高等数学在实际生活中应用.doc

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高等数学知识在实际生活中的应用

一、数学建模的应用

数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。

（一）数学建模的一般方法和步骤

（1）了解问题，明确目的。

在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。

明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。

（2）对问题进行简化和假设。

一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。

不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。

（3）建立模型。

在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。

在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。

（4）对模型进行分析、检验和修改。

建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。

一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。

（5）模型的应用。

用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。

归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：

问题假设建模分析应用

检验、修改

图1

（二）数学建模的范例

例教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？

这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？

先建立一个非常简单的模型：

A

黑

板

a

Bb

DC

图2.3-1

模型1：

先对问题进行如下假设：

1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a米和b处。

2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。

设学生D距黑板米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为。

由假设知：

所以，当且仅当时，最大，从而视角最大。

从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。

坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。

y

A

B

D

xO

图2.3-2

下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。

模型2：

设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。

为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成角，以黑板所在直线为轴，以水平线为轴，建立坐标系（见图2.3-2）。

则直线OE的方程（除原点）为：

若学生D距黑板的水平距离为，则D在坐标系中的坐标为，

则：

所以

设，要使最大，只要最小就可以了。

对求导得：

当时，，则随的增大而增大；当时，，则随的增大而减小，由因为是连续的，所以当时，取最小值，也就是时，学生的视角最大。

通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。

模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。

在解题过程中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：

前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面成多少度角最舒服），等。

我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。

但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。

所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。

因此在建立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。

二、矩阵在实际生活中的应用

（一）有关矩阵的乘法

矩阵A=与=相乘

=

====

（二）矩阵应用的范例—人口流动问题

例假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1）在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商；

（2）在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商；

（3）在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商；

（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。

解：

若用三维向量（xi,yi,zi）T表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知（x0,y0,z0）T=（25，10，5）T。

而欲求（x1,y1,z1）T，（x2,y2,z2）T并考察在n→∞时（xn,yn,zn）T的发展趋势。

依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

即

以（x0,y0,z0）T=（25，10，5）T代入上式，即得:

即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。

以及

即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。

进而推得：

即n年之后从事各业人员的人数完全由决定。

在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。

这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。

单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善

教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。