IIR数字滤波器设计Word文件下载.docx
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，T=1ms，按照以上技术要求，用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，并观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线。
四、设计原理
4.1数字低通滤波器的设计原理
1.滤波器的概念：
滤波器是对输入信号起滤波的作用的装置。
当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器（DF）。
DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。
2.数字滤波器的系统函数与差分方程:
系统函数
差分方程
对上式进行Z反变换，即得
滤波器的功能与实现
滤波就是对输入序列x（n）进行一定的运算操作，从而得到输出序列y（n）。
实现滤波从运算上看,只需三种运算：
加法、单位延迟、乘常数。
实现的方法有两种：
（1）利用通用计算机编程，即软件实现;
（2）数字信号处理器（DSP）,即专用硬件实现。
3.数字滤波器结构的表示方法
方框图法、信号流图法
方框图表示法流图表示法
三种基本运算的表示图
数字滤波器是离散时间系统，所处理的信号是离散时间信号。
一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。
滤波器的传递函数为:
4.数字滤波器的分类
可分为:
低通（LP）,高通（HP）,带通（BP）,带阻（BS）
滤波一般分为两类：
模拟滤波器和数字滤波器。
在时域的实现方法与方式上，它们是完全不同的两类系统，其差别主要有两点：
（1）数字滤波器处理的是数字信号，而模拟滤波器处理的是连续信号。
（2）数字滤波器可以用数字硬件结构来实现，即用数字硬件构成专用数字计算机；
也可以用编程序的方法利用通用计算机来实现，亦即软件实现。
而模拟滤波器则是由分立元件组成的电路网络系统来实现的。
数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分。
数字滤波实际上是一种运算过程，其功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台数字式的处理设备。
数字滤波器一般可以用两种方法实现：
一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机；
另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让计算机来执行，这也就是用软件来实现数字滤波器。
对于不同结构的滤波器，其所需要的存储单元及乘法次数是不同的，前者影响复杂性，后者影响运算速度。
此外在有限精度（有限字长）的情况下，不同的运算结构的误差、稳定性是不同的。
下面分别就IIR和FIR的结构进行讨论
1.无限长单位冲激响（IIR）滤波器的基本结构:
IIR滤波器的特点：
1、单位冲激响应h（n）是无限长的。
2、系统函数H（z）在有限Z平面上有极点存在。
3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
N阶IIR滤波器的输入输出关系可以用下式表示的N阶的差分方程来描述：
系统函数为：
IIR数字滤波器的结构分类
1.直接型（Ⅰ型）
一个N阶的IIR滤波器的N阶的差分方程为：
从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y（n）由两部分构成：
第一部分是一个对输入x（n）的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。
第二部分是一个对输出y（n）的N阶延时链的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。
由这两部分相加构成输出，如图5-4。
从图上可以看出，直接Ⅰ型结构需要M+N个延时器和M+N+1个乘法器。
直接Ⅰ型结构图
2.直接Ⅱ型:
直接Ⅱ型结构又称为正准型结构。
由图5-4，直接Ⅰ型结构的系统函数H（z）也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。
输入信号x（n）先通过系统H1（z），得到中间输出变量y1（n），然后再把y1（n）通过系统H2（z）得到输出信号y（n）。
即
令:
假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，显然交换H1（z）和H2（z）的级联次序不会影响系统的传输效果，即
其结构如图所示:
直接Ⅰ型的变形结构
直接Ⅱ型结构
3.级联型
若把N阶IIR滤波器的系统函数H（z）的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式:
式中：
A为常数，ci和di分别表示H（z）的零点和极点。
由于H（z）的分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和共轭复根两种情况。
将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一个实系数的二阶因子，并把每两个的实根因子合成一个二阶因子，则可以把H（z）表示成多个实系数的二阶数字网络Hj（z）的连乘积形式。
且:
若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj（z）的网络结构均采用前面介绍的直接Ⅱ型结构，则一个二阶子系统的结构为：
则可以得到系统函数H（z）的级联型结构，如图所示
4.并联型
把传递函数H（z）展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。
当N=M时，展开式为
和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两合并得到实系数的二阶网络，则有：
由上式可知，滤波器可由E个一阶网络、F个二阶网络和一个常数支路并联构成，其结构如图所示
IIR数字滤波器的结构特点
1.直接型：
直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接Ⅰ型经济；
若用软件实现则可节省存储单元。
但对于高阶系统直接型结构都存在调整零、极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。
2.级联型：
在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点；
每个二阶网络只关系到滤波器的一对零点和一对极点。
调整系数β0j、β1j和β2j只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点并无影响；
同样,调整分母多项式的系数α1j和α2j也只单独调整了第j对极点。
因此，与直接型结构相比，级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。
此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算误差也比直接型小。
3.并联型：
并联型结构使用的加法器，乘法器，延时单元基本与级联结构相同。
它的每个一阶节单独确定一个实数极点，每个二阶节确定一对共轭极点，各条支路互不影响；
它只能独立的调整各极点的位置，不能单独调整零点的位置；
此外，由于各基本节是并联的，故并联结构的误差比级联结构的运算误差小。
并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分式展开比较麻烦。
在运算误差方面，由于各基本网络间的误差互不影响，没有误差积累，因此比直接型和级联型误差稍小一点。
IIR数字滤波器几种结构的比较
