（3）如果函数f（x），x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B（b,0）（a≠b），那么函数f（x）是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
注：
对于
（1）
（2）（3）中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．
1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．
（1）函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．（ √ ）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（ × ）
（3）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（ √ ）
（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．（ √ ）
解析
（1）正确．根据函数奇偶性的定义，f（x），f（－x）必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．
（2）错误．若函数f（x）在点x＝0处没有定义，如f（x）＝
，则f（0）不存在．
（3）正确．函数y＝f（x＋a）关于直线x＝0对称，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．
（4）正确．函数y＝f（x＋b）关于点（0,0）中心对称，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．
2．下列函数为偶函数的是（ D ）
A．f（x）＝x－1 B．f（x）＝x2＋x
C．f（x）＝2x－2－x D．f（x）＝2x＋2－x
解析 易判断A，B项中的函数为非奇非偶函数；对于C项，f（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－f（x）为奇函数；对于D项，f（－x）＝2－x＋2x＝f（x）为偶函数，故选D．
3．已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2＋
，则f（－1）＝（ A ）
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 ∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f
（1）＝－2，故选A．
4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（2015）＝（ A ）
A．－2 B．2
C．8 D．－8
解析 由f（x＋4）＝f（x），∴f（x）的周期为4，
∴f（2015）＝f（503×4＋3）＝f（3）＝f（－1），
又函数为奇函数，∴f（－1）＝－f
（1）＝－2×12＝－2，故选A．
5．若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝！
！
！
－
###.
解析 函数f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax为偶函数，故f（－x）＝f（x），即ln（e－3x＋1）－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，
故ln
＝2ax，即lne－3x＝2ax，则－3x＝2ax，
∴a＝－
.
一 函数奇偶性的判断
函数奇偶性的判断方法
（1）判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f（－x）与f（x）的关系作出判断．
（2）分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
【例1】判断下列各函数的奇偶性．
（1）f（x）＝（x＋1）
；
（2）f（x）＝
；
（3）f（x）＝
解析
（1）由
得定义域为（－1,1]，关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．
（2）由
得定义域为（－1,0）∪（0,1），关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f（x）＝
.
又∵f（－x）＝
＝－
＝－f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（3）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；
当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，
∴函数f（x）为奇函数．
二 函数奇偶性的应用
函数奇偶性问题的解决方法
（1）已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．
（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：
由f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．
（4）应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．
【例2】
（1）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f
（1）＋g
（1）＝（ C ）
A．－3 B．－1
C．1 D．3
（2）已知函数f（x）＝ax3＋bsinx＋4（a，b∈R），f[lg（log210）]＝5，则f[lg（lg2）]＝（ C ）
A．－5 B．－1
C．3 D．4
解析
（1）用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f
（1）＋g
（1）＝1，故选C．
（2）∵f（x）＝ax3＋bsinx＋4，①
∴f（－x）＝a（－x）3＋bsin（－x）＋4，
即f（－x）＝－ax3－bsinx＋4，②
①＋②得f（x）＋f（－x）＝8，③
又∵lg（log210）＝lg
＝lg（lg2）－1＝－lg（lg2），
∴f[lg（log210）]＝f[－lg（lg2）]＝5，
又由③式知f[－lg（lg2）]＋f[lg（lg2）]＝8，
∴5＋f[lg（lg2）]＝8，∴f[lg（lg2）]＝3.
三 函数的周期性
函数周期性的判定与应用
（1）判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期．
【例3】定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x）．当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2019）＝（ B ）
A．335 B．338
C．337 D．2015
解析 由f（x＋6）＝f（x）可知，函数f（x）的周期为6，所以f（－3）＝f（3）＝－1，f（－2）＝f（4）＝0，f（－1）＝f（5）＝－1，f（0）＝f（6）＝0，f
（1）＝1，f
（2）＝2，所以在一个周期内有f
（1）＋f
（2）＋…＋f（6）＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2019）＝f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋336×1＝338.
