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机械能守恒定律功能关系

[高考统计·定方向](教师授课资源)

考点

考向

五年考情汇总

1.机械能守恒定律的应用

考向1.单个物体的机械能守恒

2016·全国卷ⅡT16

考向2.系统机械能守恒

2015·全国卷ⅡT21

2016·全国卷ⅡT21

2.功能关系及能量守恒

考向1.功能关系的基本应用

2019·全国卷ⅡT18

2018·全国卷ⅠT18

2017·全国卷ⅢT16

考向2.能量的转化与守恒的应用

2016·全国卷ⅡT25

考向3.功能关系的综合应用

2017·全国卷ⅠT24

2016·全国卷ⅡT25

 机械能守恒定律的应用(5年3考)

❶分析近五年的高考题可以看出,本考点是高考命题的热点,题型以选择题为主,题目综合性强,涉及多物体系统机械能时,常与运动的合成与分解相联系。

❷预计2020年高考仍会以多物体机械能守恒为重点,复习中应加强训练。

1.(多选)(2015·全国卷Ⅱ·T21)如图所示,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。

a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。

不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。

则(  )

A.a落地前,轻杆对b一直做正功

B.a落地时速度大小为

C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g

D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg

[题眼点拨] ①刚性轻杆不伸缩,两滑块沿杆的分速度相同;②轻杆对滑块a、b都做功,系统机械能守恒。

BD [由题意知,系统机械能守恒。

设某时刻a、b的速度分别为va、vb。

此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ,分别将va、vb分解,如图。

因为刚性轻杆不可伸长,所以沿杆的分速度v∥与v′∥是相等的,即vacosθ=vbsinθ。

当a滑至地面时θ=90°,此时vb=0,由系统机械能守恒得mgh=

mv

,解得va=

,选项B正确。

同时由于b初、末速度均为零,运动过程中其动能先增大后减小,即杆对b先做正功后做负功,选项A错误。

杆对b的作用先是推力后是拉力,对a则先是阻力后是动力,即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g,选项C错误。

b的动能最大时,杆对a、b的作用力为零,此时a的机械能最小,b只受重力和支持力,所以b对地面的压力大小为mg,选项D正确。

正确选项为B、D。

]

2.(多选)(2016·全国卷Ⅱ·T21)如图所示,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连。

现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。

已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN<

在小球从M点运动到N点的过程中(  )

A.弹力对小球先做正功后做负功

B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度

C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零

D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差

BCD [在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN<

,则小球在M点时弹簧处于压缩状态,在N点时弹簧处于拉伸状态,小球从M点运动到N点的过程中,弹簧长度先缩短,当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短,这个过程中弹力对小球做负功,然后弹簧再伸长,弹力对小球开始做正功,当弹簧达到自然伸长状态时,弹力为零,再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功,故整个过程中,弹力对小球先做负功,再做正功,后再做负功,选项A错误;在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时,小球加速度等于重力加速度,选项B正确;弹簧与杆垂直时,弹力方向与小球的速度方向垂直,则弹力对小球做功的功率为零,选项C正确;由机械能守恒定律知,在M、N两点弹簧弹性势能相等,在N点小球的动能等于从M点到N点重力势能的减小值,选项D正确。

]

1.机械能守恒的三种判断方法

(1)用做功判断:

若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功,则其机械能守恒。

(2)用能量转化判断:

若物体或系统中只有动能和势能的相互转化,而无机械能与其他形式的能的相互转化,则其机械能守恒(如上T1)。

(3)对多个物体组成的系统,除考虑是否只有重力做功外,还要考虑系统内力是否做功,如有滑动摩擦力做功时,因摩擦生热,系统机械能将有损失。

2.机械能守恒定律的三种表达形式

如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。

杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点正下方距离为d处。

现将环从A处由静止释放,不计一切摩擦阻力,下列说法正确的是(  )

A.环到达B处时,重物上升的高度h=

B.环到达B处时,环与重物的速度大小相等

C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加的机械能

D.环能下降的最大高度为

[题眼点拨] ①“光滑直杆”表明没有系统内能的转化。

②“A点与滑轮等高”表明释放后环沿杆下滑,重物上升。

③“轻绳相连”表明沿绳子上的速度大小相等。

[解析] 环到达B处时,对环的速度进行分解,可得v环cosθ=v物,由题图中几何关系可知θ=45°,则v环=

v物,B错误;因环从A到B,环与重物组成的系统机械能守恒,则环减少的机械能等于重物增加的机械能,C正确;当环到达B处时,由题图中几何关系可得重物上升的高度h=(

-1)d,A错误;当环下落到最低点时,设环下落高度为H,由机械能守恒有mgH=2mg(

-d),解得H=

d,故D正确。

[答案] CD

反思:

