概率论与数理统计期末考试试题与解答.docx
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概率论与数理统计期末考试试题与解答
.
《概率论与数理统计》期末试题
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P（A）P（B）0.5，则A,B至少有一个不发
生的概率为__________.
答案：
0.9
解：
P（ABAB）0.3
即
0.3P（AB）P（AB）P（A）P（AB）P（B）P（AB）0.52P（AB）
所以
P（AB）0.1
P（AB）P（AB）1P（AB）0.9.
2．设随机变量X服从泊松分布，且P（X1）4P（X2），则P（X3）______.
答案：
1
6
e
1
解答：
2
P（X1）P（X0）P（X1）ee,P（X2）e
22
由P（X1）4P（X2）知ee2e
2
即210
解得1，故
1
P（X3）e
6
1
3．设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量
2
YX在区间（0,4）内的概率
密度为fY（y）_________.
答案：
1
f（y）F（y）f（y）
YYX
2y
4
1
0y4,
y
0,.
其它
解答：
设Y的分布函数为FY（y）,X的分布函数为FX（x），密度为fX（x）则
2
F（y）P（Yy）P（Xy）P（yXy）F（y）F（y）
YXX
因为X~U（0,2），所以F（y）0，即FY（y）FX（y）
X
教育资料
.
故
1
f（y）F（y）f（y）
YYX
2y
4
1
0y4,
y
0,其它.
另解在（0,2）上函数
2
yx严格单调，反函数为h（y）y
所以
f（y）f（y）
YX
2
1
y
4
1
0y4,
y
0,其它.
4．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，
2
P（X1）e，则
_________，P{min（X,Y）1}=_________.
答案：
2，
-4
P{min（X,Y）1}1e
解答：
2
P（X1）1P（X1）ee，故2
P{min（X,Y）1}1P{min（X,Y）1}
1P（X1）P（Y1）
4
1e.
5．设总体X的概率密度为
（1）x,0x1,
f（x）1.
0,
其它
X1,X2,,X是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
n
答案：
$
1
n
i
n
1
ln
1
x
i
1
解答：
似然函数为
n
n
L（x,L,x;）
（1）x
（1）（x,L,x）
1ni1n
i1
n
lnLnln
（1）lnx
ii1
n
dlnLn
d1
i1
lnx@0
i
解似然方程得的极大似然估计为
教育资料
.
$
1
n
i
n
1
ln
1
x
i
1.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若P（C）1，则AC与BC也独立.
（B）若P（C）1，则AUC与B也独立.
（C）若P（C）0，则AUC与B也独立.
（D）若CB，则A与C也独立.（）
答案：
（D）.
解答：
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）
都是正确的，只能选（D）.
事实上由图可见A与C不独立.
S
AB
C
2．设随机变量X~N（0,1）,X的分布函数为（x），则P（|X|2）的值为
（A）2[1
（2）].（B）2
（2）1.
（C）2
（2）.（D）12
（2）.（）
答案：
（A）
解答：
X~N（0,1）所以P（|X|2）1P（|X|2）1P（2X2）
1
（2）
（2）1[2
（2）1]2[1
（2）]应选（A）.
3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是
（A）X与Y独立.（B）D（XY）DXDY.
（C）D（XY）DXDY.（D）D（XY）DXDY.（）
教育资料
.
答案：
（B）
解答：
由不相关的等价条件知，xy0cov（x，y）0
D（XY）DXDY+2cov（x，y）
应选（B）.
4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
（X,Y）（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）
P
1111
69183
若X,Y独立，则,的值为
（A）
21
99
.（A）
12
99
.
（C）
11
66
（D）
51
1818
.（）
答案：
（A）
解答：
若X,Y独立则有
P（X2,Y2）P（X2）P（Y2）Y
123
X
1
2
1111
69183
11
33
111
2918
1121
（）（）（）
3939
21
，
99
故应选（A）.
5．设总体X的数学期望为,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中
正确的是
（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然估计量.
（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.（）
答案：
（A）
解答：
EX，所以X1是的无偏估计，应选（A）.
1
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，
教育资料
.
求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：
设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’
B‘任取一产品确是合格品’
则
（1）P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）
0.90.950.10.020.857.
（2）
P（AB）0.90.95
P（B|A）0.9977
P（A）0.857
.
四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立
的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，
求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：
X的概率分布为
23
kk3k
P（Xk）C（）（）k0,1,2,3.
3
55
X0123
即
P
2754368
125125125125
X的分布函数为
0,x0,
27
125
0x1,
81
F（x）,1x2,
125
117
125
2x3,
1,x3.
EX
26
3,
55
2318
DX3.
5525
五、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域D{（x,y）|x0,y0,xy1}上服从
均匀分布.求
（1）（X,Y）关于X的边缘概率密度；
（2）ZXY的分布函数与概率
密度.
教育资料
.
解：
（1）（X,Y）的概率密度为
y
1
x+y=1
f（x,y）
2,（x,y）D
0,.
其它
D
D1
x
0z1
x+y=z
f（x）f（x,y）dy
X
22x,0x1
0,
其它
（2）利用公式fZ（z）f（x,zx）dx
其中
f（x,zx）
2,0x1,0zx1x
0,
其它
2,0x1,xz1.
0,
其它.
当z0或z1时fZ（z）0
z
z=x
0z1时
zz
f（z）2dx2x2z
Z
0
0
故Z的概率密度为
x
f（z）
Z
2z,0z1,
0,
其它.
Z的分布函数为
0,z00,z0,
zz
2
f（z）f（y）dy2ydy,0z1z,0z1,
ZZ
0
1,z1.
1,z1
或利用分布函数法
0,z0,
F（z）P（Zz）P（XYz）2dxdy,0z1,
Z
D
1
1,z1.
0,z0,
2
z,0z1,
1,z1.
f（z）F（z）
ZZ
2z,0z1,
0,
其它.
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相
222
互独立，且均服从
N（0,2）分布.求
（1）命中环形区域D{（x,y）|1xy2}的
教育资料
.
概率；
（2）命中点到目标中心距离
22
ZXY的数学期望.
解：
（1）P{X,Y）D}f（x,y）dxdy
y
D
012
x
D
222
xyr
11
22
88
edxdyerdrd
248
01
2
1
222
rr2r11
ed（）eee；
8882
8
1
（2）
22
xy
222218
EZE（XY）xyedxdy
8
22
rr
11
2882
rerdrderdr84
000
222
rrr
21
888
reedredr2.
0
0
22
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：
cm）
2
X~N（,），今抽取容量为16的样
本，测得样本均值x10，样本方差
20.16
s.
（1）求的置信度为0.95的置信区
间；
（2）检验假设
2
H0:
0.1（显著性水平为0.05）.
（附注）t0.05（16）1.746,t0.05（15）1.753,t0.025（15）2.132,
222
0.05（16）26.296,0.05（15）24.996,0.025（15）27.488.
解：
（1）的置信度为1下的置信区间为
ss
（Xt（n1）,Xt（n1））
/2/2
nn
X10,s0.4,n16,0.05,t（15）2.132
0.025
所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）
2
H0:
0.1的拒绝域为
22（n1）.
教育资料
.
因为
2
215S
2
151.6240.05（15）24.996
，
0.1
22
2424.996（15），所以接受H.
0.050
教育资料
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