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倒数关系:
tanα·
cotα＝1
sinα·
cscα＝1
cosα·
secα＝1
商的关系:
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
[1]三角函数恒等变形公式
两角与与差的三角函数:
cos（α+β）=cosα·
cosβ-sinα·
sinβ
cos（α-β）=cosα·
cosβ+sinα·
sin（α±
β）=sinα·
cosβ±
cosα·
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·
tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·
三角与的三角函数:
sin（α+β+γ）=sinα·
cosβ·
cosγ+cosα·
sinβ·
sinγ-sinα·
sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·
cosγ-cosα·
cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·
tanβ·
tanγ）/（1-tanα·
tanβ-tanβ·
tanγ-tanγ·
tanα）
辅助角公式:
Asinα+Bcosα=（A&
sup2;
+B&
）^（1/2）sin（α+arctan（B/A））,其中
sint=B/（A&
）^（1/2）
cost=A/（A&
tant=B/A
Asinα-Bcosα=（A&
）^（1/2）cos（α-t）,tant=A/B
倍角公式:
sin（2α）=2sinα·
cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=cos&
（α）-sin&
（α）=2cos&
（α）-1=1-2sin&
（α）
tan（2α）=2tanα/[1-tan&
（α）]
三倍角公式:
sin（3α）=3sinα-4sin&
sup3;
（α）=4sinα·
sin（60+α）sin（60-α）
cos（3α）=4cos&
（α）-3cosα=4cosα·
cos（60+α）cos（60-α）
tan（3α）=tana·
tan（π/3+a）·
tan（π/3-a）
半角公式:
sin（α/2）=±
√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±
√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±
√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
降幂公式
sin&
（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2
cos&
（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2
tan&
（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））
万能公式:
sinα=2tan（α/2）/[1+tan&
（α/2）]
cosα=[1-tan&
（α/2）]/[1+tan&
tanα=2tan（α/2）/[1-tan&
积化与差公式:
sinα·
cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·
sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
与差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos&
α
1-cos2α=2sin&
1+sinα=（sinα/2+cosα/2）&
其她:
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及
（α）+sin&
（α-2π/3）+sin&
（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
cosx+cos2x+、、、+cosnx=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx
证明:
左边=2sinx（cosx+cos2x+、、、+cosnx）/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+、、、+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化与差）
=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+、、、+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx
左边=-2sinx[sinx+sin2x+、、、+sinnx]/（-2sinx）
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+、、、+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x-cos（n-1）x]/（-2sinx）
=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
三倍角公式推导
sin3a
=sin（2a+a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin&
a）+（1-2sin&
a）sina
=3sina-4sin&
a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos&
a-1）cosa-2（1-sin&
a）cosa
=4cos&
a-3cosa
sin3a=3sina-4sin&
=4sina（3/4-sin&
a）
=4sina[（√3/2）&
-sin&
a]
=4sina（sin&
60°
=4sina（sin60°
+sina）（sin60°
-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°
-a）/2]*2sin[（60°
-a）/2]cos[（60°
+a）/2]
=4sinasin（60°
+a）sin（60°
-a）
cos3a=4cos&
=4cosa（cos&
a-3/4）
=4cosa[cos&
a-（√3/2）&
]
a-cos&
30°
=4cosa（cosa+cos30°
）（cosa-cos30°
=4cosa*2cos[（a+30°
）/2]cos[（a-30°
）/2]*{-2sin[（a+30°
）/2]sin[（a-30°
）/2]}
=-4cosasin（a+30°
）sin（a-30°
=-4cosasin[90°
-（60°
-a）]sin[-90°
+（60°
+a）]
=-4cosacos（60°
-a）[-cos（60°
=4cosacos（60°
-a）cos（60°
+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°
-a）tan（60°
+a）
三角函数的诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四:
利用公式二与公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五:
利用公式一与公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六:
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系:
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
（以上k∈Z）
补充:
6×
9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则与定号法则）
f（β）→
f（β）＝↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360k+α
tanα
secα
90°
-α
+α
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
180°
-cosα
-secα
270°
360°
﹣α
定名法则
90°
的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就就是“奇余偶同,奇变偶不变”