解此题关键是找出速度关联点,明确初、末状态的速度关系,确定环和重物的速度变化规律及速度大小关系,进而确定各自动能变化规律,还要明确环和重物组成的系统机械能守恒。

考向1 单个物体的机械能守恒

1.如图所示,长为0.1m的不可伸长的细线下挂一木块,弹簧枪射出的一粒弹丸水平击中木块并留在木块内部。

此后细线与竖直方向之间的最大夹角为60°。

若木块质量为弹丸质量的8倍,重力加速度g=10m/s2,不计空气阻力,则弹丸击中木块前瞬间的速度大小为(  )

A.2m/sB.9m/s

C.4m/sD.6m/s

B [设弹丸击中木块前瞬间的速度大小为v0,弹丸与木块碰撞后瞬间的共同速度大小为v,由动量守恒定律,可得mv0=(M+m)v,由机械能守恒定律,可得

(M+m)v2=(M+m)gL(1-cos60°),代入数据解得v0=9m/s,B正确。

]

考向2 系统机械能守恒

2.(易错题)(多选)如图所示,在倾角θ=30°的光滑斜面上,放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根长为L=0.2m的轻杆相连,小球B到水平面的高度h=0.1m。

两球从静止开始下滑到光滑的水平面上,不计球与地面碰撞时的机械能损失,g取10m/s2,则下列说法正确的是(  )

A.下滑的整个过程中A球的机械能守恒

B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒

C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2m/s

D.下滑的整个过程中杆对B球所做的功为

J

BD [在下滑的整个过程中,只有重力对系统做功,所以系统的机械能守恒,选项B正确;B球在水平面上滑行、而A球在斜面上滑行的一小段时间内,杆的弹力对A做功,所以A球的机械能不守恒,选项A错误;两球在光滑水平面上运动时的速度大小记为v,根据系统机械能守恒可得mAg(h+Lsin30°)+mBgh=

(mA+mB)v2,代入数据解得v=

m/s,选项C错误;系统下滑的整个过程中B球机械能的变化量为ΔEB=

mBv2-mBgh,代入数据可得ΔEB=

J,选项D正确。

]

易错点评:

在于混淆单个物体和多物体机械能守恒的判断方法。

3.(多选)(2019·黑龙江重点中学第三次联考)如图所示,光滑的小滑轮D(可视为质点)固定,质量相等的物体A和B用轻弹簧连接,物体B放在地面上,用一根不可伸长的轻绳一端与物体A连接,另一端跨过定滑轮与小环C连接,小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆,小环C位于位置R时,绳与细杆的夹角为θ,此时物体B与地面刚好无压力,图中SD水平,位置R和Q关于S对称,现让小环从R处由静止释放,环下落过程中绳始终处于拉直状态,且环到达Q处时速度最大。

在小环从R处下落到Q处的过程中,下列说法正确的是(  )

A.小环C和物体A组成的系统机械能守恒

B.小环C下落到位置S时,小环C的机械能一定最大

C.小环C从位置R运动到位置Q的过程中,弹簧的弹性势能可能先减小后增大

D.小环C到达位置Q时,物体A与小环C的动能之比为cosθ∶2

BCD [小环C和物体A、弹簧组成的系统机械能守恒,选项A错误;小环从位置R下落到位置S的过程中,轻绳拉力对小环做正功,小环C的机械能增大,小环从位置S下落到位置Q的过程中,轻绳拉力对小环做负功,小环C的机械能减小,所以小环C下落到位置S时,机械能最大,选项B正确;小环C在位置R时,物体B与地面刚好无压力,说明弹簧处于拉伸状态,小环C从位置R运动到位置Q的过程中,弹簧长度先减小后增大,其弹性势能可能先减小后增大,选项C正确;小环C到达位置Q时,小环C沿轻绳方向的分速度大小等于物体A的速度大小,vCcosθ=vA,又小环C到达位置Q时速度最大,则此时小环C受力平衡,在竖直方向有(mA+mB)gcosθ=mCg,mA=mB,由动能公式可知物体A与小环C的动能之比为

