43 平面坐标系中几种常见变换.docx

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43平面坐标系中几种常见变换

4.3　平面坐标系中几种常见变换

4．3.1

平面直角坐标系中的平移变换

课标解读

1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．

2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.

1．平移

在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移．

2．平移变换公式

设P（x，y），向量a＝（h，k），平移后的对应点P′（x′，y′），则（x，y）＋（h，k）＝（x′，y′）或

1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？

【提示】　步骤：

（1）设平移前曲线上一点P的坐标为（x，y），平移后的曲线上对应点P′的坐标为（x′，y′）；

（2）写出变换公式并转化为

（3）利用上述公式将原方程中的x，y代换；

（4）按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y，即得所求曲线的方程．

2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？

【提示】　其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．

其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.

平移变换公式的应用

　点M（8，－10）按a平移后的对应点M′的坐标为（－7,4），求a.

【自主解答】　由平移公式得

解得即a＝（－15,14）．

把点A（－2,1）按a＝（3,2）平移，求对应点A′的坐标（x′，y′）．

【解】　由平移公式得

即对应点A′的坐标（1,3）．

平移变换公式在圆锥曲线中的应用

　求双曲线4x2－9y2－16x＋54y－29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．

【思路探究】　把双曲线方程化为标准方程求解．

【自主解答】　将方程按x，y分别配方成4（x－2）2－9（y－3）2＝－36，

即－＝1.

令方程可化为－＝1.

双曲线－＝1的中心坐标为（0,0），顶点坐标为（0,2）和（0，－2），焦点坐标为（0，）和（0，－），对称轴方程为x′＝0，y′＝0，准线方程为y′＝±，渐近线方程为±＝0.

根据公式可得所求双曲线的中心坐标为（2,3），顶点坐标为（2,5）和（2,1），焦点坐标为（2,3＋）和（2,3－），对称轴方程为x＝2，y＝3，准线方程为y＝3±，渐近线方程为±＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5＝0.

几何量a，b，c，e，p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．

已知抛物线y＝x2＋4x＋7.

（1）求抛物线顶点的坐标；

（2）求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．

【解】　

（1）设抛物线y＝x2＋4x＋7的顶点O′的坐标为（h，k），那么h＝－＝－2，k＝＝3，

即这条抛物线的顶点O′的坐标为（－2,3）．

（2）将抛物线y＝x2＋4x＋7平移，

使点O′（－2,3）与点O（0,0）重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量平移得到的，设的坐标为（m，n），那么

所以抛物线按（2，－3）平移，平移后的方程为y＝x2.

　（教材第40页习题4.3第3题）写出抛物线y2＝8x按向量（2,1）平移后的抛物线方程和准线方程．

　（2013·无锡质检）将函数y＝2x的图象l按a＝（0,3）平移到l′，求l′的函数解析式．

【命题意图】　本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．

【解】　设P（x，y）为l的任意一点，它在l′上的对应点P′（x′，y′）

由平移公式得

⇒

将它们代入y＝2x中得到y′－3＝2x′，

即函数的解析式为y＝2x＋3.

1．将点P（7,0）按向量a平移，得到对应点A′（11,5），则a＝________.

【答案】　（4,5）

2．直线l：

3x－2y＋12＝0按向量a＝（2，－3）平移后的方程是________．

【答案】　3x－2y＝0

3．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．

【解析】　配方，得（x－1）2－（y＋1）2＝1.

【答案】　（1，－1）

4．开口向上，顶点是（3,2），焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．

【解析】　开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是（x－3）2＝4（y－2）．

【答案】　（x－3）2＝4（y－2）

1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝（－2,3）平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．

【解】　在曲线F上任取一点P（x，y），设F′上的对应点为P′（x′，y′），则x′＝x－2，y′＝y＋3，

∴x＝x′＋2，y＝y′－3.

将上式代入方程y＝x2，

得：

y′－3＝（x′＋2）2，

∴y′＝（x′＋2）2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝（x＋2）2＋3.

2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．

【解】　因椭圆方程可化为＋＝1，其中心为（－3,1），焦点坐标为（－3±，1），长轴长为6，短轴长为4，离心率为，准线方程为x＝－3±.

3．圆x2＋y2＝25按向量a平移后的方程是x2＋y2－2x＋4y－20＝0，求过点（3,4）的圆x2＋y2＝25的切线按向量a平移后的方程．

【解】　由题意可知a＝（1，－2），因为平移前过点（3,4）的圆x2＋y2＝25的切线方程为3x＋4y＝25，所以平移后的切线方程为3（x－1）＋4（y＋2）＝25，即3x＋4y－20＝0.

