Leslie人口模型.docx
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Leslie人口模型
Leslie人口模型
模型三、Leslie人口模型
在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。
在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。
k,0,1,2xk（）记时段k第i个年龄组的女性人口总数为，i
h，且该年龄组的女性生育率（该年龄组的女性在1个时段内xkbxk
（1）（），,,ii1i,1
bsd,,1的平均生育数量）为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，iiii
sd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii
sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。
则人口的变化情况满iii
足以下条件:
第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即
h（6）xkbxk
（1）（），,,ii1i,1
时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即
xksxkih
（1）（）,1,2,，,,（7）iii，1
记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为
T（8）Xkxkxkxk（）（（）,（）,,（））,129
XkLXk
（1）（），,综合上述（6）（7）（8）得:
其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为
bbbb,,1289,,s000,,1,,L,000s,,2,,0,,
,000s8,,
X（0）当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:
kXkLXk（）（0）,0,1,2,,,（9）稳定状况分析:
01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足:
sbiii
b,0，且至少有一个xksxkih
（1）（）,1,2,，,,iiii，1
定理1:
L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为,,11
ssssssn*T11212,X（1,,,,）n2,,,111
k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足，,,,,1kk
定理2:
若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11k
Xk（）且由（8）式确定的满足
xk（）*bs，其中c是由，及X（0）决定的常数。
（10）,limcXiik,,k,1
k*,,由（10）式可知:
XkcX（），这表明当k充分大时女性人口总量趋向
*X于稳定，而且各年龄组的数量占总量的比例与特征向量中对应分量所占比例
**XX相同，也就是说表示了女性人口按照年龄组的分布状况，故可称为稳定
X（0）分布，它与初始分布无关。
XkXk
（1）（），,xkxk
（1）（），,,由上式可得:
，即，其个年龄组的数量都ii
是上一年龄组数量的倍，即人口数量的增长完全取决于L矩阵唯一的特征值。
,1,,1,,1显然有时，人口递增，，人口总量保持不变，时，人口递减。
对于该问题我们首先将女性人口年龄离散化，将0—89岁的女性人口按照
10年的间隔分为9个年龄段，将大于等于90岁的女性划分为一个年龄段。
b下面针对每一年中给出的表格数据计算某年的不同年龄段女性的生育率i
s和存活率，其计算方法如下:
i
生育率的计算:
1）计算每一个地域每一个年龄的女性的生育率:
j，9
，其中n=1,2,3分别代表城、镇、乡三种地域，即此时bbp,*,mnmnjnmj,
mjjj,，，,1,9年龄为j在第n个地域的女性的生育率等于年龄为岁的女性生
pb育率与该年龄女性性别比成绩之和。
mnmn
2）计算每一个地域不同年龄段的女性的生育率:
10*9i，'[10*1,10*9]ii,，，即为计算年龄段在内的第n个地bb,,injnji,,10*1
