超级画板的应用Word格式文档下载.docx

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具体而言：

1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。

6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

2.2代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程

的图像是圆锥曲线。

它包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。

2.3焦点--准线观点

圆锥曲线的第二定义（统一定义）：

给定一点F，一直线l以及一非负实常数e，则到F的距离与l距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。

根据e的范围不同，曲线也各不相同。

具体如下：

1）e=0，轨迹为圆；

2）e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线；

3）0<

e<

1，轨迹为椭圆；

4）e>

1，轨迹为双曲线。

严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。

但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。

定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；

定直线称为圆锥曲线的准线；

固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；

焦点到准线的距离称为焦准距；

焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

2.4圆锥曲线的第一定义

椭圆：

平面内到两定点的距离的和等于常数的动点的轨迹叫做椭圆。

双曲线：

平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹叫做双曲。

抛物线只有一个定义：

平面内到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

另外,F称为"

抛物线的焦点"

l称为"

抛物线的准线"

.

3．性质

圆锥曲线是光滑的，所以有光学性质和切线、法线的概念。

3.1光学性质

信息技术的动态性在辅助数学教学方面扮演着非常重要的角色，其合理的使用不仅能够帮助教师很好地完成教学任务，还能培养学生的探究性学习能力，真正领会数学的本质和规律

。

在中学数学里，我们学习了椭圆、双曲线、抛物线的一些基本性质，但圆锥曲线的光学性质放在阅读材料中，供有兴趣的学生进行自学。

随着计算机辅助教学的逐渐普及，利用《超级画板》动态几何作图软件研究几何问题，十分方便。

我在用《超级画板》研究圆锥曲线的光学性质时，得到一些有用的结论。

1）椭圆的光学性质：

从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的一点反射后，反射光线汇聚到椭圆的另一个焦点上，如图1。

2）双曲线的光学性质：

从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线上的一点反射后，反射光线的反向延长线汇聚到双曲线的另一个焦点上，如图2。

3）抛物线的光学性质：

从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，如图3。

图1

图2

图3

3.2切线与法线

椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分；

双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分；

抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分。

法线是经过切点且垂直于切线的直线，因此可作出过圆锥曲线上一点的切线。

3.3线性性质

设A、B、C、D、E、F是圆锥曲线上的任意6点，直线AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点分别为P、Q、R，则P、Q、R在同一直线上。

据此性质可作出过5点的圆锥曲线轨迹。

4．应用超级画板演示圆锥曲线

4.1过5点的圆锥曲线作法

如下左图所示，在超级画板平面上作已知点A、B、C、D、E，则直线AB与DE的交点P可以首先作出，再过点P作一条任意直线，方法是以点P为圆心，适当长（如1cm）为半径作圆，在圆上任取一点M，作直线PM即为过点P的任意直线。

分别作直线BC、CD交直线PM于点Q、R，再作直线EQ、RA相交于点F，选中点M、F作轨迹，因为点A、B、C、D、E、F符合圆锥曲线上点的线性性质，所以所得轨迹即是过5点A、B、C、D、E的圆锥曲线。

隐藏一些不必要的对象后，选中如上右图所示的对象，并把它制作成自定义工具，名称叫做：

过5点的圆锥曲线。

再用此工具在已知的圆、抛物线、椭圆、双曲线上检验是否正确，检验结果表明都是正确无误的。

只是当5个已知点在两条相交线上时，只退化出一条直线，完美的应当是两条直线，所以还是有点美中不足。

4.2根据圆锥曲线的统一定义作圆锥曲线

作定直线l（准线）和定点F（焦点），过点F作直线l的垂线，垂足为H，在直线FH上任取一点A，依次选中F、H、A度量比

，把它记做离心率e，在直线FH上任取一点B，以H为中心对点B旋转

得点B'

，过点A作直线FH的垂线交直线FB'

于点C，平移向量AC到FC'

，以点F为圆心过点C'

作⊙F，过点B作直线FA的垂线交⊙F的点D和D'

，则

选中点B、D作轨迹，再选中点B、D'

