平行线分线段成比例教学设计.docx

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平行线分线段成比例教学设计

冀教版第25章第2节平行线分线段成比例

河北省唐山市迁安（县）市第三初级中学张艳军

一、内容及内容解析

“平行线分线段成比例”是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一，是平面几何的一个重要定理，也是研究相似形的最重要和最基本的理论。

它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。

把平行线分线段成比例应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。

在学习平行线分线段成比例定理要让学生有足够的体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。

所有的新知识，都要通过自身“再创造”，纳入到自己的认知结构中，成为有效而能发展的知识，优化和发展了数学认知结构。

因此在教学过程中，要给学生充足的研讨时间，化未知为已知，掌握相应的数学思想方法，发展学生的认知，这样才能达到对基本事实的理解，进而为后续学习奠定基础。

二、目标及目标解读

1.经历探索“平行线分线段成比例”的过程.

2.掌握“平行线分线段成比例”基本事实：

两条直线被一组平等线所截，截得的对应线段成比例.

3.在得出“平行线分线段成比例”基本事实的过程中，进一步渗透类比、归纳、转化等数学思想方法，发展学生的数学思维，锻炼学生识图能力和推理论证能力.

4.体验数学活动与人们生活的密切联系，增强应用数学的意识.

在本节课的教学中，根据学生的认知基础以及之前学习的知识体系，确定上述教学目标。

“活动一”中，我以学生熟知的三角形、平行四边形和梯形三个图形作为探究的特殊图形，根据题目中所给出的条件，去发现得出相同的结论，从而抽象三个图形的共同特征，得到“等距平行行线”截任意直线，截得的两部分长度相等，纠其实质就是“等距平行行线”截得的两条线段之比等于两平行线之间的距离之比，并且非常特殊，这个比值为1：

1，以“活动一”作为探究问题的载体，使学生经历探究基本事实的过程。

结合“活动一”向学生渗透我们研究数学问题的思想方法：

类比，转化，从特殊到一般。

由“活动一”进入“活动二”是一个由特殊到一般的过程，改变三条平行线之间的距离，继续探究任意直线被这组平行线所截，截得的两条线段之比与平行线间距离之比的关系，利用第一组图形发现结论的方法，设计研究方案，利用测量法或转将非等距平行线转化为等距平行线的方式，发展学生的数学思维，在探究问题的过程中，锻炼学生的几何识图能力和推理论证能力，引导学生自主建构“平行线分线段成比例”基本事实，进而应用基本事实解决问题。

三、教学问题诊断分析

“平行线分线段成比例”基本事实是等距平行线截任意直线的推广，我采用“以旧导新”的方法进行，即通过复习旧知识体系，结合特殊图形得出基本图形，类比推广导出新知，降低问题难度。

根据教材内容来看，本节的难点是对对应线段，以及对应线段成比例的理解，由于图形和比例式变式较多，学生在找对应线段时常常出现错误；在研究平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程的方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，运用代数方法研究几何问题。

因此，在得出“平行线分线段成比例”基本事实之后，要帮助学生通过不断变化的几种最具典型性和代表性的变式图形，深化对基本事实的认识。

后面通过练习的设计，实现了对知识的典型应用，让学生较深刻地理解了所学的内容，

四、教学支持条件分析

本节课改变了以“讲授”为主，以“灌输”结果为特征的数学教学模式，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。

就学生的学情来看，七年级已经系统学习过平行线的相关内容，在九年级本节课前面已经学习了比例线段，在本节课新授课之前，曾经经历过以“观察——猜想——操作——证明”等步骤探究问题的方式来学习新知，因此具备一定的学习经验。

教学过程中，给予学生探究问题的时间，并且组内进行充分讨论交流，达到对于问题的辨析性认识，学生利用测量法得出猜想结论需要进行理论提升和验证，因此，在教学过程中补充演绎证明，从而认可结论的正确性。

此处，结合学生的猜测以及测量之后，充分利用媒体优势，使用几何画板再次演示发现结论的正确性，从而为学生进一步理解“平行线分线段成比例”基本事实提供了有利的依据。

25.2平行线分线段成比例

单位:

迁安市第三初级中学编者：

张艳军审核领导：

张杰新日期：

2019年10月

【自学培训】

第一步：

要求先读题，自己分析，用双色笔勾画出重点、难点，自己解答，对问题要有自己的认识，并记录自己的疑惑点，独学要认真；

第二步：

与对子交流、讨论、互查，通过对学、群学，让各小组进行充分交流，生成最佳问题解决方案；

第三步：

适时聚焦、展示，并通过教师点拨形成科学、规范的问题解决办法或格式，从而形成数学方法.