域的女性生育率的平均水平;
3）:
除去地域因素，计算不同年龄段的女性的生育率:
3'q，其中表示第n个地域的女性占总女性数量的性别比bbnq,*,nniin,1
例;
存活率的计算方法与上述生育率的计算方法类同:
1）计算每一个地域不同年龄段的存活率:
10*9i，1'，其中n的意义同上;ss,,injn10ji,,10*1
2）消除地域因素，计算每个年龄段的存活率:
3'q，其中意义同上;ssq,*,iniininn,1
则最终的女性生育率与存活率为2001—2005年的相应数值的平均值
得到Leslie矩阵如下
:
0.00130.37390.52600.08220.003800000,,
,0.9945000000000,,
,00.994700000000
,000.99030000000,,
,0000.9863000000,,00000.971400000,,
,000000.92610000,,
0000000.7968000,,
,00000000.217400,,,,000000000.09530,,
,,0.99171此Leslie矩阵对应的最大特征值为:
，这也就意味着人口发展
的总趋势随着时间的推移人口会越来越少。
根据中国人口统计年鉴有关数据，将2005年的数据作为出示时刻的数据，
对将来的人口进行预测:
X（0）（15136.66,21513.44,16515.48,23826.12,20177.82,16495.11,9480.04,,
T5731.74,1636.09,147.26）
2015年的人口按照年龄分布向量为:
X
（1）（1.8786,1.5053,2.1399,1.6355,2.35,1.9601,,
T1.5276,0.7554,0.1246,0.0156）
x（2015）13.8926,亿总人口数量为
2035年的总人口数量按照年龄分布向量为:
X（3）（1.6689,1.8242,1.8584,1.4828,2.0902,1.567,
T2.1141,1.4464,0.2646,0.0156）
x（2035）14.3322,总人口数量为亿,，
为了进一步观察我国人口未来的发展趋势，我们计算了2105年的中国人口按照年龄的分布向量为:
X（10）（1.6661,1.659,1.6658,1.6853,1.6343,1.5573,,
T1.1558,1.1386,0.2762,0.027）
x（2105）12.9544,此时人口的总量为:
亿
得到未来一百年人口预测表格如下:
20152025203520452055206520752085209521051.87861.83431.66891.79161.73421.69141.72041.68391.66821.66611.50531.86831.82421.65971.78171.72461.68211.71091.67461.6592.13991.49741.85841.86451.65091.77231.71551.67321.70181.66581.63552.11921.23281.84031.79691.63491.75511.69881.6571.6853
2.351.61312.19621.56251.81511.77231.61251.7311.67561.63431.96012.28281.5672.03041.42071.76321.72161.56641.68151.62761.52761.81522.16411.45121.88031.31571.63291.59441.45061.55730.75541.21721.46641.68451.15631.49821.04841.30111.27041.15580.12460.16420.26460.34440.36620.25140.32570.22790.28290.27620.01560.01190.06560.02520.030.03490.0240.0310.02170.02713.892614.423615.103314.274313.632313.458913.238213.218613.084312.9544
从表格可以看出，人口的峰值出现在2025—2035年之间，人口最大值达改为15.1033亿左右，这与专家的预测不谋而合，充分显示了此某型的优越性。
因此我们应该将现有的生育率控制在目前水平，
且从表格可以看出2015年左右，年龄在20—29岁的总人口将超过2亿，这也就意味着2015年左右，20—29岁的生育旺盛期的妇女将会出现一个小的高峰期，与国家人口发展战略研究报告得出的结论不谋而合。
