微积分三角函数公式.docx

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微积分三角函数公式

锐角三角函数公式

　　sinα=∠α的对边/斜边

　　cosα=∠α的邻边/斜边

　　tanα=∠α的对边/∠α的邻边

　　cotα=∠α的邻边/∠α的对边

　　倍角公式

　　Sin2A=2SinA?

CosA

　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

　　tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

　　（注：

SinA^2是sinA的平方sin2（A））

　　三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

　　cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

　　tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

　　三倍角公式推导

　　sin3a

　　=sin（2a+a）

　　=sin2acosa+cos2asina

　　辅助角公式

　　Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中

　　sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

　　cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

　　tant=B/A

　　Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

　　降幂公式

　　sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

　　cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

　　tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

　　推导公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos^2α

　　1-cos2α=2sin^2α

　　1+sinα=（sinα/2+cosα/2）^2

　　=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina

　　=3sina-4sin³a

　　cos3a

　　=cos（2a+a）

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=（2cos²a-1）cosa-2（1-sin²a）cosa

　　=4cos³a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin³a

　　=4sina（3/4-sin²a）

　　=4sina[（√3/2）²-sin²a]

　　=4sina（sin²60°-sin²a）

　　=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

　　=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

　　=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

　　cos3a=4cos³a-3cosa

　　=4cosa（cos²a-3/4）

　　=4cosa[cos²a-（√3/2）²]

　　=4cosa（cos²a-cos²30°）

　　=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

　　=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

　　=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

　　=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

　　=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

　　=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

　　半角公式

　　tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;

　　cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.

　　sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2

　　cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

　　tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

　　三角和

　　sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）

　　两角和差

　　cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

　　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

　　和差化积

　　sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

　　sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

　　tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

　　积化和差

　　sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2

　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

　　诱导公式

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（—a）=-tanα

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　sin（π+α）=-sinα

　　cos（π+α）=-cosα

　　tanA=sinA/cosA

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

　　万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/［1+tan＾（α/2）］

　　cosα=［1-tan＾（α/2）］/1+tan＾（α/2）］

　　tanα=2tan（α/2）/［1-tan＾（α/2）］