中考尺规作图及衍生题型.docx
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中考尺规作图及衍生题型
尺规作图及衍生题型
1、垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等
2、角平分线上任意一点到角两边的距离相等
3、轴对称
4、旋转
5、圆
6、等腰三角形、直角三角形（等腰两圆一线，直角画圆，点到直线的距离判断点的个数）7、固定角（两定点，一动点形成固定角，常用手段确定圆心、半径画圆）
8、面积等分
9、黄金分割
10、相似及位似
类型一
1、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：
写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
2、如图，在平面直角坐标系中，点A（0,8），点B（6,8）.
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求
保留作图痕迹，不必写出作法）①点p到A，B两点的距离相等；②点P到∠xoy的两边的距离相等.
（2）直接写出点P的坐标.
y
AB
O
x
3、尺规作图：
某学校正在进行校园环境的改造工程设计，
准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树。
如
图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
D
A
BC
．．
．．．．．．
4、如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于
1
2
AB
的长为半径画弧，两弧相交
于点
M,N
，作直线
MN
，交
BC
于点
D
，连接
AD
.若
ADC
的周长为10，
AB7
，则
ABC
的周长为（）
A.7B.14C.17D.20
C
N
D
AB
M
类型二
1、如图所示，AB//CD,∠ACD=
72
0
．
A
B
1用直尺和圆规作∠C的平分线CE,交AB于E,并在CD上取一点F，使AC=AF，再连接AF,交CE于K；（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
2依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形﹒（图中不再增加字母和线段，不要求证明）
C
D
2、
（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图2，在10×10的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），
①依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是▲.②在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；
此时，点P的坐标为▲，最短周长为▲.
y
C
AF
D
OEB
图1
AOBx
图2
．．．．．
3、已知：
如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－
2
3
x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．
（1）求点B的坐标；
（2）若点Q为直线OC上一点，且＝3，求点Q的坐标；
QAC
AOC
（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．
①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；
（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）
②求点P的坐标．
y
B
y
B
y
B
C
C
C
A
OxAD
Ox
ADOx
（图1）
（图2）
（备用图）
类型三
A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？
请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
类型四
1、我们学习过：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？
若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？
若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
（保留必要的作图痕迹）
图①
图②
2、如图，在△BDE中，∠BDE=90º,BD=
42
点D的坐标是（5,0）∠BDO=15º,将△BDE旋转
到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标是____________
类型五
1、如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．
（1）请你用直尺圆规画出来（要求用直尺和圆规作用，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）若AC=BC=4，求半圆的半径.
图1
第23题
2、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。
（2）请在
（1）的基础上，完成下列问题：
1写出点的坐标：
C、D；
2⊙D的半径=（结果保留根号）；
3若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。
3、如图1，
ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个
ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设
⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？
若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说
CC
明不能确定s的最大值的理由．
Y
B
AB
X
A
图2
4、如图，直线l//l，点A在直线l上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线
121
l、l于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为C
12
（Ａ）36°．（Ｂ）54°．（Ｃ）72°．（Ｄ）73°．
5、如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．
B
O
（第11题）
AM
类型六
1、用尺规作图的方法（作垂线可用三角板）找出符合下列要求的点.（保留作图痕迹）
（1）在图1中的直线m上找出所有能与A,B两点构成等腰三角形的点P,并用
P,P
12
等表示;
（2）在图2中的直线m上找出所有能与A,B两点构成直角三角形的点Q,并用
A
A
B
m
（图1）（图2）
Q,Q
12
B
等表示;
m
A
A
B
B
m
m
（备用图）（备用图）
2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：
∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
并举例验证猜想所得结论。
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
C
BA
（第23题图①）
1作图：
2猜想：
3验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.C
B
A
（第23题图②）
1作图：
2猜想：
3验证：
类型七
1、画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为.
（要求：
用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）.
已知：
a
b
19题图
求作：
2、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
1如图②，已知
ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
2在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作
ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
A
A
A
P
D
E
B
C
B
CB
C
①
②③
（第27题）
3、已知A（-2，0），B（6,0），点P为y轴上一点
（1）当∠APB=90°，则点P的坐标是______
（2）当∠APB=45°，则点P的坐标是______
（3）当∠APB=135°，则点P的坐标是______
4、如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且
A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为\
米．
5、如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）
A．
B．C．D．
6、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的
上有一运动的点P．从点P向半径OA
引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在所经过的路径长为_________．
上从点A运动到点B时，内心I
类型八
1、操作与实践
（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线
（2）如图2，已知L1∥L2,点E,F在L1上，点G,H在L2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等
（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线
2、如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（Ⅰ）该正方形的边长为_________。
（结果保留根号）
（Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，
并简要说明剪拼的过程：
_________。
3、阅读理解：
如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，容易证明：
△ABC面积
ABD面积。
根据上述内容解决以下问题：
已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF．
（1）如图
（2），当点G与点D重合时，△BDF的面积为
（2）如图（3），当点G是CD的中点时，△BDF的面积为
探索应用：
小张家有一块正方形的土地如图（4），由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域．现决定在DP右侧补给小张一块土地，补偿后，土地变为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BP上，请你在图中画出M点的位置，并简要叙述作法．
4、我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。
利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：
在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”
．．
（1）试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）
5、提出问题：
如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（
ABBC
，且
BCAC
），在
蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：
这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
AA
BCBC
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？
如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（2）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：
若AB＝BC＝5cm，
AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
类型九
（1）如图1，
ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边
AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：
=
（．这个比值
叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：
直尺没有刻度！
作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
类型十
1、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）点A的坐标为，点C的坐标为．
（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后
ABC．若M为△ABC内的一点，
111
其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M的坐标为．
1
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到
ABC与△ABC
222
EP
A
①
B
M
对应边的比为1∶2．请在网格内画
ABC，并写出点A的坐
2222
标：
．
y
A
BC
2、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，
点A、B、C均落在格点上.
（Ⅰ）△ABC的面积等于；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）.
C
AB
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