圆的易错题汇编及答案解析.docx
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圆的易错题汇编及答案解析
圆的易错题汇编及答案解析
一、选择题
1.如图，点E为ABC的内心，过点E作MNPBC交AB于点M，交AC于点N，若
AB7,AC5,BC6，则MN的长为（
【答案】B
【解析】
【分析】
连接EBEC,如图，利用三角形内心的性质得到/所以/仁/3，则BM=ME，同理可得
MN7BM7
——，贝ybm=7--mnd
676
方程，然后解方程即可.
【详解】
连接EBEC,如图，
•••点E为AABC的内心，
•••EB平分/ABC,EC平分/ACB,
•••/2=/3,
•••/仁/3,
•••BM=ME,
同理可得NC=NE
•/MN//BC,
•••△AMNsAABC,
①+②得MN=12-2MN,
•••MN=4.
故选：
B.
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.
2.用一个直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB与eO相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距
离是18cm.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（
AB12，利用面积法求得BH，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公
13
式计算圆锥形纸帽的表面.
【详解】
解：
连接OB，作BHOA于H，如图,Q圆锥的母线AB与eO相切于点B,
OBAB,
在RtAOB中，OA18513,OB5,
ABJ1325212，
11Q-OAgBH^OBgAB,
本题考查了切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆锥的计算.
直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为
10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的
B,下列说法错误的是（）
A.圆形铁片的半径是4cm
C.弧AB的长度为4ncm
【答案】C
B.四边形AOBC为正方形
D.扇形OAB的面积是4ncrfi
【解析】
【分析】
【详解】
解：
由题意得：
BC,AC分别是O
•••0A丄CA,0B丄BC,
又•••/C=90,OA=OB,
四边形AOBC是正方形，
.•.OA=AC=4,故A,B正确；
O的切线,
B,A为切点,
•AB的长度为：
90=2n,故C错误；
180
_9042
S扇形OAB==4n,故D正确.
360
故选C.
【点睛】
本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算.
4.如图，在矩形ABCD中，AB6,BC4，以A为圆心，AD长为半径画弧交点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是
（）
AB于
J
E
A.13
【答案】C
【解析】
B.1324
C.1324
D.524
【分析】
先分别求出扇形
FCD和扇形EAD的面积以及矩形ABCD的面积，再根据阴影面积=扇形
FCD的面积-（矩形ABCD的面积-扇形EAD的面积）
【详解】
即可得解.
22
90629042
解：
•••S扇形FCD9,S扇形EAD
360360
4,S矩形ABCD6424,
二S阴影=S扇形FCD—（S矩形ABCD-S扇形EAD）
=9n-（24-4n）
=9n—24+4n
=13n—24
故选：
C.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积=扇形
FCD的面积-（矩形ABCD的面积-扇形
EAD的面积）是解答本题的关键.
2
sinBn2，则线段AC的长为（）
5
D.5
【解析】
【分析】
CD是OO的直径，可得/CAD=90，又由
首先连接CO并延长交O0于点D,连接AD,由
O0的半径是5,sinB=-，即可求得答案.
5
【详解】
解：
连接CO并延长交OO于点D,连接AD,
由CD是OO的直径，可得/CAD=90,
•••/B和/D所对的弧都为弧AC,
6.如图，ACBC,ACBC8，以BC为直径作半圆，圆心为点0;以点C为圆心，BC为半径作AB，过点0作AC的平行线交两弧于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）
A
•••AC丄BC,AC=BC=8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB,
.•./ACB=90°OB=OC=OD=4,BC=CE=8.
又•••OE//AC,•••/ACB=/COE=90°
•••在RtAOEC中，OC=4,CE=8,
•••/CEO=30°/ECB=60°OE=4羽,
二S阴影=S扇形BCE-S扇形BOD-SaoCE
=咪442-244V3
=竺-873
3
故选：
A.
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.
7.如图，AB是eO的直径，C是eO上一点（A、B除外），AOD132，贝UC的度数是（）
【解析】
【详解】
BOD48，
C24，
故选：
D.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键.
&在平面直角坐标系内，以原点0为圆心，1为半径作圆，点P在直线yJ3x2j3
上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A,贝yPA的最小值为（）
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意，画出图形，令直线y=73x+2J3与x轴交于点C,与y轴交于点D,作0H
丄CD于H,作0H丄CD于H；
然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值；
再在RtAPOC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出0H的值；
最后连接0A,利用切线的性质得0A丄PA在RtAP0H中，利用勾股定理，得到
PAJop2［，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.
【详解】
如图，令直线y=J3x+2j3与x轴交于点C,与y轴交于点D,作0H丄CD于H,当x=0时，y=273，贝yD（0,2^3）,
当y=o时，J3x+2爲=0，解得x=-2，则C（-2，0），
•-CDJ22（2轴2
11
•••2oh?
cd=ioc?
od，
...OH=2M&
4
连接OA,如图,
•••PA为OO的切线,•••OA丄PA
•-PAJOP2OA2JOP21，
当OP的值最小时，PA的值最小,而OP的最小值为OH的长,
•-PA的最小值为yj^/y）21^72.
故选D.
【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径•若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.
