
行权方式：
百慕大式
权证类型：
认购权证
结算方式：
证券给付
发行人：
宝山钢铁股份有限公司
发行方式：
派送
发行数量：
160000.00万份
初始行权价：
12.5
存续起始日期：
2008/7/4
存续截止日期：
2010/7/3
发行日期：
2008/6/20
发行价格：
上市日期：
最后行权日：
宝钢CWB1（580024）的标的资产是宝钢股份（600019）。
2009年06月15日，该权证实施08年度分红派息，最新行权价为12.16元，行权比例仍为1:
0.5。
本文在使用B-S模型对该权证进行股价时，暂不考虑分红的因素。
（这也是B-S模型的一个缺陷）
（二）数据选取
根据B-S模型，权证价值由5个变量决定：
其中，标的股票宝钢股份（600019）的价格数据S可以从搜狐财经数据库
里获得；
宝钢CWB1（580024）的行权价格X在2008年7月4日——2009年6月15日为12.5元，而在2009年6月15日之后为12.16元；
距离到期时间是随着时间不断变动；
无风险利率r选取的是同期银行一年定期存款税后利率。
（三）波动率计算
波动率是对标的资产投资回报率的变化程度的度量，从统计的角度看，它是标的资产投资回报率的标准差。
由于标的资产价格S是一个随机变量，回报率Kt=ln（St+1/St）也是一个随机变量，这就决定了波动率不是一个常数，本文拟采用股票收益率的历史波动率，具体计算方法如下：
定义：
n+1为观察次数
St：
在第t个时间间隔末的股票价格（t=0，1，…，n）
：
以年为单位表示的时间间隔长度
令Kt=ln（St+1/St）
Kt的标准差为计算的时候注意要把Kt转化为年率
s=
在考虑样本的时间长度这个因素下，可以得到股票收益率整体的标准差
对于n的选择一般经验法则是使用90天到180天的每日收盘价格数据，本文选取权证发行之前的90天标的股票价格来计算波动率。
即利用2008年4月3日——2008年7月3日股票价格为样本，计算连续复利的股票收益率，在此基础上计算得出波动率σ=0.2884。
（四）B-S模型定价
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