作另一则轨迹，得如下左图所示。

隐藏一些不必要的对象后，得如上右图所示。

椭圆抛物线双曲线

演示：

当点A从点F出发，沿射线FH运动时，离心率e从0→1→∞，对应的圆锥曲线由椭圆→抛物线→双曲线变化，还是演示不出各种退化情况，仍是美中不足啊！

4.3根据圆锥曲线的第一定义探索圆锥曲线

1）提出问题

已知一动点到两定点F1、F2的距离的和等于定长线段MN（MN>

F1F2）,求作这个动点的轨迹（椭圆）。

其中一个比较常规的作法如下：

（1）以F1为圆心，MN为半径作圆，在圆上任取一点A，作线段AF2的中垂线，交直线AF1于点P

（2）选中点P、A构造轨迹，即得椭圆（如图1）

图1图2图3

如果移动点F2的位置，我们发现当点F2在圆外时，轨迹是双曲线（如图2）；

当点F2与圆心F1重合时，轨迹是圆（如图3）；

但就是得不到抛物线，所以把它作为演示圆锥曲线相关性的实例，就显得不够完整。

本文就是针对这个问题，通过探索研究，制作出一个能够完整演示圆锥曲线各种形状并能反映圆锥曲线相关性的实例，同时也渗透介绍一些制作技巧，供同行研讨。

2）探索验证

对上述作法稍作变动：

把直线F1A绕点F1旋转一个定角，试一下：

（1）以F1为圆心，过点A画圆；

（2）在平面内任取一点B，作直线F1B，交圆于点C，再在直线F1B和圆上各任取一点D、E，作线段DE的中垂线

（3）在圆上任取一点F，标记角度∠CF1F，以F1为中心旋转点E得点G，作直线F1G，交中垂线于点P

（4）选中点P、E构造轨迹。

我们发现点P的轨迹似乎是圆锥曲线，移动点D的位置，或是变动点F、A的位置，曲线的形状都会不断的改变（如图4）

图4

那么它真的是圆锥曲线吗，它能反映圆锥曲线的各种形状吗，它的形状与点D、F、A的位置又有怎样的关系？

下面就来探索这个问题

设F1A=r，F1D=m，∠CF1F=α。

又假设在直线F1B上取一点H，过H作直线F1B的垂线，交过点P且平行于直线F1B的直线于点L，则当m<

r，0≤α<

90º

，且点E在直线F1B上时有：

或

（如图6）

图6

如果轨迹是圆锥曲线且直线HL是准线，

则有

从而推得

，

下面介绍点H的几何作法：

（1）标记向量

平移到点C得点K，标记缩放比

，以F1为中心缩放点K得点S

（2）作点S、F1的中点，此中点即为求作的点H

过H作直线F1B的垂线，交过点P且平行于直线F1B的直线于点L（如图7），度量点P与F1，点P与L的距离，计算

的值

图7

演示动画：

点E在圆F1上运动，发现

的值始终不变。

所以，点P的轨迹是以点F1为焦点，直线HL为准线的圆锥曲线，它的离心率

（0≤α<

360º

，α≠90º

、270º

，m≠r）

3）结论归纳

（1）作点F关于直线F1B的反射点F'

，再作点C、F、F'

关于点F1的中心对称点C'

、F'

'

，设线段FF'

与直线F1B相交于点Q1，线段F'

F'

与直线F1B相交于点Q2（如图8），过D作垂直于直线F1B的直线交圆于点D1、D2，再作点D、D1、D2关于点F1的中心对称点D'

、D4、D3（如图9）；

图8图9

①当点D与点F1重合时，轨迹是半径为

的圆，改变点F的位置时，半径在[

，+∞]范围内变化；

②点D在线段Q1Q2（不含点Q1、F1、Q2）时，轨迹是离心率为

的椭圆，当点F在弧D1D2或弧D3D4（不含端点D1、D2、D3、D4和点C、C'

）运动时，离心率e在[

，1]范围内变化；

③当点D与点Q1、Q2重合时，轨迹是抛物线；

④当点D在线段F1Q1、F1Q2（不含端点Q1、Q2与点C、C'

）延长线上时，轨迹是离心率为

的双曲线，当点E在弧D1D3或弧D2D4（不含端点D1、D2、D3、D4）上运动时，离心率e在（1，+∞）范围内变化；

⑤当点D与点C、C'

重合时，轨迹是一个点（F1）；

（2）当点E在圆F1上运动时，只改变轨迹的形状，不改变准线的位置。

（3）对于F1C=r，F1D=m，∠CF1F=α，它们满足关系：

焦点与准线的距离

，离心率

4）制作演示

（1）特征点的作法

圆锥曲线与轴F1B的交点作法：

分别作线段DF'

、DF'

的中垂线交直线F1B于点M、N。

因为当点E与点F'

或点F'

重合时，直线F1E与直线F1B重合，所以点M、N是直线F1B与轨迹的交点（如图5）

图5

圆锥曲线的焦点作法：

平移向量F1→M到点N得点F2，F1、F2即为焦点

（2）准线的作法

按前面介绍的点H的几何作法，先作出点H，再过点H作直线F1B的垂线，此垂线即为准线。

（3）切线的作法

根据圆锥曲线的光学原理：

当轨迹是椭圆时，过点P的切线垂直于∠F1PF1的平分线；

当轨迹是双曲线时，过点P的切线平行于∠F1PF1的平分线；

当轨迹是抛物线时，过点P的切线平行于∠CF1P的平分线；

先制作一个控制变量：

度量比

，因为离心率

，所以计算

并标签为e；

显然当轨迹是椭圆或圆时，0≤

；

当轨迹是双曲线时，

当轨迹是抛物线时，

再计算：

，前者仅当轨迹是抛物线时，值为2，此外，都无意义；

后者，当轨迹是椭圆或圆时，值为90º

，当轨迹是双曲线时，值为0。

作∠DF1P的平分线交圆于点T，作动画D→Q1的动画，使轨迹成为抛物线，以F1为中心缩放点T，缩放比为

得点T'

，标记向量

，平移到点P得点P'

，作直线GG'

，即为抛物线的切线（如图10）；

图10图11图12

移动点B使轨迹是椭圆，作∠F1PF2的平分线，过P作该平分线的平行线，以P为中心旋转该平行线，旋转角度为

，即得轨迹是圆、椭圆、双曲线时的切线（如图11）

制作一些必要的演示按钮，然后隐藏一些不必要的对象（如图12）

追踪切线，并作点E在圆F1上的动画：

对于点D、F、A的不同位置，可得不同的轨迹。

轨迹的包络按：

圆

双曲线的演变（如图13）。

图13

这一实例从曲线、准线、离心率、切线、包络等五个方面揭示了圆锥曲线的内在关系，十分简明完整。

[1]彭翕成。

动态性是信息技术辅助教学的灵魂[J].数学通讯，2007，8（19）:

11-12