第4章 线性系统的根轨迹法.docx

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第4章线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法

第一节根轨迹法的基本概念

【教学目的】．1。

正确理解根轨迹的概念。

2。

掌握根轨迹方程。

【教学重点】1根轨迹中，开环传递函数G（s）H（s）的标准形式是

2。

根轨迹方程是

．

【教学难点】闭环零极点与开环零极点之间的关系。

【教学方法及手段】以课堂讲解为主，辅以课堂提问。

【课外作业】复习本节内容。

【学时分配】2课时。

【教学内容】

4—1根轨迹法的基本概念

根轨迹的概念根轨迹简称根迹．是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环系

统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。

根轨迹的概念设系统传递函数为G（s），并可表示成下述零极点形式

则称K*为系统的根轨迹增益。

若G（s）为系统的开环传递函数，则K*为开环根轨

迹增益，若G（s）为闭环传递函数，则K*为闭环根轨还增益。

若系统非零的极点和非零的零点分别为A1，A2，……，An和Z1，Z2，……Zm

则根据开环增益的定义，有下述关系式

闭环零点、极点和开环零点、极点之间的关系设系统结构图如图4-1所示．其闭

前向通路传递函数G（s）和反馈通路传递函数

H（s）可分别表示为

比较式（4—5）和（4—6）可知：

（1）系统开环根轨迹增益为前向通路根轨迹增益和反馈通路根轨迹增益的乘积。

（2）系统闭环根轨迹增益等于前向通路的根轨迹增益。

（3）系统的闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所

组成。

（4）。

对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益等于开环根轨迹增益，闭环零点等于开

环零点。

根轨迹方程由式（4-6）知系统闭环特征方程的根满足

式（4—8）称为系统的根轨迹方程。

当系统开环根轨迹增益变化时，根轨迹方程可由下述方程描述，

（1）K>0时

K*从零变化到正无穷时系统的根轨迹称为常规根轨迹或称为180·根轨迹．根

轨迹方程为式（4—9）和式（4—10）。

K*从负无穷变化到零时，系统的根轨迹称为零度

根轨，根轨迹方程为式（4—12）和式（4—12）。

式（4—9）或式（4—11）为根轨迹的相角条件．式（4—10）或式（4—13）为根轨迹

的模值条件。

相角条件是根轨迹的充要条件。

【自学内容】预习第二节根轨迹的绘制基本法则。

第二节根轨迹的绘制基本法则

【教学目的】

掌握根轨迹法的绘制规则。

能热练绘制180

根轨迹图、0

根轨迹图及

参数根轨迹图。

【教学重点】根轨迹法的绘制规则。

【教学难点】绘制复杂系统的根轨迹。

【教学方法及手段】以课堂讲授例题为主，课外作业为辅。

【课外作业】习题4-3，4-4，4-6。

【学时分配】2课时。

【教学内容】

4-2绘制根轨迹的基本法则

简单系统的根轨迹可用解析的方法绘制。

当系统的阶次较高时（n＞2），多项式

求根的计算量很大。

根据下述一些基本法则，可以迅速绘制系统的概略根轨迹。

耀赡绘酗常规幅乾迹助基本法则法则有七条，列于表4—1。

。

表4—1常规根轨迹的绘制法列

【自学内容】预习第三节系统性能分析。

第三节系统性能分析

【教学目的】

1．能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指

标之间的关系。

能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。

2．掌握改造根轨迹的一些方法。

能根据系统性能指标的要求，用根轨迹

法进行校正。

3．能分析增加开环零、极点对系统动态和稳态性能的影响。

【教学重点】

能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指

标之间的关系。

能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。

【教学难点】

能用根轨迹法分析系统的主要性能。

能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。

【教学方法及手段】以课堂讲解为主，辅以课堂提问。

【课外作业】复习本节内容。

【学时分配】2课时。

【教学内容】

利用根轨迹图，可以了解系统闭环极点的分布情况，也可确定可变参数为某一值

时，闭环极点的位置，这为定性地分析和定量地估算系统性能提供了基础。

主导极点和偶极子闭环极点中离虚轴最近，附近又无零点的实数极点和共e扼复数

极点，对系统动态性能的影响最大，起着主要的决定性作用，称它们为主导极点。

一股，非主导极点的实部比主导极点的实部大3—5倍以上。

当某个闭环极点和某个闭环零点相距很近，它们之间的距离比它们到虚轴的距离小

一个数量级时，称这对零极点为偶极子。

偶极子若不十分靠近虚轴，可近似看成闭环零

极点对消，因此对系统动态过程的影响可忽略

不计。

定量估算系统性能时，常需要确定位于给

定阻尼线上的主导极点，其方法如下：

（1）绘制系统概略根轨迹图，并从原点

出发作一直线，使其与实铀正方向的夹角为

（3）若相角条件不满足，则修改x0，计算y0,再检查相角条，直至满足。

（4）若相角条件满足,则此时的x0土fy，为给定阻尼线上的一对主导极点．

用低阶近似估算系统性能利用主导极点和偶极子的概念，可将阶次较高的系

统简化成低阶模型。

若低阶模型为典型一阶或典型二阶系统，则利用时域分析法中的公式计算。

若低阶

模型为一般的二阶、．三阶系统时，可利用性能指标估算公式。

低阶模型性能指标的估算

公式列于表4-4。

（坐标原点处的极点为输入信号的极点）

实验二系统的根轨迹绘制

[实验目的]用Matlab绘制系统的根轨迹。

[实验内容]用Matlab绘制系统的根轨迹的指令为rlocus（num,den）.

[实验步骤]

1．已知系统开环传递函数为：

使用Matlab绘制系统的根轨迹。

num=[0,0,1,1];den=[1,9,0,0];rlocus（num,den）

axis（'square'）;gridon

title（'Root-locusplotofG（s）=K（s+1）/[（s^2（s+9）]'）

xlable（'Re'）;ylable（'Im'）

运行结果为：

2．已知一控制系统

，

，

使用Matlab绘制系统的根轨迹。

G1=tf（1,[18]）;G2=tf（[11],[150]）;H=tf（1,[12]）;rlocus（G1*G2*H）;

v=[-102-33];axis（v）;axis（'square'）;xlable（'Re'）;ylable（'Im'）;gridon

title（'Root-locusplotofG（s）=K（s+1）/[s（s+5）（s+8）（s+2）]'）

运行结果为：