4．已知两个点P（1,2）、P′（2,10）和向量a＝（－3,12）．回答下列问题：

（1）把点P按向量a平移，求对应点的坐标；

（2）把某一点按向量a平移得到对应点P′，求这个点的坐标；

（3）点P按某一向量平移，得到的对应点是P′，求这个向量的坐标．

【解】　

（1）平移公式为由x＝1，y＝2，解得x′＝－2，y′＝14，即所求的对应点的坐标为（－2,14）．

（2）平移公式为由x′＝2，y′＝10，解得x＝5，y＝－2，即所求点的坐标为（5，－2）．

（3）平移公式为由x＝1，y＝2，x′＝2，y′＝10，解得h＝1，k＝8，所以所求的向量的坐标为（1,8）．

5．将二次函数y＝x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y＝2x－5的图象只有一个公共点（3,1），求向量a的坐标．

【解】　设a＝（h，k），所以y＝x2平移后的解析式为y－k＝（x－h）2，即y＝x2－2hx＋h2＋k与直线y＝2x－5只有一个公共点，则直线为抛物线在（3,1）处的切线，由导数知识，知y＝x2－2hx＋h2＋k在（3,1）处切线的斜率为6－2h，从而6－2h＝2，h＝2.又点（3,1）在

y－k＝（x－h）2上，解得k＝0，所以向量a的坐标为（2,0）．

6．抛物线y＝x2－4x＋7按向量a平移后，得到抛物线的方程是y＝x2.求向量a及平移前抛物线的焦点坐标．

【解】　抛物线方程可化为y－3＝（x－2）2，平移后的抛物线方程为y＝x2，所以a＝（－2，－3），因为y＝x2的焦点坐标为（0，），所以平移前抛物线的焦点坐标为（0＋2，＋3），即（2，）．

7．已知双曲线的渐近线方程为4x＋3y＋9＝0与4x－3y＋15＝0，一条准线的方程为y＝－，求此双曲线的方程．

【解】　两渐近线的交点即双曲线中心，故由解得交点为（－3,1），即中心为（－3,1）．又一条准线方程为y＝－，说明焦点所在的对称轴平行于y轴，所以可设双曲线方程为－＝1，它的渐近线方程可写成±＝0①，准线方程为y－1＝±②，而已知渐近线方程为4x＋3y＋9＝0，即4（x＋3）＋3（y－1）＝0，另一条渐近线方程为4x－3y＋15＝0，即4（x＋3）－3（y－1）＝0，合并即为±＝0.对照①，得＝③.而已知准线方程y＝－，即y－1＝－.对照②，得＝④.由③④，解得a＝4，b＝3，c＝5.故所求双曲线方程为－＝1.

教师备选

8．已知抛物线y＝x2－4x－8，

（1）求将这条抛物线的顶点平移到点（3，－2）时的抛物线方程；

（2）将此抛物线按怎样的向量a平移，能使平移后的方程是y＝x2?

【解】　

（1）将抛物线y＝x2－4x－8配方，得y＝（x－2）2－12，

故抛物线顶点的坐标为P（2，－12），将点（2，－12）移到（3，－2）时，其平移向量a＝（1,10），于是平移公式为即

因为点（x，y）在抛物线y＝x2－4x－8上，所以y′－10＝（x′－1）2－4（x′－1）－8，

即y′＝x′2－6x′＋7.

所以平移后的方程为y＝x2－6x＋7.

（2）法一　设平移向量a＝（h，k），则平移公式为

将其代入y＝x2－4x－8，得

y′－k＝（x′－h）2－4（x′－h）－8，

化简整理，得

y′＝x′2－（2h＋4）x′＋h2＋4h＋k－8.

令

解得此时y′＝x′2.

所以当图象按向量a＝（－2,12）平移时，可使函数的解析式化为y＝x2.

法二　将抛物线y＝x2－4x－8，即y＋12＝（x－2）2平移到y＝x2.

只需要作变换

所以平移对应的向量坐标为（－2,12）．

4．3.2

平面直角坐标系中的伸缩变换

课标解读

1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．

2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.

1．横坐标的伸缩变换

一般地，由（k＞0）所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换（当k＞1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍（这里（x，y）是变换前的点，（x′，y′）是变换后的点）．

2．纵坐标的伸缩变换

一般地，由（k＞0）所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换（当k＞1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍（这里（x，y）是变换前的点，（x′，y′）是变换后的点）．

3．伸缩变换

一般地，设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．

1．如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图形变为什么图形？

伸缩变换可以改变图形的形状吗？

那平移变换呢？

【提示】　x2＋y2＝4的图形变为椭圆：

＋y2＝1.

伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状．

2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？

【提示】　在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f（x，y）＝0的图形：

（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；

（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；

（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.第

（1）种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样，f（x，y）＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y）＝0的图形；第

（2）种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，此时f（x，y）＝0表示的图形与第

（1）种坐标系中的图形是不同的；第（3）种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，此时f（x，y）＝0表示的图形与第

（1）种坐标系中的图形是不同的．

伸缩变换

　对下列曲线进行伸缩变换（k≠0，且k≠1）．

（1）y＝kx＋b；

（2）（x－a）2＋（y－b）2＝r2.

【自主解答】　设P（x，y）是变换前的点，P′（x′，y′）是变换后的点，由题意，得即

（1）由y′＝k（x′）＋b，y′＝kx′＋kb，得直线y＝kx＋b经过伸缩变换后的方程为y＝kx＋kb，仍然是一条直线．

当b＝0时，该直线和原直线重合；当b≠0时，该直线和原直线平行．

（2）由（x′－a）2＋（y′－b）2＝r2，（x′－ka）2＋（y′－kb）2＝（kr）2，得圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过伸缩变换后的方程为（x－ka）2＋（y－kb）2＝（kr）2，它是一个圆心为（ka，kb），半径为|kr|的圆．

在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．

【解】　设变换为，

代入直线方程2x′－y′＝4

得：

2λx－μy＝4，即λx－y＝2，

比较系数得：

λ＝1，μ＝4，

即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.

伸缩变换的应用

　曲线y＝2sin3x变换成曲线y＝3sin2x，求它的一个伸缩变换．

【思路探究】　设代入y′＝3sin2x′，所得式再与y＝2sin3x比较即可求λ、μ.

【自主解答】　将变换后的曲线y＝3sin2x改成y′＝3sin2x′.

设伸缩变换代入y′＝3sin2x′；

得μy＝3sin（2λx）

即y＝sin（2λx），与y＝2sin3x比较系数，

得即

所以伸缩变换为

确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．

（1）圆x2＋y2＝a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为＋＝1（0＜b＜a）?

（2）分析圆x2＋y2＝a2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．

【解】　

（1）椭圆＋＝1可以化为x2＋＝a2，

设即

所以圆x2＋y2＝a2经过向着x轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k＝，可以使方程变为＋＝1.

（2）若圆x2＋y2＝a2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx＋m，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y＝－x.

由y′＝kx′＋m，得y′＝x′＋m.所以直线y＝kx＋m经过变换，方程可变为y＝x＋m.

由y′＝－x′，得y′＝－x′，所以直线y＝－x经过变换，方程可变为y＝－x.

此时，两条直线的斜率乘积是定值－.

若圆x2＋y2＝a2的弦所在直线的方程为x＝n，则经过其中点的直径所在直线的方程为y＝0，伸缩变换后其方程分别变为x＝n，y＝0.此时两直线依然垂直．

若圆x2＋y2＝a2的弦所在直线的方程为y＝n，则经过其中点的直径所在直线的方程为x＝0，伸缩变换后其方程分别变为y＝n，x＝0.此时两直线依然垂直．

　（教材第41页习题4.3第8题）对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k＝2：

（1）x2－4y2＝16；

（2）x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.

　（2013·南京模拟）求满足下列图形变换的伸缩变换：

由曲线x2＋y2＝1变成曲线＋＝1.

【命题意图】　本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．

【解】　设变换为代入方程＋＝1，得＋＝1.与x2＋y2＝1比较，将其变形为x2＋y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.

∴即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆＋＝1.

1．直线x＋4y－6＝0按伸缩系数向着x轴的伸缩变换后，直线的方程是________．

【答案】　x＋8y－6＝0

2．直线2x－3y＝0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是________．

【答案】　2x－9y＝0

3．曲线x2＋y2＝4按伸缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是________．

【答案】　＋＝1

4．y＝cosx经过伸缩变换后，曲线方程变为______．

【解析】　由，得，代入y＝cosx，

得y′＝cosx′，

即y′＝3cosx′.

【答案】　y＝3cos

1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换后的方程．

（1）2x＋3y＝0；

（2）x2＋y2＝1.

【解】　由伸缩变换得到①

（1）将①代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x′＋y′＝0，

所以，经过伸缩变换后，直线2x＋3y＝0变成直线x＋y＝0.

（2）将①代入x2＋y2＝1，得＋＝1.所以，经过伸缩变换后，方程x2＋y2＝1变成＋＝1.

2．伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋＝1.求曲线C的方程．

【解】　把代入x′2＋＝1，

得x2＋y2＝1，

即曲线C的方程为x2＋y2＝1.

3．设F：

（x－1）2＋（y－1）2＝1在的伸缩变换下变为图形F′，求F′的方程．

【解】　由得所以（x－1）2＋（y－1）2＝1变换为（x′－1）2＋（y′－1）2＝1，即＋（y′－1）2＝1，所以F′的方程是＋（y－1）2＝1.

