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物理竞赛
第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答
一、答案
1.14103.1×
2.31122kgms−⋅⋅51.0610−×（答51.0510−×也给）
3.34TT
二、参考解答：
1.椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）与的算术平均值，即有nrfr
（）（）（）（）nfnfnf111222arrHRHRHH=+=+++=++⎡⎤⎣⎦
（1）
代入数据得
km
（2）43.194610a=×
椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有
nfbrr=（3）
代入数据得
（4）41.94210kmb=×
椭圆的偏心率
abae22−=（5）
代入数据即得
0.7941e=（6）
2.当卫星在16小时轨道上运行时，以和分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有nvfv
22nfnf1122GMmGMmmmrr−=−vv（7）
式中M是地球质量，G是万有引力常量.因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有
nnffmrmr=vv（8）
注意到
gRGM=2（9）1
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由（7）、（8）、（9）式可得
fnnfn2rgRrrr=+v（10）
nnfnfff2rrgRrrrr==+vv（11）
当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有
nnrRH=+ffrRH=+
由（11）式并代入有关数据得
f1.198=vkm/s（12）
依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度km，但新轨道近地点高度km.由（11）式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为4ff5.093010HH′==×2n6.0010H′=×
f1.230′=vkm/s（13）
卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为Δt，有
（）ffm′−=Δvv（14）
由（12）、（13）、（14）式并代入有关数据得
Δt=（约2.5分）（15）21.510s×
这比运行周期小得多.
3.当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，θ表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小
sin2Lrmmθσ==v（16）
其中1sin2rσθ=v（17）
是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故σ是恒量.利用远地点处的角动量，得ff12rσ=v（18）
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为
πSa=（19）
所以卫星沿轨道运动的周期
σST=（20）2
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由（18）、（19）、（20）式得
ff2πabTr=v（21）
代入有关数据得
s（约15小时46分）（22）45.67810T=×
注：
本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即2300TaTa⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
若是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有0a202002πGMmmaaT⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
得2220304π4πTaGMgR==
从而得
2πaaTRg=
代入有关数据便可求得（22）式.
4.在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有
2mm2mm2π（）GMmmrr=（23）
这里是卫星绕月轨道半径，mrrH=+mM是月球质量.由（23）式和（9）式，可得
23mm22m4πrMMgRT=（24）
代入有关数据得
m0.0124MM=（25）
三、参考解答：
足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；
3
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11OO′为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线11OO′的夹角θ表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角ϕ表示（如图）以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以α0表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以α表示碰后速度的方向与y轴（负方向）的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角α的大小.
以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，Δt表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有
（1）x0xFtmmΔ=−v
（2）yyFtmmΔ=+vv
式中、、和分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有0xv0yvxvyv
xFFμ=（3）
由
（1）、
（2）、（3）式得
0xxy0μ−=+vvvv（4）
根据恢复系数的定义有
ye=vv（
5）
因0x00ytanα=vv（6）
xytanα=vv（7）
由（4）、（5）、（6）、（7）各式得
⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=ee11tan1tan0μαα（8）
由图可知
αθϕ+=（9）4
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若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有
（10）90ϕ≥o
在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时.由（9）式得90ϕ=o
（）tan90tanθα−=o（11）
因足球是沿水平方向射到横梁上的，故θα=0，有
⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=ee11tan1tan1μθθ（12）
这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置θ所满足的方程.解（12）式得
2221111tan2eeeeμμθ⎛⎞⎛⎞+±+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=（13）
代入有关数据得
tan1.6θ=（14）
即
（15）58θ=o
现要求球落在球门线内，故要求
58θ≥o（16）
四、参考解答：
1.当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T时，压力表显示的压强为p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为
RTpVnBB1=
（1）
0MM1RTpVn=
（2）
式中R为普适气体恒量.因
1M1B1nnn=+（3）
解
（1）、
（2）、（3）式得
1BB11nRVTVpVT=−（4）
或
5
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1MBB0pTnRVpVVT=−（5）
（4）式表明，T1与p1成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，作T1对p1的图线，就可求出系数.由于题中己给出室温T0时的压强p0，故至少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与p之间的关系式.
2.若蒸气压温度计测量上限温度时有氢气液化，则当B处的温度时，B、M和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数vTvTT≤
（）0BME20pVVVnRT++=（6）
假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为
vB2BvpVnRT=（7）
在（7）式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为
（）νME2M2E0pVVnnRT++=（8）
根据要求有
2B2M2E2nnnn++≤（9）
解（6）、（7）、（8）、（9）各式得
（）Bvv0v00vEMVTppTpTpVV−−≥+（10）
代入有关数据得
ME18VVV+≥（11）
五、答案与评分标准：
1．59.022122=−=+（3分）2（2分）
6
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2．如图（15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分）
六
如果电流有衰
t热而损失的能量为
RtIE2=Δ表示铅的电阻率，S表示铅丝，l表示铅丝的长度，则有
SlRρ=电流是铅丝中导电电子定向运动形导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有
ISne=v（3
不会超过电流检测仪器的精度ΔI，即电流变化的上限为mA0.1=ΔI.由于导电电子的数密度n是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，速率由v变为v-Δv，对应的电流变化一年内平均
IneSΔ=Δv导电电子平均速率的变小，使导电，铅丝中所有导电电子减少的平均
动能为（）221122kElSnmm⎡⎤Δ=−−Δ⎢⎥⎣⎦vvv
lSnm≈Δvv由于ΔI<代入（5）式得2klmIIEneSΔΔ=
7
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铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即
Ek
EΔ（7）
由
（1）、
（2）、（6）、（7）式解得2ΔmIneItρ=（8）
式中73600s=3.1510st××（9）
36524
在（8
261.410Ωmρ−=×⋅（10）
所以电阻率为0的结论在这一实
mΩ104.126⋅×≤−ρ（11）
七、参考解答：
4ssWTσ=
其中σ为斯特藩-玻尔兹曼常量，Ts为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为Rs，则单位内整个太阳表面向外辐射的能量为
2
sss单位时间内通过以太阳为中心的任意
sPR的透镜接收到的太阳辐射的能量为虑到地球周围大气的吸收，地面附（）2sseπ1PPRα=−（3）薄凸透镜将把这些能量会聚到置盘上，并被薄圆盘全部吸收.