9.如图，已知AB是OO是直径，弦CD丄AB,AC=2j2,BD=1,贝sin/ABD的值是（）
D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理，
利用勾股定理求得AB的长，得到sin/ABC的大小，最终得到sin/ABD
【详解】
解：
•••弦CD丄AB,AB过O,
•••AB平分CD
•••BC=BD,
•••/ABO/ABD,
•/BD=1,
•••BC=1,
•••AB为OO的直径,
•••/ACB=90°,
由勾股定理得：
ab=JAC
•••sin/ABD=sin/ABOJAC
AB
故选：
C.
【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°勾股定理和三角函数，解题关键是找出图
形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解
10•如图，ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知AB15,AC9,
BC12，阴影部分是ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.
D.5
C.—
8
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB=5,BC=4,AC=3,得至UAB2=bC?
+AC2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径=4+3-5=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得
2
到结论.
【详解】
解：
•••AB=5,BC=4,AC=3,
•••AB2=BC2+AC2,
:
.△ABC为直角三角形，•••△ABC的内切圆半径=4+3-5=1,
2
•••S^abc=1AC?
BC=1X4X3=6
22
S圆=n,
•••小鸟落在花圃上的概率=-
6
故选B.
【点睛】
本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.
11.如图，OO的直径C»10cm,AB是OO的弦，AB丄CD,垂足为M,OM:
OC=3:
【解析】
【分析】
OM=3,OC=5，连接OA,根据勾股定理和垂径定理可求得
【详解】解：
如图所示，连接OA.
OO的直径CD=10cm,则OO的半径为5cm,
即OA=OC=5,
又•••OM:
OC=3:
5,
所以OM=3,
•••AB丄CD,垂足为M,OC过圆心
AM=BM,
在RtMOM中，AM=J5令=4，
•••AB=2AM=2X4=8.
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.
12•如图，点A,B,S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的42倍，则ASB的度数是
本题考查了圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
13.如图，VABC是eO的内接三角形，且ABAC,ABC56,eO的直径CD交AB于点E，贝yAED的度数为（）
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线得到/BOC的度数.
14.如图，已知圆O的半径为10,AB丄CD,垂足为P,且AB=CD=16,贝UOP的长为
（）
•AB=CD=16,
•BM=DN=8,
•OM=ON=J1OU,
•AB丄CD,
•/DPB=90°,
OM丄AB于M,ON丄CD于N,
•/OMP=/ONP=90°
•••四边形MONP是矩形，
•/OM=ON,
•••四边形MONP是正方形，
•••OP=剧+以二6逅.故选B.
【点睛】
本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
15.如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处
有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小
猫所经过的最短路程长为（
【答案】C
【解析】
【分析】
•••在圆锥侧面展开图中BP43—臣3j5m.
故小猫经过的最短距离是3j5m.
【答案】A
【解析】
试题分析：
正六边形的中心角为360。
+6=60；那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成
4，则正六边形的边长是4.故选A.
一个等边三角形，故正六边形的半径等于考点：
正多边形和圆.
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB,求出△ABC的内切圆的半径，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.
【详解】
OE、OF,
解：
设OO与△ABC的三边ACBCAB的切点分别为D、E、F,连接OD、
在RtAABC中，AB=BC2=10,
6810
•••△ABC的内切圆的半径=一-=2,
2
•••OO是△ABC的内切圆,
/./OAB=1/CAB,/OBA=1/CBA,
22
故选B.
题的关键.
18.如图，AB是OO的直径，弦CD丄AB于点M，若CD-8cm,MB=2cm，则直径AB的
【分析】
由CD丄AB,可得
【解析】
DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长，连接OD,在直角三角形
DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案.
【详解】
解：
连接OD,设OO半径OD为R,
A
Q
£
•••AB是O0的直径，弦CD丄AB于点M,
“1
DM=—CD=4cm,0M=R-2,
2
在RT^OMD中，
OD2=DM2+OM2即R2=4甘（R-2）2解得：
R=5,
•••直径AB的长为:
2X5=10cm
故选B.
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.
19.如图所示，AB是OO的直径，点C为OO外一点，CA,CD是O0的切线，A,D为切点，
连接BD,AD.若/ACD=30，则/DBA的大小是（）
15
B.30
A.
【答案】D
【解析】
C.60
D.75
【分析】
【详解】
连接OD,tCA
CD是OO的切线,
•OA丄AC,OD丄CD,
••/OAC=/ODC=90,
••/ACD=30,
••/AOD=360-/C-/OAC-/ODC=15°,
••OB=OD,
•••/DBA=/ODB=1/AOD=75.
2
故选D.
考点：
切线的性质；圆周角定理.
20.如图，在Rt△ABC中，ACB90，A30,BC2.将VABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）
【答案】C
【解析】
试题分析：
•••△ABC是直角三角形，/ACB=90,/A=30,BC=2,
•/B=60°,AC=Bacot/A=2乂石=273,AB=2BC=4,
•••△EDC是MBC旋转而成，
1
•-BC=CD=BD—AB=2,
2
•//B=60°,
•••△BCD是等边三角形，
•••/BCD=60,
•••/DCF=30,/DFC=90,即DE丄AC,
•••DE//BC,
1
•••BD=—AB=2,
2
•••DF是AABC的中位线,
21111LL
•••DF=—BC=—X2=1CF=—AC=—^23=J3,2222^7
11J3
S阴影=一DFXCF=xJsnd.
222
故选C.
考点：
1■旋转的性质2.含30度角的直角三角形.
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