结构随机振动PPT推荐.ppt

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已知输入和输出求系统的参数这是反问题,称为系统识别问题,我们这门课程不涉及,有专门课程.非线性的来源分:

一个是振荡系统的力学参数的非线性,对于地震工程来说,一般是指迟滞行为,这样的系统常常显示复杂的非线性现象,例如多吸引子,跳跃现象,分岔和混沌;

3.（续上）另一个非线性来源于力函数机理,指输入的非线性.4.最后,另一个分类准则是基于动力问题的力和响应的统计特性,例如高斯分布,平稳性等等.,第二章随机变量和随机过程2.1引论这一章的目的是介绍概率论的基本概念,随机变量的统计特征和随机过程.这些知识和结构动力学知识在一起就可以了解以后的章节的内容.这一章具体要掌握:

1.什么是随机变量和随机向量?

怎样描述它们的统计特性?

2.作用在随机变量和随机向量的算子怎样改变它的统计特性?

3.哪些统计分布通常利用于描述物理现象?

4.什么是随机过程?

它与随机变量怎样不同?

5.平稳的,非平稳的和各态历经的随机过程的差别是什么?

6.从设计者的角度来看,描述结构动力学涉及的随机过程的必要的统计测量是什么?

2.2概率论的概念在自然界或社会活动的许多方面存在着不确定性参数.它们都是一些可测的量（一场地每天最大的温度,机场乘客数,某种股票交易指数,一指定场地期望出现的下一次严重地震的震级）和不可测的量（下一次选举的赢者,某一任务的后果）.对于这些不确定性参数的可能取值（或可能后果）需要用概率来描述.我们把某一不确定性参数说成一个事件,这个事件的一个可能后果为,所有可能后果组成一个集合,把它称为样本空间;

样本空间的每个元素称为样本点.现在我们对某个事件做试验,试验次数是一个大数,那么可能的样本点出现的次数为那么有,为样本空间的样本点数,每一个可能后果出现的相对频率为,很清楚有和,概率在相对频率中趋于无穷大时,那么某一后果出现的概率为,Bernoulli大数定理可以证明上面的式子,即有,2.3随机变量定义随机变量是一个函数,是样本空间到实数域的映射.这样就可以用代数来运算概率.,样本空间,实数域,映射,我们用大写字母来表示随机变量,用相应的小写字母表示它的一个实现,并且为了简单随机变量写成.随机变量分为离散的和连续的.,2.3.1随机变量的概率分布,在概率意义上如何完整描述一个随机变量?

它依赖于确定控制样本空间中每一样本点实现的相对频率的概率分布.对于离散随机变量的概率分布一般是根据概率函数来表示.而连续随机变量是利用概率密度函数来表示.这两类随机变量都可以用累积分布来表示.定义累积分布（cumulativedistribution）.考虑事件,这个可能事件是对应这个随机变量X的许多值（或无穷多个值）成为现实,并且这个不等式实现的概率包括随机变量X的这些值的每一个实现的概率.因此我们定义累积分布为,这是x的单调增加函数,具有,对于离散随机变量,假定实现值,那么相应的累积分布定义为,对于连续随机变量,定义累积分布的导数为概率密度函数p（x）（theprobabilitydensityfunction）.即有,2.3.2随机向量的概率分布,许多物理现象是被随机向量所描述.这个向量是由两个或两个以上的随机变量所组成,这些随机变量在统计意义上可能是互相独立,也可能是互相不独立.,随机向量的统计描述是这些随机变量的联合概率分布（thejointprobabilitydistribution）.假定有两个随机变量,描述一个随机事件.定义联合累积概率函数为,很清楚,这个函数要满足下面的边界条件:

随机向量的联合概率密度函数定义为的偏导数:

因此,边缘一维概率函数（themarginalone-dimensionalprobabilityfunctions）可以从相应的联合概率密度函数导出,即,条件概率.定义为在已知随机变量取一个值的条件下,另一个随机变量取一个值的概率.条件概率密度函数为,上式要求.进一步当,那么,如果两个随机变量统计独立,那么,和,N维概率密度函数,边缘概率密度函数和条件概率密度函数分别为（mn）:

2.3.2.1数值例子.如果两个随机变量的联合概率密度函数为,证明是统计独立的.,因为,所以是统计独立的.,2.3.3统计矩（StatisticalMoment）,引言实际上想要确定一个概率函数是很困难的,甚至是不可能的,有时也不是绝对需要的.例如,混凝土的强度的实验估计几乎不可能确定支配样本强度值的精确概率法则.通常实验室试验的目的是估计平均强度值和偏离这个平均强度值的程度.从设计的观点看,确定某些统计参数-所谓统计矩-是足够的,因为这些参数包含了概率函数形状和性质的重要信息.,平均（期望）值mean（expected）value为了定义统计矩,我们需要介绍随机变量或随机变量的函数的平均（期望）值的概念,它被定义为以下的一个线性操作.,对于离散随机变量:

对于连续随机变量:

如果,那么函数的平均值被称为n-阶统计矩,记为.最有用的统计矩是一阶矩和二阶矩,分别称为均值和均方值:

如果,那么函数的平均值被称为n-阶中心统计矩,记为.最有用的中心统计矩是二阶中心矩,被称为方差（variance）,即,方差和它的根（标准差standarddeviation）是测量随机变量偏离均值的离散程度.,变异系数（coefficientofvariation）定义为:

它是无量纲测量随机变量偏离均值的离散程度.,偏度系数（skewness）定义为:

这个无量纲系数提供概率密度函数形状的对称性信息.概率密度函数是对称于平均值.概率密度函数集中在左边,而概率密度函数集中在右边.,峰度系数（kurtosis）定义为:

这个系数提供随机变量的概率密度函数离开均值接近于零的速率.值大表明分布的尾部厚度增加,这样在离平均值一定距离的极值实现的概率比较高.,值得注意,了解对于一个随机变量的统计特性往往是足够的,并不要求概率密度函数的完整的描述.,把上面的关系推广到个随机变量的情况,函数的平均值定义为,假定有两个随机变量和的均值分别为和,那么定义两个随机变量的相关（corelation）和协方差（covarince）,定义两个随机变量的无量纲的相关系数,可以证明,如果两个随机变量的均值为零,那么,如果,那么两个随机变量的被称为不相关.,如果那么两个随机变量被称为统计独立,因此有,2.3.3.1数值例子求证,证明:

2.3.3.2数值例子求证,证明:

2.3.3.3数值例子求证两个随机变量的相关系数的范围为,证明:

假定这两个随机变量的均值分别为,那么我们定义两个新随机变量,对于任何实数,两个随机变量取任意值,不等式都成立.因此有,要使上面的右边的不等式,即关于的一元二次方程的不等式,成立,那么它的判别式一定要小于等于零.即有,我们来进一步证明上面推理成立,上面左式得到,即得到上面右式,2.3.4特征函数,特征函数定义为,特征函数或矩生成函数可以用来确定统计矩的另外一种方法.,对特征函数做泰勒级数在处的展开:

其中:

所以,对特征函数的对数也做泰勒级数在处的展开:

所以:

系数被称为半不变量或累积量（semi-invariants）,它与统计矩有关,即,无量纲系数可以用半不变量来表示:

上面的关系也可以推广到n个变量的情况.这里给出前三个联合半不变量,定义如下:

2.3.5车比雪夫不等式（ChebyshevsInequality）,引入车比雪夫不等式的目的.在结构分析和设计中,目的是估计应力或应变响应超过某一极限的概率.为了完成这个目的,我们需要确定感兴趣的随机响应量的分布.如果这样的确定不能达到,人们就要利用近似技术来计算它们超过某一极限的概率.这个技术是基于车比雪夫不等式并考虑均值和标准差.,车比雪夫不等式为,来证明这个不等式:

（a）根据定义有,（b）另外有,（c）考虑到积分极限有,所以:

比较（a）和（c）车比雪夫不等式得到证明.,结构随机振动02,2.4随机变量的变换问题的提出感兴趣的工程中的许多量是随机变量的线性或非线性的变换.假定定义为的一一对应.的任一值是一个随机事件,因为它联系随机变量的一个指定值的实现.问题是:

已知的累积分布和概率密度函数,随机变量的累积分布和概率密度函数是什么?

