第2章《二次函数》易错题集0423+二次函数的应用Word格式文档下载.docx
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a＞0，△＜0
a＜0，△＜0
a＜0，△＞0
6．（2014•工业园区一模）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y=﹣x2+6x﹣
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）
5
6
7
8
7．抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、B，点P在抛物线上，若△PAB的面积为27，则满足条件的点P有（ ）
1个
2个
3个
4个
8．（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°
，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
y=
9．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
m
6m
15m
填空题
10．抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是 _________ ．
11．若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x﹣1相交，那么它们的交点必在第 _________ 象限．
12．抛物线y=ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是 _________ ．
13．（2009•东丽区一模）二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为 _________ ．
14．抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有 _________ 个．
15．（2006•凉山州）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 _________ cm2．
1、经过点A（-4，5）的抛物线y=-x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为
参考答案与试题解析
考点：
二次函数的性质；
二次函数图象与几何变换；
抛物线与x轴的交点；
二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；
B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；
C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；
D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．
解答：
解：
二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：
A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；
B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；
C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；
D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．
函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：
a=3．故选项正确．
故选B．
点评：
此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．
二次函数图象与系数的关系；
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
∵开口方向向上，
∴a＞0，故④正确；
∵对称轴为x=
，0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴
＜﹣
＜
，
∴4a+b＞0，
＞1，
∴2a+b＜0，
∵y轴交于点（0，2），
∴c=2，
∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，x1•x2=
∴0＜
＜2，
∴a＞1，
∴1＜x1+x2＜3，
即1＜x1+x2=﹣
＜3，
∴3a+b＞0，a+b＜0，
∴3a+b＞0，故②正确；
由3a+b＞0减去a＞1得：
2a+b＞﹣1，
故①正确；
由3a+b＞0减去2a＜2得：
a+b＜﹣2，
故③正确；
由3a+b＞0减去两个a+b＜0得：
a﹣b＞0，
故⑤错误．
∴正确的有①②③④．
故选A．
考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定．
压轴题；
新定义．
由题意可知：
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交点的个数；
根据△与0的关系即可作出判断．
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点
△=（﹣m）2﹣4×
1×
（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4
∵（m﹣2）2一定为非负数
∴（m﹣2）2+4＞0
∴二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2．
考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．
因为x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×
1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．
当x=0时y=1，当y=0时，x=1
∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．
故选：
解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y轴相交．
根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．
欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
则a＞0且△＜0．
当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：
抛物线开口向上，且与x轴无交点；
当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：
抛物线开口向下，且与x轴无交点．
找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．
将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣3）2﹣
]，令y=0得，x=
或
．画出图象可知，在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2）七个．
故选C．
本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．
y=0，可求得A，B两点的坐标，也就求得了AB之间的距离，根据△PAB的面积为27，可得点P的纵坐标的绝对值，代入函数解析式可得点P的个数．
∵抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、B两点．
∴0=x2﹣4x﹣5，
∴x1=﹣1，x2=5，
∴AB=5﹣（﹣1）=6，
∵△PAB的面积为27，
∴点P的纵坐标的绝对值为2×
27÷
6=9，
①当纵坐标为9时，
x2﹣4x﹣5=9，
x2﹣4x﹣14=0，
△＞0，
∴在抛物线上有2个点；
②当纵坐标为﹣9时，
x2﹣4x﹣5=﹣9，
△=0，
∴在抛物线上有1个点；
∴满足条件的点P有3个，故选C．
用到的知识点为：
x轴上的点的纵坐标为0；
△＞0，与抛物线有2个交点；
△=0，与抛物线有1个交点，△＜0，与抛物线没有交点．
根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°
到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；
根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°
，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：
a=
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=
×
（DE+AC）×
DF
=
（a+4a）×
4a
=10a2
x2．
本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
二次函数的应用．菁优网版权所有
本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：
长方形的面积=大三角形的面积﹣两个小三角形的面积．
根据题意得：
y=30﹣
（5﹣x）
﹣
x（12﹣
），
整理得y=﹣
x2+12x，
=﹣
[x2﹣5x+（
）2﹣
]，
（x﹣
）2+15，
∵
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为
m．
故选D．
求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
10．抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是 ±
12 ．
抛物线与x轴只有一个交点，则△=b2﹣4ac=0，列方程求解．
根据题意：
p2﹣4×
9×
4=0，
解得p=±
12．
该题考查函数图象与坐标轴的交点判断，以及解方程，知识范围广．
11．若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x﹣1相交，那么它们的交点必在第 三 象限．
利用一次函数，二次函数的图象及其性质，通过形数结合的分析，得出判断．
∵抛物线y=x2+5x+a2的图象经过一，二，三象限，直线y=x﹣1经过一，三，四象限，但抛物线与y轴交于（0，a2），直线与y轴交于（0，﹣1），一个在y轴正半轴，一个在y轴负半轴，不可能在第一象限相交，必在第三象限相交．
本题考查了一次函数，二次函数的图象的关系．
12．抛物线y=ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是 （3，7） ．
根据所给的抛物线上的点得到抛物线顶点的横坐标，根据有无实数根可判断出顶点的纵坐标．
∵（2，6），（4，6）两点关于直线x=3对称，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，即抛物线的顶点横坐标为3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，
∴7为函数y=ax2+bx+c的最大值，即抛物线的顶点纵坐标为7，
则抛物线的顶点坐标是（3，7）．
抛物线上纵坐标相同的两点都关于对称轴对称，同时顶点坐标的纵坐标就是此二次函数的最值．
13．（2009•东丽区一模）二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为 （
，0）或（﹣
，0） ．
先根据A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6设出A、B两点的坐标，再根据两根之和公式与两根之积公式求得k的值，让直线的y的值为0即可求得直线y=kx+1与x轴的交点坐标．
∵A，B分别在原点的两侧，A点在左侧，且OA+OB=6，
∴设A（a，0），则B（6+a，0），
∵函数y=x2+（2+k）x+2k的图象与x轴的交点就是方程x2+（2+k）x+2k=0的根，
∴a+6+a=﹣（2+k），a•（6+a）=2k，
即2a=﹣k﹣8，6a+a2=2k，
解得a=﹣8，或a=﹣2，
当a=﹣2时，k=﹣4，
∴直线y=kx+1为直线y=﹣4x+1，与x轴交点坐标为（
，0），
当a=﹣8时，k=8，
∴直线y=kx+1为直线y=8x+1，与x轴交点为（﹣
，0）（不合题意舍去）
故直线y=kx+1与x轴的交点坐标为（
，0）．
当告诉二次函数与x轴的两个交点时，利用根与系数的关系求得相关未知数的值是解题关键．
14．抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有 3 个．
根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴交点的个数，根据c的值可以判断出二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有无交点．
∵b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×
2×
3=1＞0，
∴二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴有两个交点
∵c=3≠0，
∴二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有1个交点，
∴抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有3个．
考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴交点的个数的判断．
15．（2006•凉山州）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是
cm2．
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观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为AB的
，根据面积公式即可解答．
观察图形，
根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，
其半径为AB的
，即半径为1，易得其面积为
．
故答案为：
本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解．
参与本试卷答题和审题的老师有：
lanchong；
wenming；
CJX；
HJJ；
zcx；
csiya；
张长洪；
hbxglhl；
zhangCF；
ZJX；
蓝月梦；
lanyan；
自由人；
399462（排名不分先后）
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2014年10月24日
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