三角函数在生活中应用论文Word格式.docx
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A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电A
缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元
/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸
是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可
使总施工费用达到最少？
分析：
设电缆为ADDB时费用最少，因为
河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨
设CAD.CDB
（0900）解：
设CAD，则ADsec,CB,BD－tan,
∴总费用为
4
2sincosy4sec－2tan=
问题转化为求u42sin的最小值及相应的θ值，cos
sin2（0，2）（cos,sin）而u－2表示点P与点Qcos
（0900）斜率的－2倍，有图可得Q在
切于点Q时，u
取到最小值。
此时KPQ
电缆应从距B城（－
23+2（万元）。
1单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧4，∴
umin。
即水下63）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值3
注：
本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。
测量问题
情景一：
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量
者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C测出A、C的距离是
55m,∠BAC=51°
∠ACB=75°
，球A、B两点的距离。
这是关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间
的距离的情景问题，情景中条件告诉了边AB的对角AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：
根据正弦定理，得
ABACsinACBsinABC
ACsinACB55sinACBsinABCsinABC
55sin7555sin75（m）sin（1805175）sin54
AB
所以A,B两点间的距离为米。
情景二：
某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°
；
再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°
，请用以上数据计算塔高。
（学生的身高忽略不计，1步=，结果精确到1m）
C
DB
图2
要求塔高CD，在Rt△BDC中求，∠CBD=60°
，需求BD或BC，因为∠DBC=∠A+∠BCA,所以∠BCA=30°
，所以BC=AB=80
过C作CD⊥AB于点D
则∠CDA=90°
，∠A=30°
，∠CBD=60°
∵∠CBD=∠A+∠ACB
∴∠A=∠ACB=30°
∵AB=80步，1步=
∴BC=AB=80步=64m
在Rt△BCD中，CD=BC×
sin∠CBD=64×
所以，文宣塔高约为54m。
A≈54（m）2
航海危险区域预测问题【三角函数在生活中的应用论文】
一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
此情景如图例3可先找出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论．北北解：
过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D
ADBC ∵cot300，cot600CDCD
0600 ∴ADCDcot30，BDCDcot600
西 ∴ADBDCD（cot300cot600）20A
南南20 ∴CD例3图333 ∵10＞10
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．CD东
足球射门问题
在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽ABa米，球门柱B到FE的距离BFb米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？
（即射门角APB最大时为射门的最佳位置）？
请你帮助左前锋回答上述问题。
分析：
情景中要求射门的最佳位置，即只要当射门角最大时为最佳位置。
所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。
若直接在非特殊APB中利用边来求APB的FG
最值，显得比较繁琐，注意到APBAPF－BPF，而后两者都在Rt中，故可应用直角三角形的性质求解。
如图，设FPx，APB，BPF（、为锐角），则APF，tg（）tgtg[（）－]abx,tgbx,tg（）tg=1tg（）tg（ab）ba。
若令yx，（ab）bxxx
则y2x（ab）b（ab）b=2（ab）b，当
x,即x时，y取到xx
最小值2（ab）b
，从而可知x
时，tg取得最大值，即tg时，有最大值。
故当P点距底线CD为（ab）b米时，为射门的最佳位置。
依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行
冲浪运动。
通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大。
历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的。
通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大。
在设“角”求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
参考文献：
[1].陈上太.三角函数最小正周期的求法.数学教学研究[J],1999,
（1）:
26-28.
[2].董志立.三角函数求最值问题类型解法透析.希望月报
[J],2007,（8）:
110-111.
[3].刘丽英.三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法.中国科教创新导刊
[J],2009,（15）:
80-85.
[4].曾广述.三角形中的三角函数问题求解策略.中等职业教育
[J],2007,（35）:
56-58.
[5].祝全力.三角函数的最值问题探索.中国科教创新导刊[J],2009,（3）:
72-77.
[6].李尚志．从数学中享受快乐．数学通报，2004，12
[7].张顺燕．数学教育与数学文化．数学通报，2005，2三角函数在生活中的应用论文
（二）
三角函数在实际生活中的运用23
三角函数在实际生活中的运用
邮政编码：
444303湖北省巴东县第三高级中学
联系人：
许贤永电话：
136********
三角函数是高中数学中的重要知识，也是高考必考内容之一。
三角函数作为一个工具解决一些生活实际问题时，充分显示了它的优越性，特别在近几年的高考试卷中，这类题型的出现率逐年上升，这也体现了新课标下“学有用数学”的理念，现特选几例与大家共赏。
一、选准模型，化难为易
例1有一块半径为1米，中心角为
3
的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的
矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形。
试问工人师傅是怎样选择矩形的四点的？
并求出最大面积值。
解析:
设COB（0＜＜
）
,
则BCsinAD,OBcos,
又OAADcot
33
3
∴
ABcos
sin
3
S矩形
ABCDsin（cos
12
6
sin）
sin2cos2
）
∴当sin（2
）1即
6
2
工人师傅是这样选点的，记扇形EOB，以扇形一半径OB
为一边，在扇形
上作BOC且使BOC
，C为边与扇形弧的交点，自C作CBOB于B，CD
∥OB交OE于O,并作ADOA于A，则矩形ABCD为面积最大的矩形，面积的
最大值为
6m
【点评】：
题中信息已告诉我们：
欲解答所提出的问题，须建立S矩形ABCD的函数关系式，而是选取符合条件的“角”为自变量（利用正弦、余弦的有界性求解），还是选取某条“边”的长为自变量（利用“常规”函数来求解），是决定本题易解、难解的关键。
二、巧用“最值”，妙获“最优”
例2、如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B,C落在半圆的圆周上。
已知半圆的半径为a,如何选择关于点O的对称点A，D的位置，使矩形ABCD的面积最大？
设AOB,（0三角函数在生活中的应用论文（三）
浅谈三角函数在的应用
论文
目录
浅谈三角函数公式的应用............................................................................................1
公式的应用....................................................................................................................1
一、引言........................................................................................................................1
二、三角函数的发展史（参考资料-------------张红《数学简史》）........................2
（一）、三角学的产生.........................................................................................2
（二）、三角学的独立与发展.............................................................................2
1、三角学的独立.............................................................................................................2
2、三角学的发展.............................................................................................................3
三、浅谈三角函数在三角函数的应用........................................................................3
（一）三角函数的基本知识.................................................................................3
（二）、三角函数在三角函数中的应用.............................................................6
1、化简求值.....................................................................................................................6
2、角的变换...................................................................................................................10
3、函数名称的变换.......................................................................................................11
4公式的变形和逆用......................................................................................................12
5变换结构（降次升幂）...................................................................................................13
致谢词...................................................................................................................14
独撰声明...............................................................................................................14三角函数公式的应用
简述三件函数的发展史，三角函数在在三角函数的正用、逆用、变形、升降幂、引入辅助角等的应用。
）
关键字：
三角函数计算应用
Abstract:
Describesthedevelopmenthistoryofthethreefunctions,trigonometricfunctionsintheinversetrigonometricfunctionsareused,withintroducingauxiliaryAngle,deformation,liftingpower,etc.