课题：

平行线分线段成比例

【课前培训】

1.先自己对新学内容进行简单梳理，并对自己的疑点进行标注。

2.在小组长的带领下，讨论要有针对性，尤其是解答出现问题的思路及方法。

3.展示：

注意数学语言的严密性，要对展示的内容进行概括性的展示，只展示要点。

补充学生要用简洁的语言对知识进行补充和提出异议，对探究点进行分析。

4.小组长注意及时对本组成员进行培训，注意本组学生的课堂参与。

【教学过程】

导入语：

七年级我们学习了“平行线”，上节课我们研究了“比例线段”，那么，当“平行线”遇到“比例线段”时，又会产生什么奇妙的结论呢？

让我们共同去探索和发现。

下面我们首先进入“活动一”

教学目标

1.经历探索平行线分线段成比例的过程.

2.掌握基本事实：

两条直线被一组平等线所截，截得的对应线段成比例.

3.在得出“平行线分线段成比例”基本事实的过程中，进一步渗透类比、归纳、转化等数学思想方法，发展学生的数学思维，锻炼学生识图能力和推理论证能力.

4.体验数学活动与人们生活的密切联系，增强应用数学的意识.

重难点

“平行线分线段成比例”基本事实的理解及应用.

“平行线分线段成比例”基本事实中对应线段的理解.

重难点突破

1.利用“活动一”作为铺垫，引导学生认识等距平行线截直线获得的结论，引导学生自主建构“平行线分线段成比例”的基本事实.

2.通过归纳“两直线被一组平行线所截”不同形式的图形之间的比较，加深对“平行线分线段成比例”基本事实的理解.

教学反思

“平行线分线段成比例定理”是平面几何的一个重要定理，它是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。

它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比。

把平行线分线段成比例定理应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。

然而，关于平行线分线段成比例定理，学生没有足够体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。

所有的新知识，都要通过自身“再创造”，纳入到自己的认知结构中，成为有效而能发展的知识，优化和发展了数学认知结构。

因此在教学过程中，要让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”等一系列的数学活动，不断体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。

要给学生充足的研讨时间，化未知为已知，从而不断完善学生的认知体系。

学习过程

教学过程

【活动一】

观察下面一组图形，回答下面的问题

结论：

结论：

结论：

1.结合前两组图形，你能发现什么相同的结论？

.你是如何发现上述结论的？

2.观察三组图形，它们的共同特征是什么？

你能用一个简单的图形来描述这个共同特征吗？

3.结合问题2中的图形，用几何语言描述：

从学生熟悉的三角形和平行四边形入手，观察图形，回答问题.

1.分析题目中已知条件，学生根据已有知识体系，获得尽可能多的结论.

【设计意图】从学生的认知体系入手，发散思维，为下面的继续学习奠定基础.

注意：

此处要给学生较为充足的时间；指导学生以小组为单位，分类汇总得出的结论，汇报结果，发现问题.

2.通过对比结论，能得到两个图形的相同结论有哪些？

【设计意图】异中求同，变中求定，引导学生发现问题的本质特征.

【课堂预设】学生中出现的相同结论可能集中在“三线八角”基本图形，以及一条边被平分上.教师引导：

“三线八角”在七年级时已经做过重点研究，不作为本节课的重点内容.引发学生得出边被平分.

追问：

你是如何发现这个结论的？

学生可能通过猜测或测量或证明等方式，预计以测量居多.

【教师点拨】测量法是我们常用的一种研究数学问题的方法，以后还要广泛运用.可通过“测量法”或“演绎证明”的方式来说明猜想的正确性.

3.继续出示第三组图形，你能发现与前两组图形相同的结论吗?

学生有了之前的学习经验，预计能快速得到答案.

4.继续观察三个图形，你能发现它们具备什么样的共同特征，才会产生相同的结论吗？

请同学们尝试用一个简单的图形来描述这个共同特征.

【设计意图】通过对于特殊图形的观察理解，提升学生的识图能力，认识图形的内在不变性，抽象简单图形.

预计会出现多种情况，教师注意引导分析：

（1）三个图形中，哪些条件是固定不变的？

（不变的量：

本质特征）

（2）哪些条件是可以变化的.（变化的量：

灵活应用）

5.揭示课题：

平行线分线段成比例

回顾“活动一”的整个研究过程，从特殊图形出发，由共同特征抽象基本图形，得到一个一般性结论，这体现了我们在研究数学时的基本思想：

类比、从特殊到一般.

【活动二】

如图2，两条直线AC、DF被三条互相平行的直线

、

、

所截，截得的四条线段分别为AB，BC，DE，EF，平行线

、

之间的距离为

，平行线

、

之间的距离为

.平行线

、

之间的距离为

.