①直接I型和直接II型实现起来具有简单直观的特点。
需要（M+N）个加法器和（M+N）个乘法器，直接II型比直接I型节省M个延时单元，在M=N的情况下，需要N个延时单元。
直接性的主要缺点在于差分方程的系数ak，bk对滤波器的性能控制不直接，同时由于其高度反馈性，容易出现不稳定或产生较大误差。
②级联型结构的特点是每个二阶节是相互独立的，可分别通过调整各个“零极点对”来对滤波器性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排，能有效的减少有限字长效应。
实现需要（M+N）个加法器、（M+N）个乘法器和N个延时单元。
该结构应用最广泛。
③并联型结构使用的加法器，乘法器，延时单元基本与级联结构相同。
滤波器（filter），是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的直流电。
对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路，就是滤波器，其功能就是得到一个特定频率或消除一个特定频率。
数字滤波器：
与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。
它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处理。
或者说，把输入信号变成一定的输出信号，从而达到改变信号频谱的目的。
数字滤波器一般可以用两种方法来实现：
一种方法是用数字硬件装配成一台专门的设备，这种设备称为数字信号处理机；
另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让通用计算机来完成，即利用计算机软件来实现。
低通滤波器：
（low-passfilter）低通滤波器是容许低于截至频率的信号通过，但高于截止频率的信号不能通过的电子滤波装置。
对于不同滤波器而言，每个频率的信号的减弱程度不同。
当使用在音频应用时，它有时被称为高频剪切滤波器,或高音消除滤波器。
低通滤波器概念有许多不同的形式，其中包括电子线路（如音频设备中使用的hiss滤波器、平滑数据的数字算法、音障（acousticbarriers）、图像模糊处理等等，这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。
低通滤波器在信号处理中的作用等同于其它领域如金融领域中移动平均数（movingaverage）所起的作用；
低通滤波器有很多种，其中，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。
IIR滤波器与FIR滤波器的分析比较
IIR和FIR数字滤波器的设计方法，选择哪一种滤波器取决于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性。
为了能在实际工作中恰当地选用合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析[]如下：
（1）选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度等作为衡量经济问题的因素。
在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。
例如，用频率抽样法设计一个阻带衰减为20dB的FIR数字滤波器，要33阶才能达到要求，而用双线性变换法只需4～5阶的切比雪夫IIR滤波器就可达到同样的技术指标。
这就是说FIR滤波器的阶数要高5～10倍左右。
（2）在很多情况下,FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。
对于IIR滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。
如果要使IIR滤波器获得线性相位，又满足幅度滤波器的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样将大大增加滤波器的阶数。
就这一点来看，FIR滤波器优于IIR滤波器。
（3）FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论是理论上还是实际的有限精度运算中他都是稳定的，有限精度运算误差也较小。
IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定。
对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。
（4）对于FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算法，这样运算速度可以快得多。
IIR滤波器不能进行这样的运算。
（5）从设计上看，IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。
一旦选定了已知的一种逼近方法（如巴特奥兹，切比雪夫等），就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶次和系统函数的系数（或极点和零点）。
FIR滤波器则一般没有现成的设计公式。
窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。
一般FIR滤波器设计仅有计算机程序可资利用，因而要借助于计算机。
（6）IIR滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通和带阻滤波器。
FIR滤波器则灵活很多，例如频率抽样法可适应各种幅度特性和相位特性的要求。
因此FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性很广。
而且，目前已经有很多FIR滤波器的计算机程序可供使用。
表4-1、两种滤波器特点比较分析
FIR滤波器
IIR滤波器
设计方法
一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成
利用AF的成果，可简单、有效地完成设计
设计结果
可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）
只能得到幅频特性，相频特性未知，如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性
稳定性
极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题
有稳定性问题
阶数
高
低
结构
非递归系统
递归系统
运算误差
一般无反馈，运算误差小
有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环
4.2变换方法的原理
1.用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h（n）模仿模拟滤波器的冲激响应ha（t），即将ha（t）进行等间隔采样，使h（n）正好等于ha（t）的采样值，满足
h（n）=ha（nT）
式中,T是采样周期。
如果令Ha（s）是ha（t）的拉普拉斯变换，H（z）为h（n）的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得
（4-1）
则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。
图1-1脉冲响应不变法的映射关系
由（4-1）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为
（4-2）
这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。
正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即
