FIR 数字滤波器设计和实现.docx

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FIR数字滤波器设计和实现

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北京邮电大学信息与通信工程学院

概述:

IIR和FIR比较

IIR与FIR性能比较

IIR数字滤波器:

幅频特性较好;但相频特性较差;有稳定性问题;

FIR数字滤波器:

可以严格线性相位,又可任意幅度特性因果稳定系统

可用FFT计算（计算两个有限长序列的线性卷积但阶次比IIR滤波器要高得多

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北京邮电大学信息与通信工程学院

概述:

IIR和FIR比较

IIR与FIR设计方法比较

IIRDF:

无限冲激响应,H（Z是z-1的有理分式,借助于模拟滤波器设计方法,阶数低（同样性能要求。

其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。

缺点:

只能设计特定类型的滤波器,不能逼近任意的频响。

FIRDF:

有限冲激响应,系统函数H（Z是z-1的多项式,采用直接逼近要求的频率响应。

设计灵活性强

缺点:

①设计方法复杂;②延迟大;③阶数高。

（运算量比较大,因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元

FIRDF的技术要求:

通带频率ωp,阻带频率ωs及最大衰减αp,最小衰减αs很重要的一条是保证H（z具有线性相位。

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概述:

FIRDF设计方法

FIR数字滤波器

设计FIR滤波器的任务:

给定要求的频率特性,按一定的最佳逼近准则,选定h（n及阶数N。

三种设计方法:

n窗函数加权法o频率采样法

pFIRDF的CAD--切比雪夫等波纹逼近法

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概述:

FIRDF零极点

FIR滤波器的I/O关系:

1

0Nry（nh（rx（nr

−==−∑0121

（,,,,...,=−hnnNFIR滤波器的系统传递函数:

121

1

011NNNr

Nrh（zh（z.....h（NH（zh（rz

z−−−−−=++−==

∑⇒在Z平面上有N-1个零点;在原点处有一个（N-1阶极点,永远稳定。

FIR系统定义:

一个数字滤波器DF的输出y（n,如果仅取决于

有限个过去的输入和现在的输入x（n,x（n-1,.......,x（n-N+1,则称之为FIRDF。

FIR滤波器的单位冲激响应:

6

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FIRDF的频率响应为:

FIR滤波器的最重要特点是能实现线性相位。

具有线性相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器中应用最广泛的一种。

1j（

r0

（（H（eNjjnnHehne

ωω

θωω−−==

=∑Hr（ω:

振幅响应,它是一个取值可正可负的实函数。

θ（ω=arg[H（ejw]为数字滤波器的相位响应。

概述:

FIRDF频率响应

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信号通过线性滤波器时,其幅度和相位可能会发生改变,滤波器幅频特性|H（ω|和相频特性θ（ω可能会随频率的变化而改变。

如:

输入正弦信号Acos（nω0

则:

输出为|H（ω0|Acos（nω0+θ,其中相移θ=θ（ω0

输出频率和输入频率相同,但幅度和相位都发生了变化

输出信号比输入信号滞后的样点数n（位移可由下式求得:

设:

nω0+θ=0

000

（n-

-θωθ

ωω==-滤波器在数字频率ω0处的相位延迟（位移

由于相位延迟n的不同,最终产生了相位失真。

确保不产生相位失真的办法:

使不同频率的信号通过滤波器时有相同的延迟n。

概述:

相位失真

8

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对不同的频率有恒定的相移θ,不同的相位延迟n,会产生相位失真.