定号法则
将α瞧做锐角（注意就是“瞧做”）,按所得的角的象限,取三角函数的符号。
也就就是“象限定号,符号瞧象限”
比如:
+α。
定名:
就是90°
的奇数倍,所以应取余函数;
定号:
将α瞧做锐角,那么90°
+α就是第二象限角,第二象限角的正弦为负,余弦为正。
所以sin（90°
+α）=cosα,cos（90°
+α）＝-sinα这个非常神奇,屡试不爽~
三角形与三角函数
1、正弦定理:
在三角形中,各边与它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.（其中R为外接圆的半径）
2、第一余弦定理:
三角形中任意一边等于其她两边以及对应角余弦的交叉乘积的与,即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之与减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bccosA
4、正切定理（napier比拟）:
三角形中任意两边差与的比值等于对应角半角差与的正切比值,即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式:
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
已知（A+B）=（π-C）
所以tan（A+B）=tan（π-C）
则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ（n∈Z）时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
部分高等内容
高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）:
sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）
cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2
tanx=[e^（ix）-e^（-ix）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]
泰勒展开有无穷级数,e^z=exp（z）＝1＋z/1！
＋z^2/2！
＋z^3/3！
＋z^4/4！
＋…＋z^n/n！
＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
三角函数作为微分方程的解:
对于微分方程组y=-y'
'
;
y=y'
有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。
由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。
:
角度a0°
30°
45°
60°
90°
180°
1、sina01/2√2/2√3/210
2、cosa1√3/2√2/21/20-1
3、tana0√3/31√3/0
4、cota/√31√3/30/
（注:
“√”为根号）
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+、、、+cnxn+、、、=∑cnxn（n=0、、∞）
c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+、、、+cn（x-a）n+、、、=∑cn（x-a）n（n=0、、∞）
它们的各项都就是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,、、、cn、、、及a都就是常数,这种级数称为幂级数、
泰勒展开式（幂级数展开法）:
f（x）=f（a）+f'
（a）/1!
*（x-a）+f'
（a）/2!
*（x-a）2+、、、f（n）（a）/n!
*（x-a）n+、、、
实用幂级数:
ex=1+x+x2/2!
+x3/3!
+、、、+xn/n!
+、、、
ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-、、、（-1）k-1*xk/k+、、、（|x|<
1）
sinx=x-x3/3!
+x5/5!
-、、、（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
+、、、（-∞<
x<
∞）
cosx=1-x2/2!
+x4/4!
-、、、（-1）k*x2k/（2k）!
arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+、、、（|x|<
arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+、、、）（|x|<
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-、、、（x≤1）
sinhx=x+x3/3!
+、、、（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
coshx=1+x2/2!
+、、、（-1）k*x2k/（2k）!
arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-、、、（|x|<
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+、、、（|x|<
在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
--------------------------------------------------------------------------------
傅立叶级数（三角级数）
f（x）=a0/2+∑（n=0、、∞）（ancosnx+bnsinnx）
a0=1/π∫（π、、-π）（f（x））dx
an=1/π∫（π、、-π）（f（x）cosnx）dx
bn=1/π∫（π、、-π）（f（x）sinnx）dx
三角函数的数值符号
正弦 第一,二象限为正, 第三,四象限为负
余弦 第一,四象限为正 第二,三象限为负
正切 第一,三象限为正 第二,四象限为负
三角函数定义域与值域
sin（x）,cos（x）的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R
cot（x）的定义域为x不等于kπ,值域为R
初等三角函数导数
y=sinx---y'
=cosx
y=cosx---y'
=-sinx
y=tanx---y'
=1/（cosx）^2;
=（secx）^2;
y=cotx---y'
=-1/（sinx）^2=-（cscx）^2;
y=secx---y'
=secxtanx
y=cscx---y'
=-cscxcotx
y=arcsinx---y'
=1/√1-x^2;
y=arccosx---y'
=-1/√1-x^2;
y=arctanx---y'
=1/（1+x^2;
）
y=arccotx---y'
=-1/（1+x^2;
反三角函数
三角函数的反函数,就是多值函数。
它们就是反正弦Arcsinx,反余弦Arccosx,反正切Arctanx,反余切Arccotx等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx;
相应地,反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;
反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<
y<
π/2;
反余切函数y=arccotx的主值限在0<
π。
反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。
其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不就是f-1（x）、
反三角函数主要就是三个:
y=arcsin（x）,定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条;
y=arccos（x）,定义域[-1,1],值域[0,π],图象用兰色线条;
y=arctan（x）,定义域（-∞,+∞）,值域（-π/2,π/2）,图象用绿色线条;
sinarcsin（x）=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】
证明方法如下:
设arcsin（x）=y,则sin（y）=x,将这两个式子代如上式即可得
其她几个用类似方法可得。
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