说明模型的可靠性很高。
Leslie模型的改进
以年为组划分年龄组，令最长寿命为m，设第t年满i足岁不到i+1足岁的
xt（）xt（）人数为;t=0,1,2,…;i=0,1,2,..,m。
与前面Leslie模型不同的是，不光是女ii
dt（）性人口，而是符合条件的全部人口，记为第i年龄组的死亡率，因此有i
xtdtxt
（1）（1（））（），,,（11）iii，1
im,,0,1,2,1t,0,1,2,，
kt（）令bt（）为i组妇女在t年的生育率，[,]ii为妇女的育龄期，为i组中i12i
t年时的女性人口比率，则第t年出生的人口为
i2ptbtktxt（）（）（）（）,（12）,iii1ii,1
dt（）设为第t年的婴儿出生死亡率，有00
xtdtpt（）（1（））（）,,（13）0001
由（11）式和（13）式，易得
i2xtdtdtbtktxt
（1）（1（））（1（））（）（）（），,,,（14）,iii1000ii,1
bt（）将分解为i
bttht（）（）（）,,（15）ii
i2ht（）ht（）1,其中是生育模式，成立，而,iiii,1
i2,,（）（）tbt（16）,i,ii1
表示第t年每个育龄妇女平均生育婴儿数。
将（15）式代入（12）式，令
'（17）btdtdthtkt（）（1（））（1（））（）（）,,,iii000
那么（17）式可改写为
'（18）btdtdthtkt（）（1（））（1（））（）（）,,,iii000
T分别令xtxtxtxt（）（（）,（）,...,（））,m12
00...00，，
,1（）0...00,dt,,1
,01（）...00,dt（19）At（）,2,,
,
,00...1（）0,dt,,m,1，，
''，，00（）（）00btbtii,,12,,000000Bt（）,,,
,
,000000,,，，
那么有
xtAtxttBtxt
（1）（）（）（）（）（），,，,（20）
AtBt（）,（）在社会稳定的前提下，生育和死亡率都比较稳定，从而可以视为常矩
阵，（20）式化为
xtAxttBxt
（1）（）（）（），,，,
人口指数:
（1）人口总数
mNtxt（）（）,,ii,0
（2）平均年龄
m1Rtixt（）（）,,,iNt（）i,0（3）平均寿命
jmStdt（）exp[（）],,,,iji,,00（4）老龄化指数
Rt（）,,（）tSt（）
（）t（5）依赖性指数:
设
',,22,,，Ltktxtktxt（）（1（））（）（）（）,,iiii,i',,i,11
NtLt（）（）,,（）t,Lt（）
''其中[,],,和分别表示男性或女性能够自食其力的年龄范围。
,[,]1212
根据推广的leslie人口模型，计算人口老龄化指数随时间的变化函数
mixt*（）,iRt（）1i,0wt（）,,jStpt（）（）,dt（）,imi,0e,
j,0
mixt*（）,i1i,0,jpt（）,,1（）st,imi,0e,
j,0
st（）在短时期内，我们可以近似地认为时间t对于生存率是没有影响的，i
st（）近似地认为是常数则在上述解析式中，分母为一个与时间t无关的常量，i
因此我们利用已知表格中的2005年的不同地域的男女死亡率的加权平均值来代st（）替。
i
在以上的模型种，我们将人口的年龄分成了10段，考虑的是不同年龄段的人口数量，因此t时刻年龄为i的人口数量是个未知量，在此，我们仍然以年龄段作为研究对象，相应的t时刻的对应于不同人口数量的年龄i用该年龄段的平均值近似地来替代。
计算得到的t时刻人口老龄化指标如下表:
20152025203520452055206520752085209521050.4322390.45370.46680.464580.45560.45540.450010.453120.4530.45
下面我们根据由leslie人口模型计算得到的未来短期内人口的数量，检验我国人口是否属于老年型，参考标准为60岁以上老年人口比重是否超过10%，得到如下表格:
20152025203520452055
0.1744240.2224480.2679770.2469250.251814
20652075208520952105
0.2303460.2289590.2386330.2312390.23284
根据上述数据划出未来时刻我国60岁以上老年人口比重图如下:
0.3
0.25
0.2
0.15系列1
0.1
0.05
0
12345678910