四 函数性质的综合应用
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【例4】
（1）已知定义域为（－1,1）的奇函数f（x）是减函数，且f（a－3）＋f（9－a2）<0，则实数a的取值范围是（ A ）
A．（2
，3） B．（3，
）
C．（2
，4） D．（－2,3）
（2）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（ C ）
A．aC．b解析
（1）由f（a－3）＋f（9－a2）<0，得f（a－3）<－f（9－a2）．又奇函数满足f（－x）＝－f（x），得f（a－3）∴
解得2
（2）由f（x）为奇函数，知g（x）＝xf（x）为偶函数．因为f（x）在R上单调递增，f（0）＝0，所以当x>0时，f（x）>0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（x）>0.又a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），20.8<2＝log241．（2017·北京卷）已知函数f（x）＝3x－
x，则f（x）（ A ）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析 因为f（x）＝3x－
x，且定义域为R，所以f（－x）＝3－x－
－x＝
x－3x＝－
＝－f（x），即函数f（x）是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝
x在R上是减函数，所以f（x）＝3x－
x在R上是增函数，故选A．
2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x＋m（m为常数），则f（－log35）＝（ D ）
A．－6 B．6
C．4 D．－4
解析 因为f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝3x＋m，所以f（0）＝1＋m＝0⇒m＝－1，则f（－log35）＝－f（log35）＝－（3log35－1）＝－4.
3．已知定义在R上的偶函数f（x），在x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1），若f（a）A．（－∞，1） B．
C．
D．（1，＋∞）
解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，＋∞）上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在（－∞，0]上是减函数，所以f（a），故选B．
4．若函数f（x）＝
在其定义域上为奇函数，则实数k＝__±1__.
解析 根据奇函数的定义，当函数在x＝0有定义时，可知f（0）＝
＝0，解得k＝1，当函数在x＝0没有定义时，求得1＋k＝0，解得k＝－1．经验证，k＝1或－1时，函数f（x）都是奇函数，故k＝±1．
易错点 不会判断函数的周期性
错因分析：
对于定义域内的每一个x，都满足条件f（a＋x）＝±f（b＋x）或f（x＋a）＝±
的函数就是周期函数，简记为“x同向走就有周期性”．
【例1】f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知x∈（0,1）时，f（x）＝
1－x，则x∈（3,4）时，f（x）＝__________.
解析 由f（x＋1）＝f（x－1）得f（x＋2）＝f（x），
可知f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（x）＝f（x－4）．
设x∈（－1,0），
则－x∈（0,1），f（－x）＝
1＋x.
∵f（x）是偶函数，
∴x∈（－1,0）时，f（x）＝
1＋x.
∵当x∈（3,4）时，x－4∈（－1,0），
∴f（x）＝f（x－4）＝
1＋（x－4）＝
x－3.
答案
x－3
【跟踪训练1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x＋2）＝－
，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（1．5）＝__2.5__.
解析 由已知得f（x＋4）＝f（x），即周期是4，于是f（1．5）＝f（－1．5）＝f（－1．5＋4）＝f（2.5）＝2.5.
课时达标 第6讲
[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．
一、选择题
1．下列函数是奇函数的是（ A ）
A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝lgx
C．f（x）＝2x＋2－x D．f（x）＝x3－1
解析 B项，f（x）＝lgx的定义域是x>0，所以不是奇函数，所以B项错；C项，f（－x）＝2－x＋2x＝f（x），f（x）是偶函数，所以C项错；D项，f（x）＝x3－1不过原点，所以f（x）是非奇非偶函数，所以D项错．只有A项，满足定义域关于原点对称，并且f（－x）＝－f（x），是奇函数．
2．已知f（x）＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝（ A ）
A．
B．－1
C．1 D．7
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝
.又因为f（x）为偶函数，所以3a（－x）2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，所以a＋b＝
，故选A．
3．若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则（ C ）
A．函数f（g（x））是奇函数B．函数g（f（x））是奇函数
C．函数f（x）·g（x）是奇函数D．函数f（x）＋g（x）是奇函数
解析 令h（x）＝f（x）·g（x），∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数，∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∴h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x），∴h（x）＝f（x）·g（x）是奇函数，故选C．
4．（2018·重庆模拟）已知函数y＝f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）＝lgx，则f
＝（ D ）
A．
B．－
C．lg2 D．－lg2
解析 因为当x>0时，f（x）＝lgx，所以f
＝lg
＝－2，
则f
＝f（－2）＝－f
（2）＝－lg2.