【猜想】

=，

=.由此得出结论：

2.请验证你的猜想.（提示：

可以设

=1，

=2或其它距离均可）

3.【探究结论】两条直线被一组平行线所截，.

让学生体会从特殊图形到一般结论的抽象的过程.等距平行线截任意直线截得的两条线段相等，即被截得的两条线段之比等于两平行线间的距离之比，并且比值为1：

1.此处利用“几何画板”演示这个一般性的发现.规范几何语言.

【大家思考】平行线间的距离可以改变吗？

当平行线间的距离发生改变时，被截得两条线段与两平行线间的距离还成比例吗？

【设计意图】由等距平行线到一般平行线，落实数学从特殊到一般、类比的思想.

学生应该很容易猜想：

成比例.带着这样的猜想，让我们进行入“活动二”

1.学生大胆猜想结论；

2.问题2进行开放性设置，没有给出一致性的验证方法，但基于学情，给予提示.

【设计意图】问题开放化，引发学生深度思考，便于发现问题.

3.学生在完成验证猜想的过程中，教师要特别关注学情，去发现学生中出现的好的想法或误区.预计学情：

（1）测量法；

（2）个别同学能够将不等距的平行线，转化为“活动一”中的等距平行线，从而化“未知”为“已知”；

4.通过上述探究，得出“平行线分线段成比例”基本图形，并且规范几何语言.追问：

（1）大家如何理解“对应线段”，结合图形进行说明；

（2）如何理解“对应线段成比例”

（3）除了基本比例式，你还能再写出几组比例式吗？

【设计意图】突出重点，突破难点.

提出的问题，可结合上节课比例的基本性质，得出大致类型:

（1）“上下型”

（2）“上全型”（3）“下全型”

还可视学生情况拓展到“上上”“下下”“全全”之比相等.

【活动三】

如图，

∥

∥

，AB=3，BC=6,DE=2.求EF的长.

注意：

在利用“平行线分线段成比例”定理的过程中，最重要的是：

，从而利用比例的基本性质求出线段的长度.

“活动三”应用基本事实.

1.分析图形和条件，选取适合的比例式.

2.找两名同学到黑板同步板演，便于发现问题；

3.大屏幕展示正确结果，进行比对.

4.强调基本事实应用过程中应该注意的问题.

【设计意图】此处练习，“抛砖引玉”，重在让学生对本节课产生一个完整性的认识.然后分析从“基本图形”到“变式图形”中常见图形.

【目标检测】

题组一

1.如图1，两条直线

，

被三条平行线

、

、

所截，交点分别是A，D，F和B，C，E.下列等式中正确的是：

（填序号）

1

②

③

④

2.如图2，直线

∥

∥

，若AC=3，CE=4，则

=，

=.

3.如图2，直线

∥

∥

，若AC：

CE=2：

3，若DF=9，则BD=.

4.已知，如图3，AD∥BE∥CF,

求证：

题组二

1.如图，直线BF∥DE∥AG，且BD=3,AB=7，EF=2，求EG的长.

2.如图，直线

∥

∥

，两条直线a和b分别交这组平行线于点A、B、C及D、E、F.，且AB=3，DE=4，EF=2，则下列说法中正确的是…………………………【】

A.BC:

DE=1:

2B.BC:

DE=2:

3C.BC×DE=8D.BC×DE=6

3.已知，如图4，AD∥BE∥CF,若

，AC=12，求AE的长.

4.如图5，直线

∥

∥

，AC=a，BC=b，DE=c，求DF的长.

【总结与反思】

总结本节课的重点内容，也可以是自己总结的方法、易错点、感受。

【布置作业】

1.梳理本节课知识框架，标注疑点，进一步掌握“平行线分线段成比例”基本事实.

2.课本65页B组1、2题.

目标检测涉及两组练习

【设计意图】

题组一中第1、2、3小题以填空题的形式对“基本事实”直接应用，图形变式不多，侧重夯实基础，加强基本应用，帮助学生实现理解并掌握“基本事实”；

第4小题，以平行线截两条直线作为问题背景，衍生出一个基本的比例式变形证明，让学生灵活运用“基本事实”，体会应用形式的多样化.

限时完成练习，同步板演，基础问题，学生比对，特殊问题，强化分析.

题组二中第1小题，改变平行线的常态存在形式，难度不大，重在拓宽学生的视野，增强学生的几何识图能力；

第2小题，变化基本图形，结合基本比例式，改变结论出现的形式，体会等积式与比例式之间的转换，既是本节课的直接应用同时又是上节课比例线段的基本性质的延伸，灵少运用“基本事实”，发展学生的数学思维.

第3小题，第4小题改变条件的给出方式，以倍数关系、字母的形式来呈现线段之间的数量，近而应用“基本事实”解决问题，实现对事实的理解及灵活运用.