可以看出我国老龄化程度趋势首先会上升，在2035年左右很可能会达到0.27，之后的几十年人口老龄化程度会减弱，但仍然在0.22之上。
总扶养比的计算:
在此我们采用每100名劳动年龄人口要负担的非劳动年龄人口数量
计算公式为GDR=P+P/P×100%0~1465+15~64
pp,由于在Leslie矩阵中我们把每10岁化为一个年龄段，所以直接计算01465,，有一定的困难，仔细观察2015—2105年的数据，由于10—19岁与60—69岁人口数量相差不大，因此我们可以认为
pp，10196069,,pp，,10146569,,2
居此我们可以分别计算出2015—2105年的总抚养率，计算最终结果如下:
20152025203520452055206520752085209521050.288920.345040.378640.438430.386000.410730.368520.389800.391760.38013
该表格对应的折线图为:
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3系列10.25系列20.2
0.15
0.1
0.05
0
2015
202520352045由上图可知，总扶养比随时间的推移大致先上升，然后再在0.4左右浮动2055
2065
2075在上述模型中我们假设男女性别比例不会对人口数量造成影响，这与相关资2085料有着一定的出入。
2095
2105出生婴儿性别比分析:
出生婴儿性别比，反映的是出生时男婴与数量上的比例关系，通常表示为平均每一百个活产女婴所对应的活产男婴的数量。
按照国际上长期的观察，正常出生婴儿比比较稳定，一般在103~107之间。
近年来，我国出生婴儿性别持续攀升，已经成为全国性的严重问题。
1982年第三次人口普查的性别比为108.5，性别比偏高初见端倪，1987年1%人口抽样调查、1990年第四次全国人口普查、1995年1%人口普查和2000年第五次全国人口普查的性别比分别为110.9、111.3、115.6、116.9，目前已超过国际公认正常范围十多个百分点。
下表是1994至2005年的市、镇和乡男女出生比例，女以100计。
市男女出生比例镇男女出生比例乡男女出生比例年代（女100计）（女100计）（女100计）
1994114.52124.3116.15
1995111.92115.6117.75
1996111.68111.7117.7
1997108.81125.9118.85
1998110.68108.7119.98
1999110.27118.4122.03
2000113116.3119.3
2001109.28116117.59
2002111.37123.1122.11
2003112.06111120.9
2004114.44126.9122.21
2005113.92117.2121.21
下面结合《中国人口统计年鉴》和查阅相关资料对这一现象进行分析:
一、对我国出生性别比升高的特征分析，我国出生性别比升高呈现以下几大特征:
1、伴随每年新生人口数的减少而成递增趋势。
根据2000年人口普查分年龄段数据可以知道，我国1990年出生的人口数为2621万，而该年出生性别比为111.39;1991年出生的人口数为2008万（一年内净减少新生人口为600多万），而该年的性别比为113.48;1992年新生人口数为1875万，而该年出生人口性别比为114.61;1996年出生人口1522万，而出生性别比为118.52。
出生人口递减、出生性别比逐年上升的趋势一直持续到了1999年。
该年新生人口仅仅为1149万，但该年的性别比却为122.65。
这就是说，与1990年相比，1999年的新生人口减少了一半，而出生性别比却一路上升了10个百分点。
2、我国人口出生性别比的失衡，是累积性失衡。
自20世纪80年代中期以来，我国的人口出生性别比就持续失衡。
如果以2000年普查情况为基准，那么，当时我国0岁至15岁之间的男性总人口，与当时我国0岁至15岁之间的女性总人口相比，多出了大约1883万。
这种青少年人口中女性的短缺趋势，会严重影响到未来人口的婚配状况。
3、我国出生性别比持续升高，主要表现为第二及以上孩次出生性别比的升高，其中只有姐姐的婴儿出生性别比异常升高情况最为严重。
从1988年全国0.2%人口生育节育抽样调查、1990年人口普查、1995年全国1%人口抽样调查和2000年人口普查分孩次的出生婴儿性别比数据不难看出，一孩次的出生性别比很正常，从二孩开始，猛然升高，三孩及以上的出生婴儿性别比更高。