,选项D正确。

]

 功能关系及能量守恒(5年6考)

❶分析近五年的高考题可以看出,本考点是高考命题的持续性热点,题型既有选择题又有计算题。

选择题以功能关系的基本应用为主,难度中等;计算题以功能关系的综合应用为主,通常结合曲线运动、弹簧等背景,难度较大。

❷预计2020年可能会结合动量守恒设置综合计算题。

                   

1.(2017·全国卷Ⅲ·T16)如图所示,一质量为m,长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。

用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点,M点与绳的上端P相距

l。

重力加速度大小为g。

在此过程中,外力做的功为(  )

A.

mglB.

mgl

C.

mglD.

mgl

A [以均匀柔软细绳MQ段为研究对象,其质量为

m,取M点所在的水平面为零势能面,开始时,细绳MQ段的重力势能Ep1=-

mg·

=-

mgl,用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时,细绳MQ段的重力势能Ep2=-

mg·

=-

mgl,则外力做的功即克服重力做的功等于细绳MQ段的重力势能的变化,即W=Ep2-Ep1=-

mgl+

mgl=

mgl,选项A正确。

]

2.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·T18)从地面竖直向上抛出一物体,其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。

取地面为重力势能零点,该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。

重力加速度取10m/s2。

由图中数据可得(  )

A.物体的质量为2kg

B.h=0时,物体的速率为20m/s

C.h=2m时,物体的动能Ek=40J

D.从地面至h=4m,物体的动能减少100J

AD [根据题给图象可知h=4m时物体的重力势能mgh=80J,解得物体质量m=2kg,抛出时物体的动能为Ek=100J,由动能公式Ek=

mv2,可知h=0时物体的速率为v=10m/s,选项A正确,B错误;由功能关系可知fh=|ΔE|=20J,解得物体上升过程中所受空气阻力f=5N,从物体开始抛出至上升到h=2m的过程中,由动能定理有-mgh-fh=Ek-100J,解得Ek=50J,选项C错误;由题给图象可知,物体上升到h=4m时,机械能为80J,重力势能为80J,动能为零,即物体从地面上升到h=4m,物体动能减少100J,选项D正确。

]

3.(2018·全国卷Ⅰ·T18)如图所示,abc是竖直面内的光滑固定轨道,ab水平,长度为2R;bc是半径为R的四分之一圆弧,与ab相切于b点。

一质量为m的小球,始终受到与重力大小相等的水平外力的作用,自a点处从静止开始向右运动。

重力加速度大小为g。

小球从a点开始运动到其轨迹最高点,机械能的增量为(  )

A.2mgRB.4mgR

C.5mgRD.6mgR

C [设小球运动到c点的速度大小为vc,则对小球由a到c的过程,由动能定理有F·3R-mgR=

mv

,又F=mg,解得vc=2

,小球离开c点后,在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动,竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动,由牛顿第二定律可知,小球离开c点后水平方向和竖直向的加速度大小均为g,则由竖直方向的运动可知,小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为t=

=2

,在水平方向的位移大小为x=

gt2=2R。

由以上分析可知,小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中,水平方向的位移大小为5R,则小球机械能的增量为ΔE=F·5R=5mgR,C正确,A、B、D错误。

]

[教师备选题]

1.(2017·全国卷Ⅰ·T24)一质量为8.00×104kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。

飞船在离地面高度1.60×105m处以7.50×103m/s的速度进入大气层,逐渐减慢至速度为100m/s时下落到地面。

取地面为重力势能零点,在飞船下落过程中,重力加速度可视为常量,大小取为9.8m/s2。

(结果保留2位有效数字)

(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能;

(2)求飞船从离地面高度600m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功,已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。

[解析] 

(1)飞船着地前瞬间的机械能为

Ek0=

mv

式中,m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。

由①式和题给数据得

Ek0=4.0×108J②

设地面附近的重力加速度大小为g。

飞船进入大气层时的机械能为

Eh=

mv

+mgh③

式中,vh是飞船在高度1.60×105m处的速度大小。

由③式和题给数据得Eh≈2.4×1012J。

(2)飞船在高度h′=600m处的机械能为

Eh′=

m

2+mgh′⑤

由功能原理得W=Eh′-Ek0⑥

式中,W是飞船从高度600m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功。

由②⑤⑥式和题给数据得

W≈9.7×108J。

[答案] 