KeyWords：
Trigonometricfunctioncomputingapplications一、引言
三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。
三角函数是高中数学重要的基础知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间．三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数Y=Asin（x）的图象及应用、三角恒等变换、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：
潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等．测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。
在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。
三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具。
其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。
二、三角函数的发展史（参考资料-------------张红《数学简史》）
（一）、三角学的产生
三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学”一词来自拉丁文
Trigonometry，原意是三角形。
与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中发展起来的。
早期的三角学依附于天文学，是天文学观测结果推算的一种方法，因此最先发展前来的是球面三角学。
古希腊梅内劳斯著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念；
50年后的托勒密著《天文学大成》，初步发展三角学。
在公园499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；
气候的瓦拉哈米西拉最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；
公元10世纪的阿拉伯学者进一步探讨了三角学。
当然，所有这些工作都是天文研究的组成部分，还谈不上作为数学的独立分支的三角学，甚至连三角学这名称还未出现。
约定名早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
（二）、三角学的独立与发展
1、三角学的独立
从前面可知，古埃及、古希腊通商航海、天文观测等的需要产生了
三角学知识。
到了13世纪，阿波罗的纳西尔丁著《论完全四边形》中第一次吧三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论述了正弦定理，由球面三角形的三个角可求得它的三条边，反之成立。
这是区别球面三角形和平面三角形的重要标志。
至此，三角学开始脱离了天文学，走上路独立发展之路。
2、三角学的发展
①三角学在西方的发展
文艺复兴的欧洲，德国数学家雷格蒙格努斯出版的《论各种三角形》
对平面三角学和球面三角学都进行了全面阐述，还编制了精密的正弦
表，并且应用了三角学解决了一些几何问题。
17世纪初对数的发明后大大简化了三角函数的计算，人们的注意力
转向了三角函数的理论研究。
于1595年德国数学家皮蒂斯楚斯不仅首次创用“三角学”一名词，
而且于1613年艰苦修订并出版了三角函数表。
至此一个敬你的三角函数表正式完成。
文艺复兴后期，法国数学家韦达首次把代数变换引进了三角学，补
充了正切定律，把斜三角形问题转化为直角三角形的问题来解决。
对球面三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则。
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。
欧拉用小写的拉
丁字母a、b、c表示三角形的三边，进一步简化了三角公式。
欧拉还引
用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号，这是三角函数的现代形式。
由于上述数学家及19世纪许多数学家的女里，形成了现代的三角函
数符号与手拿教学的完整理论。
②三角学在中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
明崇祯四年西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启（p20）合编的《大测》为代表。
清同治十二年华蘅芳和英国傅兰雅合译，书名《三角数理》。
三、浅谈三角函数在三角函数的应用
（一）三角函数的基本知识
1、如图1y叫做α的正弦，记作sinα；
x叫做α的余弦，记作cosα；
y/x（x≠0）叫正切记作tanα，tanα=ysinxcos。
图1
2、下列是关于三角函数的诱导公式
①终边相同的角的同一三角函数的值相等。
由此可得到下列公式：
公式一：
sin（2k）sin,
cos（2k）cos,
tan（2k.）tan.其中kZ.
②如图2P（x，y），直线OP的反向延长线OE交圆O于F点，则F点的坐标为F（－x,－y）由此可得到下列公式：
公式二：
sin（）sin,
cos（）cos,
tan（）tan.
③同理可得到：
公式三：
sin（）sin,
cos（）cos,
tan（）tan.
④公式四：
sin（）sin,
tan（）tan.
我们可以用下面的话来概括公式一~四：
a2kkz,,的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
,射线OL、射线OE关于直2
线BC对称，若L（x，y）则E（y，x），由此可以得到：
公式五：
⑤如图3所示xOL=yOE=,xOE=
sin（）cos,2
cos（）sin.2（），由公式四及公式五可得：
22
公式六：
⑥由于 三角函数在生活中的应用论文（四）
试谈数学建模在现实生活中的应用 【摘要】一般来说，数学模型是针对具体实
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