也就是说，孩次越高，出生婴儿性别比也就越不正常（见下表）。
分孩次出生婴儿性别比
年份合计一孩二孩三孩及以上1950-1959105（9106（3104（5109（51960-1969107（2107（4106（9107（01970-1979106（1106（9104（8105（11980-1988108（5105（4111（4115（2
1990111（3105（2121（0127（0
1995115（6106（4141（1154（3
2000116（9107（1151（1159（4
4、从地域分布来说，2000年人口普查发现，各省、自治区和直辖市的出生婴儿性别比除西藏和新疆外，都高出正常范围，而且差异较大（见下表）。
我国人口出生性别比的失衡重灾区，在地理分布上，由北向南连成一片，华南和华东地区出生性别比异常现象更为严重，特别是华南地区。
其中广东和海南分别高达135.6和130.3。
按出生性别比高低分的地区个数
出生婴儿性别比地区数地区名称
103以下1西藏
103-1071新疆
107-1105贵州、云南、内蒙、宁夏、黑龙江
青海、北京、上海、吉林、山东、天津、山西、110-11613辽宁、河北、浙江、江西、甘肃、重庆
116-1204四川、江苏、福建、河南
120以上7陕西、广西、湖南、安徽、湖北、广东、海南
5、从城乡分布来说，我国人口出生性别比的失衡，是乡村、城镇和城市的全面失衡。
1990年人口普查城市出生婴儿性别比为108.9，镇为116.5，乡村为118.1。
这就是说，我国出生性别比的失衡，已不仅仅是乡村地区的专利，而且也发生在城市地区。
中国人口老龄化分析:
人口老龄化实际上就是人口年龄结构变化使老年人口在总人口中所占的比重不断上升的过程。
出生、死亡、人口的迁入与迁出是导致人口老龄化的主要因素。
在某一点上，出生的人口作为零岁的人口加入年轻行列进入总人口，。
出生率的下降，使得年轻人在总人口表中的相对比重降低，从而相对增加年长人口在总人口中的比重。
，使人口出现老龄化。
而不同年龄的死亡率的下降，或者使人口老龄化，或者使人口年轻化。
年长人口死亡率的下降，增加了年长人的存活者，使年长人的数量增加，人口老龄化。
年轻人的迁出，会使得迁出地的人口趋于老龄化，而迁入地的人口则趋于年轻化。
;而老年人口的迁出，会造成相反的结果。
由于年轻人的迁移活动比较频繁，所以一般来说，迁移常使得迁出地人口老龄化而迁入地人口则相对年轻化。
对于我国而言，也就是使得农村人口绝对老龄化，使城市人口绝对年轻化。
由于我国长期严格实行控制人口增长的政策，生育率下降;社会经济、科学技术、医疗保健卫生事业的快速发展，使得人口平均寿命延长;人口死亡率一直严格下降，特别是老年人口死亡率大幅下降;妇女初婚、初育年龄的提高，剩余旺盛的妇女人数减少，使总人口规模增长速度进一步放慢。
这也就必然导致了总人口中老年人口比重的增加，少年人口减少。
有关资料显示:
在2030年左右，我国老年人口将超过少年人口，总扶养比将因为老年抚养支书的提高而上升，老人抚养指数将超过儿童抚养指数。
老年人将成为社会主要的抚养人口。
我国人口基数大，老年人口数量多，发展速度快，经济上不发达，因此解决人口老龄化所带来的问题迫在眉睫。
下针对人口老龄化问题提出相关解决策略:
一:
制定全国性的必要政策和规章制度
1、制定一个既能控制人口增长又能避免过度人口老龄化的人口政策;
2、制定扶持老龄事业和老龄产业发展的优惠政策，国家对发展社区助老服
务要给与经济扶持和政策优惠
二、健全中国的老鸟年社会保障体系，弘扬敬老爱老传统美德
三、适时提高劳动年龄上下限，试行晚近晚出办法，调整年龄结构。
劳动年龄人口在总体人口中处于核心和支配地位。
劳动年限人口比重高，表
明劳动力资源丰富，供养系数低，有利于经济的发展;劳动年龄人口比重低
会导致劳动力资源减少和供养系数加大而制约我国经济的发展，应当把供养
系数保持在较低水平上，
四、加快社会经济发展，提高对人口老龄化的承受能力
五、开发利用老年人力、人才资源，便人口老龄化的压力为动力
六、加强老年学研究，发展老年教育，实现健康老龄化
五、模型的评价
1）、阻滞增长模型:
该模型中，我们认为人口数量的多少只是时间t的函数，并且认为总和生育率是不变的，并由此建立的常微分方程模型，这样能够很好地从宏观角度来预测人口的增长趋势，简单明了，避免了大量烦杂的计算。
而且由模型所得到的数据完全能够满足一般统计资料的要求。
但是正是由于它的简单性，没有充分考虑
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