DRDT
盘有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为24T
DD2πPRσ=⋅⋅（4）显然，当
DPP=（5）
即圆盘单位温度达到最高.由
（1）、
（2）、（3）、（4）、式得
（）1224sDs1RRTTα⎡⎤=−⎢⎥⎣（6）8
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sR′依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径
D2
sssseRRfr7sDse2RRfr=
（）124Ds218RTTfα⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦s
（273.15）Tt=+（10）
3oDD273.151.110CtT=−=×
参1．根据爱因斯坦质能关系
（）332npHHeBmmmmcΔ=−−+
代入数
763.0=ΔB
（2）们的库仑能差.依题意，质子的半径核中两个质子间的库仑排斥能为
Nr2CN2er
CEB=Δ若这个库仑能等于上述结合能差，2N2ΔkerB=
N0.944r=fm（5）
3
3N
（2）r
9
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子数为A的原子核的体积近似为
33NN
（2）8VArAr==
A343VRπ=
由（6）式和（）式可得R和1/31/31/3RrA（
其中系数1/306πrr⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（9）
把（5）式代入（9）式得
17.10=rf（10）
Pb208
由（8）式和（10）式可以3fm
Pb6.9（11）10
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中__【来源】中学数学网
细说中考圆中的分类讨论问题——两解情况
由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分
类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能
力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂
题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做．先从几个方面举例说明如下:
一、根据点与圆的位置分类
例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则
该圆的半径为．
分析：
根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系．分为点在圆内和点在圆外两种
情况．
解：
过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点．PA、PB分别表示圆上各点到点P
的最长距离和最短距离．
AOPB
AOBP
图1图2
（1）当点P在圆内时，如图1所示，直径；
（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径；
所以，圆O的直径为2或6．
二、三角形与圆心的位置关系
例２：
已知ΔABC内接于圆O，∠OBC=35°，则∠A的度数为．
分析：
因点A的位置不确定．所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．也
可分析为圆心在ΔABC的内部和外部两种情况．
解：
（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，
∵∠OBC=35°∴∠BOC=110°∴∠BAC=55°
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O
BC
A
O
BC
A
P
图3图4
（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4，
∵∠OBC=35°∴∠BOC=110°∴∠BPC=55°∴∠BAC=125°
所以∠A的度数是55°或125°．
练习：
已知圆内接ΔABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长
AB．（两种情况如图5、图6）
D
C
O
B
A
C
D
O
B
A
图5图6
三、角与圆心的位置关系
例3:
在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____．
分析：
角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况．
解：
如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=1=AE1
2
所以∠BAE＝30°
同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，
所以∠EAC＝45°，∠BAC=30°+45°=75°
当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：
∠BAC'=45°−30°=15°
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所以∠BAC为75°或15°
C'
E
OC
B
A
图7
四、圆中两平行弦与圆心的位置关系
例4.圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB和CD的距离．
分析：
题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能
在圆心的异侧．
解：
（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图8，过点O作OM⊥AB交AB于点M，交CD于
N，连结OB、OD，得RtΔOMB，RtΔOND，然后由勾股定理求得：
OM=4cm，ON=3cm，
故AB和CD的距离为1cm．
N
M
CD
O
AB
N
M
CD
O
AB
图8图9
（2）当AB、CD在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM=4cm，ON=3cm．故AB和
CD的距离为7cm．
所以AB和CD的距离为1cm和7cm．
五、弦所对的圆周角有两种情况
例5：
半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于
___________．
分析：
弦所对的圆周角有两种情况：
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（1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上；
（2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上．
解：
故应填60°或120°．
练习：
一条弦分圆周为3：
5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为．
六、圆与圆的位置关系
例6、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径．
分析：
根据两圆相内切的特点：
圆心距等于大圆半径减去小圆半径．但该题的条件中没有给定
谁是大圆，谁是小圆．这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆．
解：
（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的
半径为3cm．
（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径
为5cm．
所以圆O1的半径是3cm或5cm．
例7、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距．
分析：
此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑．
解：
（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6−4=2cm．
（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6+4=10cm．
所以两圆的圆心距是2cm或10cm．
例8、两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______
分析：
注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况
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