（4-3）
才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即
|ω|<
π（4-4）
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图4-2所示。
这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。
当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。
这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha（t）进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。
图4-2脉冲响应不变法中的频响混叠现象
脉冲响应不变法优缺点：
从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。
因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。
脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。
所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器（例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器），而且高频衰减越快，混叠效应越小。
至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。
如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。
当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。
2.用双线性变换法设计IIR数字滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。
这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。
为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。
也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；
第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。
这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图4-3所示
图4-3双线性变换的映射关系
为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现
（4-5）
式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。
将式（4-5）写成
将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面
z=es1T
从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：
（4-6）
（4-7）
式（4-6）与式（4-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式（4-5）与式（4-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。
首先,把z=ejω，可得
（4-8）
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
其次，将s=σ+jΩ代入式（4-8），得
因此
由此看出，当σ<
0时，|z|<
1；
当σ>
0时，|z|>
1。
也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。
因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
双线性变换法优缺点
双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。
这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。
S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。
这个关系如式（4-8）所示，重写如下：
上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图4-4所示。
由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；
但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。
图4-4双线性变换法的频率变换关系
但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（4-8）及图4-4所示。
由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。
首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；
其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图4-5所示。
图4-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。
也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。
五、设计步骤
5.1Matlab设计步骤：
目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。
模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，IIR数字滤波器的设计步骤是：
（1）按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；
（2）根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H（s）；
（3）在按一定规则将H（s）转换为H（z）。
若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：
（4）将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤
（2）设计出模拟低通滤波器H（s），再由冲击响应不变法或双线性变换将H（s）转换为所需的H（z）。
s-z映射的方法有：
冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。
下面讨论双线性变换法。
双线性变换法[8]是指首先把s平面压缩变换到某一中介平面s1的一条横带（宽度为2πT,即从-πT到πT）,然后再利用
的关系把s1平面上的这条横带变换到整个z平面。
这样s平面与z平面是一一对应关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象。
s平面到z平面的变换可采用
（5-1）
（5-2）
令
，
有：
（5-3）
从s1平面到z平面的变换,即
（5-4）
代入上式，得到：
（5-5）
一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入代定常数c，
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