八年级数学竞赛培优专题及答案15 多边形的边与角Word文档下载推荐.docx

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（2）证明∠PAQ＝90°

．

【例3】如图，已知为AD为△ABC的中线，求证：

AD＜

（陕西省中考试题）

三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手．

【例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．

AB＝AC＋BD．

（“希望杯”邀请赛试题）

本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等．

【例5】如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠

（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图2，若∠BCA＝90°

，∠

＝90°

，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿

（填“＞”、“＜”或“＝”）；

②如图3，若0°

＜∠BCA＜180°

，请添加一个关于∠

与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；

（2）如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠

＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

（台州市中考试题）

对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE≌△CAF应满足的条件．对于

（2）可用归纳类比方法提出猜想．

【例6】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°

，∠ABC＝∠ADC＝45°

CD＝AB．

（天津市竞赛试题）

由已知易得∠CAB＝30°

，∠GAC＝75°

，∠DCA＝60°

，∠ACB＋∠DAC＝180°

，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．

能力训练

A级

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°

，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，则点D到AB的距离是＿＿＿＿．

2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，则DE＝＿＿＿＿．

3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则∠EOB＝＿＿＿＿．

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四个结论：

①AC⊥BD；

②BC＝DE；

③∠DBC＝

∠DAB；

④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）

（天津市中考试题）

5．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（　　）

A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFCD．△ABC≌△ADE

6．如图，△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

7．如图，从下列四个条件：

①BC＝B'

C；

②AC＝A′C；

③∠A′CA＝∠B′CB；

④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（北京市东城区中考试题）

8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．

（1）求证：

ED平分∠FEC；

（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

若不成立，请说明理由；

若成立，请给予证明．

9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°

，连AD，M为AD中点，连OM．

（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；

（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，

（1）中结论是否成立？

请说明理由．

10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．

∠M＝

．（天津市竞赛试题）

11．如图，已知△ABC中，∠A＝60°

，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点．

BD＋CE＝BC．

12．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°

，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：

ME＝BD．

（日照市中考试题）

B级

1．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝＿＿＿＿．

（武汉市竞赛试题）

2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是＿＿＿＿．

（“希望杯”竞赛试题）

3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在AB

AC与BP

PC两式中，较大的一个是＿＿＿＿．

4．如图，已知AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（　　）

A．BE＋CF＞EFB．BE＋CF＝EF

C．BE＋CF＜EFD．BE＋CF与的大小关系不确定

（第十五届江苏省竞赛试题）

6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（　　）

A．相等B．不相等C．互余D.互补或相等

（北京市竞赛试题）

7．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：

①AB＝AC；

②AD＝AE；

③AM＝AN；

④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．

已知：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（荆州市中考试题）

8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝

，求∠ABC＋∠ADC的度数．（上海市竞赛试题）

9．在四边形ABCD中，已知AB＝

，AD＝6，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问

与

的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°

，请画出图形并证明你的结论．

（河北省竞赛试题）

10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°

，AD，CE：

分别平分∠BAC，∠ACB．

AC＝AE＋CD．

（武汉市选拔赛试题）

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°

，AP，CQ分别平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，连PQ．

为定值．

12．在△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

DE＝AD

BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：

DE，AD，BE有怎样的等量关系？

请写出这个等

量关系，并加以证明．（海口市中考试题）

13．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠

①如图1，若∠BCA＝90°

②如图2，若0°

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠

专题15全等三角形

例1C命题③、④是假命题例2证明△ABP≌△AQC

例3提示：

延长AD至E，使DE=AD,连结BE,则△ACD≌△EBD

例4如图，在AB上截取AF,使AF=AC,连结EF由△ACE≌△AFE,得∠C=∠AFE.

∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°

而∠5+∠AFE=180°

则∠5=∠D.在△BFE≌△BDE中，

∵∠5=∠D,∠3=∠4,BE=BE∴△BFE≌△BDE,得BF=BD.∴AB=AF+BF=AC+BD.

例5

（1）①=,=②∠a+∠BCA=180°

先证明∠BCE=∠CAF,再证△BCE≌△CAF

（2）EF=BE+AF

例6如图,过点A作AE丄AB交BC的延长线于点E,则AB=AE,∠E=∠D

在△ADC与△CEA中∵

∴△ADC≌△CEA得CD=AE=AB.

A级

1.152.7cm3.90°

4.②③5.D6.B7.B

8.

（1）如图，先证∠DBF=∠DAC,再证△BDF≌△ADC.最后由D点作DS丄BF于S，DT丄AC于T，由S△BDF=S△ADC,可知DS=DT∴ED平分∠FEC

（2）类比

（1）可证.

9.

（1）2OM=BC理由如下:

延长OM至N,使OM=NM,连DN,可先证：

△OMA≌△NMD再证△COB≌△ODN.∴ON=BC即2OM=BC

（2）类比

（1）可证2OM=BC

10.提示：

△AEP≌△AFP,∠M=∠ACB－∠MFC=∠ACB－∠AFE=∠ACB－（∠ABC+∠M）

11.在BC上截取BF=BD,则△BDP≌△BPF以下只要证明CF=CE,充分利用角平分线构造全等三角形.∵∠BPC=90°

+

∠A=120°

∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE60°

又∠1=∠2,CP=CP,∴△CPF≌△CPE,得CF=CE.故BC=BF+CF=BD+CE

12.

（1）略

（2）连CM,证明△CBD≌△CEM.

B级

1.45°

或135°

提示：

对高的位置进行讨论2.1＜AD＜43.AB－AC4.C

5.A提示：

延长ED到G,DG=ED,连结CG6.D提示：

符合条件的两个三角形不一定全等

7..略

8.如图,作CF丄AD,AB+AD=2AE=AE+AF∴AB－AE=AF－AD.即BE=DF.

∴Rt△CBE≌Rt△CDF,得∠ABC=∠CDF.∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°

.

9.

（1）a≠b,不妨设a＞b,如图所示,在AB上截取AE=AD,连结EC,则△ADC≌△AEC

∴∠AEC=∠D，CE=CD=CB，∴∠B+∠D=∠CEB+∠AEC=180°

，

（2）当a=b，则△ACD≌△ABC，得∠D=∠B.欲使∠D+∠B=180°

，则需∠D=∠B=90°

，所以当a≠b时，一定有∠B+∠D=180°

；

当a=b时，只有∠D=∠B=90°

，才有∠B+∠D=180°

10.提示：

如图作∠AOC平分线OF交AC于F，由∠ABC=60°

，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，可证：

∠AOC=120°

，∴∠AOE=∠AOF=∠COD=60°

.∴可证△AEO≌△AFO，△CFO≌△CDO，∴AC=AE+CD.

11.在AC是截取CP=CD，连ID，在AC上截取AE=AQ，连IE，过P作PN⊥CQ于N，过D作DM⊥IE于M，易证：

△CPI≌△CDI，△AQI≌△AEI，由题意可证：

∠AIC=90+

∠B=135°

，∴∠CIP=∠CID=∠AIQ=∠AIE=∠DIE=45°

，再证△PIN≌△DMI，∴PN=DM，

∴

，∴

12.

（1）先证明△ADC≌△CEB，从而AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE.

（2）同

（1）（3）DE=CD－EC=BE－AD

13．

（1）①=；

=②

，先证明∠B=∠ACF，再证明△BCE≌△CAF.

（2）EF=BE+AF.