如:

方波y（t可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到:

4

1111

y（t[sin（tsin（3tsin（5tsin（7tsin（9t3579

π

=

Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+

若每个正弦波相移π/2弧度:

确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法:

随着频率的变化而改变相位,使滤波器具有

线性相位特性,即使所有频率的相位延迟保持恒定,这种方法可通过使系统的相位函数θ（ω为频率ω的线性函数来实现。

概述:

相位失真

p41111

y（t=[cos（tcos（3tcos（5tcos（7tcos（9t]

3579

πΩ+Ω+Ω+Ω+Ω+可见相移之后正弦波之和已不再是方波。

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线性相移FIRDF约束条件和频率响应

三个内容:

n约束条件

恒延时滤波

h（n偶对称:

恒相延时和恒群延时同时成立h（n奇对称:

仅恒群延时成立

o频率响应

TypeI:

h（n偶对称、N为奇数TypeII:

h（n偶对称、N为偶数TypeIII:

h（n奇对称、N为奇数TypeIV:

h（n奇对称、N为偶数

pFIRDF零极点分布

10

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相延时:

（（pθωτωω

=−

群延时:

（（gddθωτωω

=−

线性相移FIRDF约束条件:

恒延时滤波

恒延时滤波

滤波器的延时分为相延时和群延时两种

1

（（

（（|（|（NjjnjjjrnHehneHeeHeωωωβωθωω−−===±=∑令

j（=

arg[H（e]

ωθω恒延时滤波器:

τp（ω或τg（ω是不随ω变化的常量,这时滤波器具有线性相位特性。

11

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（θωτω

=−（负号是因为系统必有时延

由于FIR滤波器的传递函数为:

10

1

0（（（[cossin]

NjjnnNnHehnehnnjnωω

ωω−−=−===−∑∑w

θ（w

10

1

0（sin（arg[（]arctan（cosNjnNnhnnHehnnωωθωτωω−=−=⎡⎤⎢⎥==−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑∑故:

线性相移FIRDF约束条件:

恒延时

恒相延时和恒群延时同时成立

要使τp、τg都不随ω变化,θ（ω必须是一条过原点直线

12

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于是:

1

010

（sinsintan（cos（cosNnNnhnnhnnω

τω

τωτω

ω

−=−==

=∑∑110

（sincos（cossinNNnnhnnhnnτωωτωω

−−===∑∑1

（in（Nnhnsnτωω−=−=∑[][][]{}[][][][]{}h（0sin（h（N-1sinh（nsin-nh（N-0

{h（1sinh（0sin（h（N-1h（11-（hN-1（N-2sssinin-（-nsi（nN（N-1-n-2N-1}in0

++=+ττωτωωω+

τωω+τωτωωτωω+τ++=ωωτωωω

--+--线性相移FIRDF约束条件:

恒延时

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可以证明,当

1

12

（[（]（0nN-1NhnhNn−τ=

=−−≤≤且12

（（pgN−τω=τω=τ=

线性相移FIRDF约束条件:

上式成立,此时

恒相延时和恒群延时同时成立时,线性相位滤波器的必要条件是:

不管N为偶数,还是N为奇数,系统冲激响应h（n都关于中心点（N-1/2偶对称。

当N为奇数时对称中心轴位于整数样点上;当N为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。

h（n为偶对称,N为偶数

12

N−7n

h（nh（n为偶对称,N为奇数

1

2

N−6

n

h（n

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02

（π

θω=θ−τω=

−τω于是有:

[]1

1

（sincos（tancot2sin（

（cosNnNnhnn

hnn

ωπτωτωτωτωω−=−=−⎡⎤

−==

=

⎢⎥⎣⎦

∑∑110

j（r（H（e（（[cossin]

NNjjnnnHehnehnnjnωθωωωωω−−−=====−∑∑线性相移FIRDF约束条件:

只要求恒群延时成立

若只要求群延时τg（ω为一常数,则相移特性为不过原点的直线。

ω

θ（ω

2

π10

1

0（sin（arg[（]arctan2（cosNjnN

nhnnHehnnωωπθωτωω−=−=⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑∑故

15

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（coscos（sinsinNNnnhnnhnnωτωωτω

