人口模型Word格式文档下载.docx
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模型二7
模型建立7
模型求解8
七模型检验9
九参考文献10
【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社2008.110
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社2007.110
【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社2002.1210
一摘要
日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。
通过对1978年到2008年的人口数量的统计数据，建立两个数学模型：
指数模型，阻滞模型。
模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。
关键词：
人口模型人口数量
二问题的提出
人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年人口数量做出合理的预测。
三问题分析
通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。
但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际较符合，但是2005到2008期间误差越来越大，通过对指数的性质可以了解到，当自变量无穷大时，函数趋于去穷大，这与事实相悖，因为现实资源是有限的，当人口到达某一数值后，由于各种资源、环境因素的限制，人口数量将达到某一稳定值，所以，不妨假设最大人口数为
，当人口数达到最大的时候，增长率为0，建立第二个数学模型。
四模型假设
1假设：
表中所给出的数据是人口的真实值。
2假设：
一些大型自然灾害不考虑在内，如战争，地震等。
3假设：
实行的生育模式一直不变。
4假设：
医疗水平五太大变化对人口数量。
五符号说明
r——人口增长率
t——时间
——1978年人口数量
x（t）——时刻t的人口数
r（x）——增长率的函数
——人口最大容量
六模型建立
模型一：
模型建立：
图表是从1978年到2008年间的人口数：
1978到2008人口数
记时刻t=0是人口数为
，时刻t的人口为
，由于量大，
可视为连续、可微函数。
t到
时间段内人口的增量为
于是
满足微分方程
（1）
模型求解：
解微分方程
（1），得
由上述模型微分方程的解，通过对上表进行数据拟合，得到参数r：
程序：
y=[9.62599.75429.870510.007210.165410.300810.435710.585110.750710.930011.102611.270411.433311.582311.717111.851711.985012.112112.235912.362612.476112.578612.674312.762712.845312.922712.998813.075613.144813.212913.2802]'
;
t=[0:
1:
30]'
b=ones（31,1）;
z=log（y）-b*log（9.6259）;
r=t\z
结果为：
r=0.0122
将r=0.0122代到上述模型中，得到指数增长模型，方程为：
求出的1978到2008年的人口数为：
画出两表的数据图像，得到：
从图表可以看出，1978到2004年预测的人口数和实际人口数吻合，但从2005到2008这四年误差较大。
原因在于，指数模型当t
时，
，即人口数无穷增长，但自然环境下，因为资源，环境条件等人口最终将稳定在某一特定的值，无论t再变，y值都不会再改变。
模型二：
模型建立
当
时，增长率应为0，即
，于是
，带入
，得
（3）
将（3）式带入
（1）得
模型：
（4）
解方程（4），得
（5）
通过求的模型，对表中1978到2008年的数据r和
进行数据拟合：
functionf=fun2（k,t）
f=k
（1）./（1+（k
（1）/9.6259-1）*exp（-k
（2）*t））;
t=0:
30;
x=[9.62599.75429.870510.007210.165410.300810.435710.585110.750710.930011.102611.270411.433311.582311.717111.851711.985012.112112.238912.362612.476112.578612.674312.762712.845312.922712.998813.075613.144813.212913.2802];
k0=[0.050.05];
k=lsqcurvefit（'
fun2'
k0,t,x）
f=fun2（k,t）
运行结果：
k=
15.57310.0441
f=
Columns1through8
9.62599.78709.946310.103610.258910.412010.562910.7115
Columns9through16
10.857511.001111.142111.280411.416111.549011.679011.8063
Columns17through24
11.930612.052112.170712.286412.399212.509112.616112.7202
Columns25through31
12.821412.919813.015413.108213.198213.285613.3702
由此得到阻滞增长模型方程式：
其中t为时间，y为人口数。
七模型检验
将得到的数据与实际数据比对，画出图像可以看出，预测的数据与实际数据误差较小，较吻合，比对结果如图所示：
由此我们可以预测出2009年到2018年的中国人口数据，
Columns1through9
13.454613.534113.611013.685313.757313.826813.894113.959014.0217
Column10
14.0822
九参考文献
【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社2008.1
【2】冉启康张振宇张立柱常用数学软件教程人民邮电出版社2008.10
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社2007.1
【4】郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：
山东教育出版社，1997.12
【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社2002.12
【6】戴树桂环境化学（第二版）高等教育出版社2006.10
【7】稍微借鉴于网上的资源。
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