大作业2.docx
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大作业2
10.1某汽车修理站只有1名修理工，一天8h平均修理12辆汽车，已知修理时间为负指数分布，汽车来到为Poisson分布，平均每小时有1辆车去修理。
如果一位司机愿意在修理站等候，一旦汽车修复即开走，问他平均需等多久？
（等待制排队模型）
解：
根据题目编写相应的程序：
MODEL:
S=1;R=1;T=8/12;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;L_q=R*W_q;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
END
其计算结果为：
由运行结果可知：
顾客平均要等2小时。
10.2在题10.1中，如果每小时平均有1.2辆汽车去修理，试问修理工平均每天的空闲时间减少了多少？
这对修理站里的汽车数及修理后向顾客交货时间又有怎样的影响？
解：
当R=1.2时运行结果为：
修理工平均每天的空闲时间减少了1.07小时，修理站里的汽车数平均多了2辆，向顾客的交货时间平均多了1.333333小时。
10.3某加油站的场地可供4辆汽车同时加油，顾客将不排队等候，如场地不空，他们既去别处加油。
设顾客按Poisson流到来，顾客到加油站平均需用4min可将汽车油箱加满。
若在一天不同时段，汽车的到达率是不同的：
在高峰时段，顾客每分钟到来2个，中午前后，则是2min到来一个顾客。
试问在这两种时段内，被拒绝服务的顾客百分比各为多少？
（损失制排队模型）
解：
根据题目给出程序为：
高峰期时
MODEL:
S=4;R=2;T=4;load=R*T;
Plost=@pel（load,S）;
Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;
L_s=E_e*T;eta=L_s/S;
END
运行结果为：
中午前后，R=0.5，运行结果为
由运行结果可知，在在高峰期被拒绝的顾客百分比为57.5%，在中午前后被拒绝服务的顾客百分比为9.5%。
10.4某单位电话交换台有一部300门内线的总机，已知上班时间，有30%的内线分机平均每30min要一次外线电话，70%的分机平均每隔1h要一次外线电话，又知从外单位打来的电话的呼唤率平均30s一次，设通话平均时间为3min，以上时间都属负指数分布。
如果要求外线电话接通率为95%以上，问该交换台应设置多少外线？
解：
该问题属于损失制排队模型。
电话交换台的服务分为两部分，一类是内线打外线，一类是外线打内线。
内线打外线的服务强度（每小时通话平均次数）
λ1=（60÷30×30%+60÷60×70%）×300=1.3×300=390
外线打内线的服务强度
λ2==60÷0.5=120
总强度为λ=λ1+λ2=390+120=510
电话平均服务时间为T=3÷60=0.05h，服务率µ=60÷3=20个
对该问题，目标是求最小的电话交换台S，使外线电话接通率在95%以上，即顾客（外线电话）损失不超过5%，则有：
Plost≤5%
LINGO程序为：
model:
min=S;
lp=510;!
每小时平均到达电话数;
u=20;!
服务率;
load=lp/u;
Plost=@PEL（load,S）;!
损失率;
Plost<=0.05;
lpe=lp*（1-Plost）;
L_s=lpe/u;!
顾客的平均队长;
eta=L_s/S;!
系统服务台的效率;
@gin（S）;
end
计算结果如下图所示：
可得：
最小电话交换台为S=31。
电话损失率为Plost=0.047，实际进入系统的电话平均为λ0=486.2，平均队长LS=24，系统服务台的效率η=0.784。
10.5某电话客户服务中心有6名接线员，10部电话机，中心接到的电话为每小时60次，服从Poisson流，通话时间为平均每次6min，服从负指数分布，其他条件适合标准M/M/S/K模型。
试求电话客户服务中心的空闲率、顾客呼叫的损失率以及电话接通后顾客的等待时间。
解：
其参数为S=6，K=10，R=λ=60，T=6÷60=0.1=1÷µ
LINGO程序如下：
model:
sets:
state/1..20/:
P;
endsets
S=6;K=10;R=60;T=0.1;
P0*R=1/T*P
（1）;
（R+1/T）*P
（1）=R*P0+2/T*P
（2）;
@for（state（i）|i#gt#1#and#i#lt#S:
（R+i/T）*P（i）=R*p（i-1）+（i+1）/T*p（i+1））;
@for（state（i）|i#ge#S#and#i#lt#K:
（R+S/T）*P（i）=R*P（i-1）+S/T*P（i+1））;
R*P（K-1）=S/T*P（K）;
P0+@sum（State（i）|i#le#K:
P（i））=1;
Plost=P（K）;Q=1-P（K）;R_e=Q*R;
L_s=@sum（state（i）|i#le#K:
i*P（i））;
L_q=L_s-R_e*T;
W_s=L_s/R_e;
W_q=W_s-T;
END
计算结果如下图所示：
可得：
电话客户服务中心的空闲率p0=0.198%，顾客呼叫的损失率Plost=12.8%，电话接通后顾客等待的时间Wq=0.0246h=1.476min。
10.6一名机工负责五台机器的维修。
已知每台机器平均2h发生一次故障，服从负指数分布。
机工维修速度为每小时3.2台，服从Poisson分布。
试求：
（闭合式排队模型）
（1）等待维修的机器的平均数。
解：
其参数为S=1，K=5，R=
=0.5，T=1/
=1/3.2
S=1;K=5;R=0.5;T=1/3.2;
L_s=@pfs（K*T*R,S,K）;
R_e=R*（K-L_s）;P=（K-L_s）/K;
L_q=L_s-R_e*T;
W_s=L_s/R_e;W_q=W_s-T;
Pwork=R_e/S*T;
等待维修的机器的平均数即是平均等待队长，Lq=0.467（台）
（2）若该机工负责6台机器的维修，其他各项数字不变，则
（1）的结果又如何？
S=1;K=6;R=0.5;T=1/3.2;
L_s=@pfs（K*T*R,S,K）;
R_e=R*（K-L_s）;P=（K-L_s）/K;
L_q=L_s-R_e*T;
W_s=L_s/R_e;W_q=W_s-T;
Pwork=R_e/S*T;
等待维修的机器的平均数即是平均等待队长，Lq=0.7638（台）
（3）若希望有50%以上的机器能正常运转，求该机工最多负责维修的机器数。
S=1;R=0.5;T=1/3.2;
L_s=@pfs（K*T*R,S,K）;
R_e=R*（K-L_s）;P=（K-L_s）/K;P>0.5;