(1)4.0×108J 2.4×1012J

(2)9.7×108J

[教师备选题]

2.(2016·全国卷Ⅱ·T25)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。

现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。

AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。

物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。

用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开,P开始沿轨道运动。

重力加速度大小为g。

(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离;

(2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。

[解析] 

(1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的物体的动能为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能。

由机械能守恒定律,弹簧长度为l时的弹性势能为

Ep=5mgl①

设P的质量为M,到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得

Ep=

Mv

+μMg·4l②

联立①②式,取M=m并代入题给数据得

vB=

若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不能小于重力,即P此时的速度大小v应满足

-mg≥0④

设P滑到D点时的速度为vD,由机械能守恒定律得

mv

mv

+mg·2l⑤

联立③⑤式得

vD=

vD满足④式要求,故P能运动到D点,并从D点以速度vD水平射出。

设P落回到轨道AB所需的时间为t,由运动学公式得

2l=

gt2⑦

P落回到AB上的位置与B点之间的距离为

s=vDt⑧

联立⑥⑦⑧式得

s=2

l。

(2)为使P能滑上圆轨道,它到达B点时的速度不能小于零。

由①②式可知

5mgl>μMg·4l⑩

要使P仍能沿圆轨道滑回,P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。

由机械能守恒定律有

Mv

≤Mgl⑪

联立①②⑩⑪式得

m≤M<

m。

[答案] 

(1)

 2

l 

(2)

m≤M<

m

1.

2.功能关系的理解和应用

(1)功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系,功是能量转化的量度和原因,在不同问题中的具体表现不同(如上T2)。

(2)根据功能之间的对应关系,判定能的转化情况(如上T1)。

(3)可以根据能量转化角度,确定是什么力做功,尤其可以方便计算变力做的功(如上T1)。

(2019·四川成都第二次联考)如图所示,倾角为θ的斜面底端固定一个挡板P,质量为m的小物块A与质量不计的木板B叠放在斜面上,A位于B的最上端且与挡板P相距L。

已知A与B、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2,且μ1>tanθ>μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,A与挡板P相撞的过程中没有机械能损失。

将A、B同时由静止释放。

(1)求A、B释放瞬间小物块A的加速度大小a1;

(2)若A与挡板P不相撞,求木板B的最小长度l0;

(3)若木板B的长度为l,求整个过程中木板B运动的总路程。

[思维流程]

[解析] 

(1)释放A、B,它们一起匀加速下滑。

以A、B为研究对象,由牛顿第二定律有

mgsinθ-μ2mgcosθ=ma1,

解得a1=gsinθ-μ2gcosθ。

(2)在B与挡板P相撞前,A和B相对静止,以相同的加速度一起向下做匀加速运动。

B与挡板P相撞后立即静止,A开始匀减速下滑。

若A到达挡板P处时的速度恰好为零,此时B的长度即为最小长度l0。

从A释放至到达挡板P处的过程中,B与斜面间由于摩擦产生的热量

Q1=μ2mgcosθ·(L-l0),

A与B间由于摩擦产生的热量

Q2=μ1mgcosθ·l0

根据能量守恒定律有mgLsinθ=Q1+Q2,

解得l0=

L。

(3)分两种情况:

①若l≥l0,B与挡板P相撞后不反弹,A一直减速直到静止在木板B上

木板B通过的路程x=L-l。

②若l

由于碰撞过程中没有机械能损失,A将以撞前速率返回,并带动木板一起向上减速;当它们的速度减为零后,再重复上述过程,直至物块A停在挡板处。

在此过程中,A与B间由于摩擦产生的热量Q′1=μ1mgcosθ·l,

B与斜面间由于摩擦产生的热量

Q′2=μ2mgcosθ·x,

根据能量守恒定律有

mgLsinθ=Q′1+Q′2,

解得x=

[答案] 

(1)gsinθ-μ2gcosθ 

(2)

L

(3)L-l或

反思:

解答与能量有关的综合题的“三点技巧”

(1)过程分析:

将复杂的物理过程分解为几个简单的物理过程,挖掘出题中的隐含条件(如例题中“质量不计的木板B”“μ1>tanθ>μ2”),找出联系不同阶段的“桥梁”。

(2)受力及功能分析:

分析物体所经历的各个运动过程的受力情况以及做功情况的变化,选择适合的规律求解,如例题中第(3)问,若l

(3)规律应用:

对滑块和滑板分别运用动能定理,或者对系统运用能量守恒定律。

如图所示,要注意区分三个位移。

考向1 功能关系的基本应用

1.(原创题)(多选)如图所示,水平面上固定一倾角为θ=30°的斜面,一轻质弹簧下端固定在斜面底端的挡板上,上端连接一质量m=2kg的物块(可视为质点),开始时物块静止在斜面上A点,此时物块与斜面的摩擦力恰好为零,现用沿斜面向上的恒力F=20N作用在物块上,使其沿斜面向上运动,当物块从A点运动到B点时,力F做的功W=4J,已知弹簧的劲度系数k=100N/m,物块与斜面间的动摩擦因数μ=

,g=10m/s2,则下列说法正确的是(  )

A.物块从A点运动到B点的过程中,重力势能增加了4J

B.物块从A点运动到B点的过程中,产生的内能为1.2J

C.物块经过B点时的速度大小为

m/s

D.物块从A点运动到B点的过程中,弹簧弹性势能的变化量为0.5J

BC [施加F前,物块静止,由平衡条件得kx1=mgsinθ,解得物块在A点时弹簧压缩量x1=0.1m,从A到B力F做的功W=Fx,解得x=0.2m,所以物块到B点时,弹簧伸长量x2=x-x1=0.1m,可知从A到B重力势能增加了mgxsinθ=2J,物块在A、B位置时弹簧弹性势能相等,A、D错误;物块从A点运动到B点的过程中,产生的内能等于克服摩擦力做的功,即Q=μmgxcosθ=1.2J,由动能定理有W-mgxsinθ-μmgxcosθ=

mv2-0,解得v=

m/s,B、C正确。

]

2.(多选)(2019·安徽示范高中期末联考)如图甲所示,绷紧的传送带与水平方向的夹角为37°,传送带的vt图象如图乙所示。

t=0时刻质量为1kg的楔形物体(可视为质点)从B点滑上传送带并沿传送带向上做匀速运动,2s后物体开始减速,在t=4s时物体恰好到达最高点A。

重力加速度为10m/s2。

对物体从B点运动到A点的过程,下列说法正确的是(sin37°=0.6,cos37°=0.8)(  )

 甲        乙

A.物体与传送带间的动摩擦因数为0.75

B.物体的重力势能增加48J

C.摩擦力对物体做的功为12J

D.物体在传送带上运动过程中产生的热量为12J

AD [根据速度—时间图象的斜率表示加速度,可得传送带运动的加速度为a=-1m/s2。

t=0时刻质量为1kg的楔形物体从B点滑上传送带并沿传送带向上做匀速直线运动,说明物体受力平衡,由平衡条件可知μmgcos37°=mgsin37°,解得物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.75,选项A正确;2s末,传送带的速度为2m/s,物体开始减速,分析可知,物体做匀速直线运动的速度为2m/s,且2s后物体与传送带一起做加速度为a=-1m/s2的匀减速运动,t=4s时物体恰好到达最高点A,则传送带的长度lAB=6m,对物体从B点运动到A点的过程,根据动能定理有0-

mv2=-mgh+Wf,其中h=lABsin37°,则物体的重力势能增加量为mgh=36J,摩擦力对物体做的功为Wf=34J,选项B、C错误;物体在前2s内与传送带有相对运动,二者间的相对位移为s=2m,该过程中的滑动摩擦力f=6N,则物体在传送带上运动过程中产生的热量为Q=fs=12J,选项D正确。

]

考向2 能量守恒与转化的应用

3.(多选)(2019·四川眉山中学模拟)如图所示,在一水平向右匀速运动的传送带的左端A点,每隔相同的时间T,轻放上一个相同的工件。

已知工件与传送带间的动摩擦因数为μ,工件质量为m。

经测量,发现后面那些和传送带共速的工件之间的距离均为L,已知重力加速度为g,下列说法正确的是(  )

A.传送带的速度大小为

B.工件在传送带上加速的时间为

C.每个工件与传送带间因摩擦

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