−−===−∑∑1

（cos（0

Nnhnnτωω−=−=∑可以证明,当

1

12

（[（]（0nN-1NhnhNn−τ=

=−−−≤≤且1

2

（gN−τω=τ=

上式成立,此时

故

线性相移FIRDF约束条件:

恒群延时

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FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为:

冲激响应h（n对中心点（N-1/2成奇对称。

此时,无论N为奇数或偶数,滤波器的相频特性均为线性,并包含有π/2的固定相移:

因此,信号通过此类滤波器时不仅产生（N-1/2个取样点的延迟,还将

产生90o的相移,通常这类滤波器又被称为90o移相器,并具有很好的应用价值。

N-1

（2

2

πθωω

−=1111222NNNhhNh−−−⎛⎞⎡⎤⎡⎤

=−−−=−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎣

⎦⎣⎦当N为奇数时

故102Nh−⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

12

N−7h（n为奇对称,N为偶数n

h（n

12

N−6h（n为奇对称,N为奇数

n

h（n线性相移FIRDF约束条件:

恒群延时

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00,（12（（1

NhnhNnθθωτω

τ==−⎧⎪

−⎪

=⎨⎪

=−−⎪⎩相时延和群时延同时成立奇对称:

θ（ω对所有的频率成分都有一个90°相移。

因此,有四种类型的FIRDF:

线性相移FIRDF约束条件

线性相位约束条件

对于任意给定的值N,当FIR滤波器的h（n相对其中心点（N-1/2是对称时,不管是偶对称还是奇对称,此时滤波器的相移特性是线性的,且群延时都是τ=（N-1/2。

偶对称:

θ（ω为过原点的,斜率为-τ的一条直线

0,（2212（（1NhnhNnππθθωτωτ⎧

==−⎪⎪

−⎪

=⎨⎪

=−−−⎪⎪⎩

仅群时延同时成立INIINIIINIVN⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩类型:

h（n偶对称,为奇数类型:

h（n偶对称,为偶数类型:

h（n奇对称,为奇数类型:

h（n奇对称,为偶数

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线性相移FIRDF频率响应:

TypeI

h（n偶对称,N为奇数（恒相时延、恒群时延〕

此时,由于h（n序列的长度为奇数,因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分（前后对称部分、中心点:

1

11

1

1

212

00

12

1（（（（2NNNNjw

jw

jnw

jNnnwjnwnnNHehne

hnehnehe−−−−−−−−−=−+==

−⎛⎞==

+

+⎜⎟⎝⎠∑∑

∑

h（n为偶对称,N为奇数

1

2

N−6

n

h（n对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m后得到:

1

1

111

2

2

（120

1（（（12NNNjw

jw

jnw

jNwjnwnnNHehne

hNneehe

−−−−−−−−−==−⎛⎞=

+

−−+⎜⎟⎝⎠

∑

∑

由对称条件1（（

hnhNn=−−则

H（ejω表示为:

19

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线性相移FIRDF频率响应:

TypeI

1

11

2

2

01

11

22

1

11

22

（111

22

1（（21（21（12cs2o2NNj

jnNNj

nNNjnjNjnNNjjjjwjnnnNHehnhe

Ne

hhnNe

hheeeeeneeNnωωωωωωωω

ωω

ω−−−−−−−−−−−=−−−−=−−−−=−⎛⎞⎡⎤=

+⎜⎟⎣⎦⎝⎠

⎧⎫⎡⎤−⎪⎪⎛⎞=+⎨⎬⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦++⎡⎤−⎛⎞−⎜

⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎪⎪⎩⎭⎧−⎛⎞=+⎨⎜⎟⎝⎠⎦∑

∑∑⎫

⎪⎪

⎬⎪⎪⎩⎭

令1

'2

Nnn−=

−则上式为

1

122

11

2（

2

'10

11（2（

'cos'22（cos（

NNjjNNjjr

nnNNHee

hhnne

anneHω

ωωθωωωω=−−−−−=−⎧⎫

−−⎪⎪

⎛⎞=+−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭==∑∑20

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由此可以看出其线性相位特性。

由于cos（nω对于ω=0、π、2π都是偶对称,所以幅度响应Hr（ω对ω=0、π、2π也是偶对称。

线性相移FIRDF频率响应:

TypeI

其中

1（（21（2（2

Nanhn0Nanhnn0−⎧

==⎪⎪⎨

−⎪=−≠⎪⎩振幅响应:

12

rH（（cosNnannωω

−==

∑相频响应:

N-1

（--

2

θωτωω==0

2

46

8

00.20.4

0.60.8

1h（n

2

46

8

0.20.40.6

0.81a（n

1

2

123

frequencyUnit:

piMagntude

MagnitudeResponse

1

2

-30-20-100frequencyUnit:

pi

Phase

PhaseResponse

N=9

Hr（w

21

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h（n偶对称,N为偶数（恒相时延、恒群时延〕

由于h（n序列的长度为偶数,因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下两部分（前后对称部分,中心点处无值:

线性相移FIRDF频率响应:

TypeII

h（n为偶对称,N为偶数

12

N−7n

h（n对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m后得到:

由对称条件

1（（

hnhNn=−−则H（ejω表示为:

11

1

2

2

（（（（NnNNNjjnjnjnnnHehne

hne

hne

ω

ω

ω

ω

−−−−−−=====+∑∑∑1122

10

1（（（（NNjjnjNjnnnHehnehNneeωωωω

−−−−−===+−−∑∑22

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线性相移FIRDF频率响应:

TypeII

令'2

N

nn

=−,则上式为:

12

1

1212

1

22

（cos[（

（]（（jnjNwjjnnnNN

Nj

Hehne

neeNnheω

ωω

ωω−=−−−−−=−⎡⎤=⎣−⎦

+−=∑∑1

1

2

1

22

121

22

2

1

2（

（（cos[（]

（cos[（]（

N

Nj

wjwnN

Nj

wjnr

N

Hee

hnnwe

bnnweHθωω−−=−−==−−=−=∑∑其中

222

12

（（

,.....,/N

bnhnnN=−=（注意n从1开始,即b（0=0,或没有定义

23

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线性相移FIRDF频率响应:

TypeII

与所设计的b（n或h（n无关,恒为0。

这种类型（即h（n偶对称,N为偶数不能用于高通或带阻滤波器。

（2由于cos[（n-1/2ω]对于ω=π是奇对称,所以,Hr（w对ω=π也是奇对称;以ω=0、2π为偶对称。

振幅响应:

N2

rn1

1H（b（ncos（n-2ωω=⎡

⎤=⎢⎥

⎣⎦∑相频响应:

N-1（--2

θωτωω

==02

4

6

0.2

0.4

0.60.81

h（n

2

46

8

00.20.40.6

0.8

1b（n

1

2

00.511.52

frequencyUnit:

piMagntude

MagnitudeResponse

1

2

-30

-20-100frequencyUnit:

pi

Phase

PhaseResponse

N=8n从1开始

Hr（w

注意:

（1在ω=π处,有:

2

110

2（（cosNrnHbnnππ=⎧⎫

⎛⎞=−=⎨⎬⎜⎟⎝

⎠⎩⎭∑24

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1

1

1

1112

2

2

（1（100

1

1

111

1

2

2

2

20

1

（2

2（（（1（[]

1

1

（2sin[（

]2（sin[（

]2

2

12（sin2NNNjjnjNjnjnjNjnnnnNNNNj

jnnNjHehnehNneehneeeNNe

hnjnehnnnjNe

hnωωωωωωωωωπωωω−−−−−−−−−−−−===−−−−−−−−==−−

=

+

−−=

−−−=−=−−⎛=−∑

∑

∑

∑

∑

1120Nnω−−=⎡⎤

⎞⎢⎥

⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦

∑h（n奇对称,N为奇数（恒群时延〕

h（n长度为奇数,拆分成前后两部分:

线性相移FIRDF频率响应:

TypeIII

对上式的第二和式作变量替换,并利用对称条件h（n=-h（N-1-n,得:

1

111

2

1

12

（（（（NNNjjnjnjnNnnnHehnehnehneωωωω

−−−−−−−−===+==+

∑∑

∑

1

2

N−6h（n为奇对称,N为奇数

n

h（n

25

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Hr（w

线性相移FIRDF频率响应:

TypeIII

1

'2

Nnn−=

−,则上式为:

1

1

1

22

2

[

]（

（（sin（

NNjjjrnHee

cnne

Hπ

ωω

θωωω−−

=−==∑其中1212212

（,,.....,（/NcnhnnN−⎛⎞

=−⎜⎟⎝⎠=−令振幅响应:

1

2

1（（sin

NrnHcnnωω−==

∑（相频响应:

2N-1（-2

πθωω

=

02

468-0.4

-0.200.20.40.6h（n

2

46

8

0.2

0.4

0.6

0.81c（n

1

2

0.511.5frequencyUnit:

piMagnitude

MagnitudeResponse

1

2

-30-20-10010

frequencyUnit:

pi

Phase

PhaseResponse0.5pi

n从1开始

26

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与c（n或h（n的值无关,因此,这种类型的滤波器不适用于低通、带阻或高通滤波器设计,而且,这说明jHr（w是纯虚数,对于逼近理想数字希尔伯特变换和微分器,它是很有用的。

理想的希尔伯特变换是一个全通滤波器,它对输入信号产生90度的相移,它频繁用于通信系统中的调制。

微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求导。

（2由于sin（nω对于ω=0、π、2π都是奇对称,所以,Hr（w以ω=0、π、2π为奇对称。

注意:

（1在ω=0和π处,有:

12

1

（（sinNjrnHecnnω

ω−==

=∑线性相移FIRDF频率响应:

TypeIII

27

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线性相移FIRDF频率响应:

TypeIV

h（n奇对称,N为偶数（恒群时延〕

1

1222

1

2（（（（sin（（nN

NjwjjrHee

dnn

eHπω

θωωω−−==−=∑0

1

2

N−7h（n为奇对称,N为偶数

n

h（n其中

212322（,,,,...,

NNdnhnn⎛⎞

=−=⎜⎟⎝⎠

2

11（d（sin-2NrnHnnωω=⎛⎞

⎛⎞=⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

∑1

22

Nπθωω

−−（=28

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线性相移FIRDF频率响应:

TypeIV

2

4

6

8

-0.4

-0.2

00.20.40.6h（n

02

46

8

0.2

0.4

0.60.81d（n

1

2

0.511.5frequencyUnit:

piMagnitude

MagnitudeResponse

1

2

-30

-20-10010frequencyUnit:

pi

Phase

PhaseResponse0.5pi

Hr（w

与d（n或h（n的取值无关,因此传输函数H（z在z=1处为零点。

显然,这种类型不能用于实现低通滤波器。

又有,所以这类滤波器适用于设计希尔伯特变换和微分器。

注意:

（1在ω=0处,有:

2

1

1

2（（sin（N

jrnHednnωω==−=∑（2由于sin[（n-1/2ω]在ω=π处偶对称,在0、2π是奇对称,所以,Hr（w以ω=π偶对称,0、2π为奇对称。

29

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一般形式:

（

（（

jjrHee

Hω

θωω=偶对称:

1

2

（N−θω=−

ω奇对称:

122

（Nπ−θω=

−ω（两个恒时延条件

（一个恒时延条件

（Hr（ω为ω的实函数

线性相移FIRDF频率响应:

小结

30

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一般的FIRDF的零、极点:

1

1

111

（

（（（（（NNn

NNn

NnnfzHzhnz

z

hnz