L_q=L_s-R_e*T;
W_s=L_s/R_e;W_q=W_s-T;
Pwork=R_e/S*T;
max=K;@gin（K）;
由程序运行的结果可知，K=12，那么最多负责维修的机器数是12。
10.7机器送达修理厂为Poisson过程，平均每小时4台，平均修理一台机器需7min，服从负指数分布。
现若增设一台新设备，可使每台机器修理时间减为5min，但这台设备使用费用为每分钟10元。
坏了的机器每台每分钟造成损失为5元。
试问是否要购置这台新设备？
（等待排队模型）
解:
①当没有购置新设备时：
S=1，R=4，T=7/60
S=1;R=4;T=7/60;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;L_q=R*W_q;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
坏了的机器就是指在维修厂逗留的机器，Ws=0.21875h，费用=0.21875×60×5=65.625（元），即是一台坏了的机器在平均逗留时间内造成的损失。
②当购置新设备时：
S=2，R=4，T=5/60
S=2;R=4;T=5/60;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;L_q=R*W_q;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
费用=Ws×60×15=0.8571429÷10×60×15
77.25（元）
增加设备后费用增加，因此不需要购置新设备。
10.8某设备修理站打算在甲、乙两人中聘用一人。
甲要求工资为每小时15元，每小时平均检修四台设备，乙要求工资为每小时12元，平均每小时检修3台设备。
若一台设备停留站内一小时（待修或正在修理），站里需支付费用5元。
当每小时平均有两台设备送来维修时，站里应聘用哪位较合适？
（等待排队模型）
①如果应聘甲：
S=1,R=2,T=1/4,所花的费用f=Ws×15+Ws×5，即是在逗留时间内所花的费用。
。
S=1;R=2;T=1/4;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;L_q=R*W_q;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
解得
=10元，等待率是0.5。
②如果应聘甲：
S=1,R=2,T=1/3,所花的费用f=12×Ws+Ws×5
S=1;R=2;T=1/3;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;L_q=R*W_q;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
解得
=17元，等待率是0.667。
综上所述，甲的费用较低，并且效率高，所以应聘甲。
10.9某检验中心为各工厂服务，要求做检验的工产（顾客）的到来服从Poisson流，平均到达率为每天48次，每次来检验由于停工等原因损失150元，服务（做检验）时间服从负指数分布，平均服务率为每天25次，每设置一个检验员服务成本（工资及设备损耗）为每天100元，其他条件适合标准M/M/S/∞模型，问应设置多少名检验员（及设备）才能使总费用的期望值为最小？
解：
用等待制排队系统M/M/S/∞进行分析，其费用包括两个方面，由于停工等原因损失的费用，另一个是检验员服务成本，因此目标函数为f=100s+150
题意就是在上述条件下求目标函数的最小值。
写出相应的LINGO程序如下：
MODEL:
R=48;T=1/25;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
min=100*s+150*L_s;
@gin（S）;
@bnd（2,s,5）;
END
计算结果如下：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
696.6833
Objectivebound:
696.6833
ModelClass:
MINLP
VariableValueReducedCost
PWAIT0.40756220.000000
S3.000000-93.50462
W_Q0.1509490E-010.000000
W_S0.5509490E-010.000000
L_S2.6445550.000000
即应设置3名检验员（及设备），总费用的期望值为696.6833
10.10一车间内有10台相同的机器，每台机器运行时每小时能制造60元的利润，且平均每小时损坏1次，而一个修理工修复1台机器需要15min，以上时间服从负指数分布，设1名修理工每小时工资为90元，求：
（1）该车间应设置多少名修理工，使总费用为最少？
（2）若要求损坏的机器等待修理的时间不超过30min,应设多少名修理工？
解：
（1）这是一个闭合式排队系统M/M/S/K/K，且K=10，R=1，T=15/60。
设
为队长，则正常运转的机器为K-
部，因此目标函数为：
f=60（k-
）-90S
题意就是在上述条件下求目标函数的最大值。
写出相应的LINGO程序如下：
MODEL:
K=10;R=1;T=15/60;
L_s=@pfs（K*R*T,S,K）;
max=60*（K-L_s）-90*S;
END
计算结果如下：
Feasiblesolutionfound.
Objectivevalue:
230.0478
ModelClass:
NLP
VariableValueReducedCost
L_S3.1658700.000000
S2.000000-81.32161
即S=2，该车间应设置2名修理工，,可获得收入为230.478
（2）要求损坏的机器等待修理的时间不超过30min，即
≤30。
计算结果如下：
MODEL:
K=10;R=1;T=15/60;load=R*T;
Pwait=@peb（load,S）;
W_q=Pwait*T/（S-load）;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;
W_q<=30;
@gin（S）;
END
计算结果如下：
ModelClass:
MINLP
VariableValue
LOAD0.2500000
PWAIT0.2777778E-01
S2.000000
W_Q0.3968254E-02
W_S0.2539683
L_S0.2539683
即应设2名修理工，损坏的机器等待修理的时间不超过30min。
物管1201班：
胡小芳彭双琴刘柳张梦蝶
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