5．（2018·河南南阳模拟）函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f（x）＝x－1，则不等式xf（x）>0在[－1,3]上的解集为（ C ）
A．（1,3） B．（－1,1）
C．（－1,0）∪（1,3） D．（－1,0）∪（0,1）
解析 f（x）的图象如图．
当x∈[－1,0）时，由xf（x）>0得x∈（－1,0）；
当x∈[0,1）时，xf（x）>0无解；
当x∈[1,3]时，由xf（x）>0得x∈（1,3）．
故x∈（－1,0）∪（1,3）．
6．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上是增函数，如果f（ax＋1）≤f（x－2）在x∈
时恒成立，则实数a的取值范围是（ D ）
A．[－2,1] B．[－5,0]
C．[－5,1] D．[－2,0]
解析 因为f（x）是偶函数，在[0，＋∞）上是增函数，如果f（ax＋1）≤f（x－2）在x∈
时恒成立，则|ax＋1|≤2－x，即x－2≤ax＋1≤2－x.由ax＋1≤2－x，得ax≤1－x，a≤
－1，而
－1在x＝1时取得最小值0，故a≤0.同理，x－2≤ax＋1时，a≥－2，所以a的取值范围是[－2,0]．
二、填空题
7．已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，若f（2x－1）>f
成立，则x的取值范围是！
！
！
###.
解析 因为偶函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，所以由f（2x－1）>f
，得f（|2x－1|）>f
，∴|2x－1|<
，
即－
<2x－1<
，即－
.
8．已知f（x）＝ax3＋bx＋2017，且f（2017）＝2018，则f（－2017）＝__2_016__.
解析 f（x）＝ax3＋bx＋2017，令g（x）＝ax3＋bx，则g（x）为奇函数，f（x）＝g（x）＋2017，f（2017）＝g（2017）＋2017＝2018，g（2017）＝1，故f（－2017）＝g（－2017）＋2017＝－g（2017）＋2017＝－1＋2017＝2016.
9．设函数f（x）＝
，则使得f（x2－2x）>f（3x－6）成立的x的取值范围是__（－∞，2）∪（3，＋∞）__.
解析 函数f（x）＝
为奇函数，当x>0时，f（x）＝1－
，可得f（x）在（0，＋∞）上单调递增，由奇函数的性质，可得f（x）在R上单调递增，则由f（x2－2x）>f（3x－6），可得x2－2x>3x－6，解得x<2或x>3.
三、解答题
10．已知函数f（x）＝
是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析
（1）设x<0，则－x>0，
所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x，
又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），
于是当x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
结合f（x）的图象知
所以111．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝
x.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x2－1）>－2.
解析
（1）当x<0时，－x>0，
所以f（x）＝f（－x）＝
（－x），
故函数f（x）的解析式为f（x）＝
（2）因为f（4）＝
4＝－2，f（x）是偶函数，所以不等式f（x2－1）>－2可化为f（|x2－1|）>f（4）．又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－
，
即不等式的解集为（－
，
）．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0,1）时，f（x）＝
.
（1）求f
（1）和f（－1）的值；
（2）求f（x）在[－1,1]上的解析式．
解析
（1）∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f
（1）＝f（1－2）＝f（－1）＝－f
（1），∴f
（1）＝0，f（－1）＝0.
（2）由题意知，f（0）＝0.当x∈（－1,0）时，－x∈（0,1）．
由f（x）是奇函数，得f（x）＝－f（－x）＝－
＝－
，
综上，在[－1,1]上，f（x）＝
升级会员 