4．双曲线－＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2－y2＝1吗？

【解】　双曲线方程－＝1可以化为（）2－（）2＝1.令则x′2－y′2＝1.所以双曲线－＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2－y2＝1，具体步骤是：

按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换．

5．已知G是△ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，得到G′和△A′B′C′.试判断G′是否为△A′B′C′的重心．

【解】　设△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），则G（，）．经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到△A′B′C′的三个顶点及点G′的坐标分别为A′（x1，ky1）、B′（x2，ky2），C′（x3，ky3），G′（，k）．由于△A′B′C′的重心坐标为（，），所以G′仍然是△A′B′C′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G′同样也是△A′B′C′的重心．

6．已知：

△ABC经过伸缩变换（k≠0，且k≠1）后，得到△A′B′C′.求证：

△A′B′C′和△ABC相似，且面积比为k2.

【证明】　设A（x1，y1）、B（x2，y2），则

A′（kx1，ky1）、B′（kx2，ky2）．

所以A′B′＝

＝|k|

＝|k|AB.

同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC，

所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′，

S△A′B′C′＝（|k|AB）·（|k|AC）sinA′

＝k2[（AB·AC）sinA]＝k2S△ABC.

7．设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使＝λPP2，称λ为点P分有向线段P1P2所成比．设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），点P分有向线段P1P2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1′、P2′和P′.求证：

P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ.

【证明】　设P（x0，y0），由＝λ，得（x0－x1，y0－y1）＝λ（x2－x0，y2－y0），

所以

设给定伸缩变换为则有

P1′（k1x1，k2y1）、P2′（k1x2，k2y2）、

P′（k1，k2）．

＝（k1－k1x1，k2－k2y1）＝λ（，），

＝（k1x2－k1，k2y2－k2）＝（，），

所以＝λ.

所以P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ.

教师备选

8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线－＝1的图形：

（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；

（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；

（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．

【解】　

（1）建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线－＝1的图形如下：

（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如下：

（3）如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如下：

选修4－4

阶段归纳提升

坐标系））

极坐标与直角坐标的互化

　极坐标与直角坐标互化的公式或当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．

　把下列极坐标化为直角坐标：

（1）M（5，π）；

（2）N（2，π）；（3）P（2，π）；（4）Q（2，－）．

【解】　

（1）由题意知x＝5cosπ＝5×（－）＝－，y＝5sinπ＝5×＝.

所以M点的直角坐标为（－，）．

（2）x＝2cosπ＝2×0＝0，

y＝2sinπ＝2×（－1）＝－2.

所以N点的直角坐标为（0，－2）．

（3）x＝2cosπ＝2×（－）＝－，

y＝2sinπ＝2×（－）＝－.

所以P点的直角坐标为（－，－）．

（2）x＝2cos（－）＝2×＝，

y＝2sin（－）＝2×（－）＝－1.

所以Q点的直角坐标为Q（，－1）.

极坐标的应用

主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．

　（2012·陕西高考）直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．

【解析】　直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，即x＝；圆ρ＝2cosθ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x.

将x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝，

∴y＝±.

∴弦长为2×＝.

【答案】　

伸缩变换

变换公式其中P（x，y）为变换前的点，P′（x′，y′）为变换后的点．

　将圆锥曲线C按伸缩变换公式变换后得到双曲线x′2－y′2＝1，求曲线C的方程．

【解】　设曲线C上任意一点P（x，y），通过伸缩变换后的对应点为P′（x′，y′），

由

得

代入x′2－y′2＝1

得（）2－（）2＝1，即－＝1为所求．

综合检测

（一）

（时间90分钟，满分120分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上）

1．极坐标为M（8，－），N（8，），P（－8，），Q（－8，）的四点中，与点A（8，）表示同一点的有________个．

【答案】　3

2．已知点P的直角坐标为（－，3），其极坐标为________．

【答案】　（2，）

3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sinθ化成直角坐标方程为________．

【答案】　x2＋（y＋2）2＝4

4．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于点A、B，则AB＝________.

【解析】　平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1分别表示圆x2＋（y＋2）2＝4和直线x＝1，作图易知AB＝2.

【答案】　2

5．极坐标方程ρ＝表示的曲线是______．

【答案】　椭圆

6．以（1，π）为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．

【答案】　ρ＝－2cosθ

7．（2013·北京高考）在极坐标系中，点到直线ρsinθ＝2的距离等于________．

【解析】　极坐标系中点对应的直角坐标为（，1）．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y＝2.故所求距离为1.

【答案】　1

8．已知点M的柱坐标为（，，），则点M的