条件是随机变量是连续的,函数是单调增加（或减少）的,并且可微的,我们得到,证明上式,（a）假定是增函数,那么,对上式求导数得到概率密度函数:

（b）如果是递减的,那么,对上式求导得到概率密度函数:

（a）和（b）考虑在一起就证明了上面的问题:

如果不是一一对应假定随机变量的个值满足方程,那么这个变换关系为,例题2.4.1如果随机变量有零均值概率密度函数,我们来确定随机变量的概率密度函数.,我们知道随机变量的每一值对应随机变量的两个值,那么有,考虑对称性上式变为,一个随机向量的一一对应的n-维变量的映射:

那么概率密度函数变换为,其中是雅克比（Jacobian）变换,如果是维,并且,这种情况可以把扩充为维,方法如下:

利用边缘概率密度函数的概念有,如果我们有,那么有,2.5一些有用的概率分布,2.5.1正态分布（或高斯分布）Normal（orGaussian）Distribution,随机变量的正态分布标记为,概率密度函数为,正态分布是关于平均值对称的,并且.另外半不变量.标准状态分布为,正态随机变量有些很有用的性质.在工程应用中最重要有:

如果是正态随机变量的线性变换,那么也是正态分布的随机变量.如果,那么.也就是高阶统计矩都可以用和来表示.如果是统计独立的随机变量,并且有有限均值和标准差,那么随机变量当时它的分布趋于正态分布.这个性质就是中心极限定理.任何具有均值方差的非正态随机变量的概率密度函数可以近似用标准正态分布,高阶半不变量和Hermite多项式来表示.令,这个非正态随机变量的概率密度函数表示为,其中,n-维正态分布随机向量的概率密度函数为,其中:

称为协方差矩阵,正态随机向量的一个极其有用的性质是:

其中,例题2.5.1.1如果随机变量,相关系数为求证,我们取,有,证毕.,2.5.2瑞利,韦布尔,泊松,平均分布,瑞利（Rayleigh）分布:

在研究随机振动的振幅值,以及在噪声理论中很有用.,韦布尔（Weibull）分布:

许多产品的寿命（如轴承的疲劳寿命）服从这个分布.,泊松（Poisson）分布,它是离散型随机变量的一种重要分布,它的概率分布为:

其中.泊松分布的均值和方差都等于.,平均分布（uniformdistribution）:

一般随机初相角被认为是在区间内是平均分布的.,课堂练习:

1.如果和是两个统计独立的,概率分布分别为的随机变量,确定随机变量的概率密度函数.,2.确定随机变量的概率密度函数,假定,3.如果两个随机变量和都服从标准正态分布N（0,1）,相关系数为,求.可以利用例题2.5.1.1的结果.,2.6随机过程（StochasticProcess）,什么是随机过程?

我们回忆一下随机变量的定义.它是概率空间到实数域的一个映射,即,简写为.如果概率空间的每一元素被映射为与时间有关的一条随机变化的记录,即,简写为,这被称为随机过程.这实际上随机过程是这些随时间变化的记录的集合.那么如何描述一个随机过程?

每给一个时刻,那么每一条记录在这一时刻对应的值,构成一个随机变量.如果在个时刻,那么有个这样的随机变量即,简写为,所以随机过程也可以定义为一组随机变量的集合.就可以用描述随机向量的方法来描述这个随机过程.完整地描述一个随机过程需要确定阶的联合概率密度函数.即,2.7非平稳,平稳和各态历经随机过程这一节来处理随机过程的两个基本性质.第一是关于指定时刻的随机变量的统计特性的依赖性;

第二是关于前面通过集合分析得到的统计特性是否可以通过对每一条记录的统计特性分析来代替.,非平稳和平稳（Non-stationaryandstationary）随机过程,如果指定时刻有一个延迟时间,下面的关系成立,那么这个随机过程就是平稳随机过程.,不满足这个关系就是非平稳随机过程.强地面运动就是属于非平稳随机过程.,各态历经随机过程（ErgodicStochasticProcesses）平稳随机过程依赖于时间的统计特性是通过样本空间的不同实现的“竖向”分析得到的,如果它们和任意一条记录（实现）的“横向”分析的统计特性一致,那么这个平稳随机过程被称为各态历经的随机过程.,平稳和各态历经随机过程的关系.一个各态历经的随机过程一定是平稳的;

而平稳的随机过程不一定是各态历经的.,弱平稳和弱各态历经,上面的随机过程的数学分类是很严格的.要求阶的联合概率密度函数是很少能做到.一般就要放松这个定义,只需平均值和相关函数保持平稳就可以.这样就有所谓弱平稳随机过程,也称为广义平稳随机过程.如果,那么这个弱平稳随机过程是弱各态历经的.,2.7.1数值例子,证明随机过程是平稳和各态历经的随机过程.其中是正常数,而在区间中均匀分布.,（a）垂直分析:

（b）横向分析:

证毕.,2.8平稳-各态历经随机过程的统计描述各态历经过程是被假定的,没有经过数学证明.在各态历经的假定下,一条记录分析得到的统计特性可以被认为是整个随机过程的特性.让我们假定一个各态历经随机过程有一条足够长的总持时为秒记录.一个随机过程的第一水准分析包括均值,方差,和变异,偏度和峰度等无量纲系数.这些统计特性的计算足够近似估计随机过程包括一阶统计描述的分布.很自然,第一水准统计描述是有限的,并且是不够的.它没有关于这个随机过程的相邻值的相关和依赖程度的信息.两个具有相同一阶统计特性的随机过程可以显示不同的形状（如图2-7）.这个差别不是局限于时域变化,它是反映这两个记录的频率含量.前者有比较宽的频率含量,后者有比较窄的频率含量.,上面的例子说明需要了解关于随机过程的时间进程和频率含量.也就是需要引入统计分析的二阶或高阶项.,2.8.1自相关函数（AutocorrelationFunction）,一个平稳/各态历经的随机过程的时间进程的一个非常有用的统计特性被表示为自相关函数,它揭示了随机过程的不同的两个时刻的值的相关程度.是时间延迟.自相关函数定义为:

自协方差函数（Cross-correlationFunction）定义为:

自相关函数的性质,互相关函数,互协方差函数与其性质,1.互相关函数:

2.互协方差函数,3.主要特性,a）不是偶函数,但有,b）极大值不在处,但有,2.8.2功率谱密度函数（PowerSpectrumDensityFunction）,随机过程的二阶统计信息是在时间域中求得的,在频率域中也有相应的表示,即功率谱密度函数.对于平稳随机过程的功率谱密度函数它是和这个平稳随机过程的相关函数形成Fourier变换对.,功率谱密度函数是偶函数,即,在负频率处的功率谱值没有直观的物理意义,在工程应用中,往往引入单边功率谱密度函数,功率谱密度函数下的面积等于均方值,即,互功率谱密度函数,定义为,主要性质:

（1）它们一般不是实数;

（2）它们一般不是偶函数,但满足下面关系,（3）它们的模满足下面关系,注意:

互谱没有明显的物理意义,但随机振动计算涉及它们.,2.9平稳-各态历经随机过程的线性变换,微分操作,这个式子说明一个随机过程和它的时间导数是不相关的.,卷积积分,其中是的Fourier变换,星号表示共轭函数.,例题白噪声过程在频率域范围,其自功率谱为一常数,研究其自相关函数.,解,先研究限带白噪声:

讨论:

其中是Dirac函数,它有如下的性质:

自相关函数见图,自相关函数是一直线,结构随机振动03,2.10正态-高斯随机过程,我们已经知道随机过程的完整的统计描述是要求确定它的n-阶概率密度函数,并且这也是不现实的.对于大多数情况,一般仅限于了解随机过程的一阶概率密度函数（常常只通过了解某种统计矩）和二阶功率谱密度函数（或是自相关函数）.但是这些有限的信息是不可能唯一确定一个随机过程,因为有许多具有这样的统计信息,但它们有明显不的性质.,尽管这样,对于我们经常遇到的正态平稳/各态历经的随机过程,知道功率谱密度函数（或相关函数）就足够描述这个随机过程的完整统计特性.因为高阶的统计信息可以从二阶统计信息来构成.我们在前面已经接触过.,上面提及的正态平稳随机过程性质,再加上这种随机过程的线性变换的正态性的保持,使得它的功率谱密度函数和相关函数在线性随机振动中有很大用处.,2.11窄带随机过程的包络和极值,什么是窄带随机过程?

对于功率谱密度函数的最简单的模型是所谓带限噪声如图所示.,

（1）当它是简谐（单色）随机过程;

（2）当它是白噪声随机过程.,窄带随机为什么研究过程?

对于一个振荡系统,它相当于一个滤波器,它的输出一般是比输入的带宽要窄.这个窄带输出的较高阶的统计特性是很重要的,因为它超过极值的概率涉及结构的倒塌;

它超越某一中间界限的次数涉及结构的疲劳损伤.,窄带随机过程的极值的研究.一般对于对于一个随机过程的极值的研究是相当复杂的,因为在指定时间间隔内某一幅值的极值出现的概率要涉及高阶联合统计特性.但是对于一个窄带随机过程这种分析要简单得多.,我们假定一个窄带随机过程,它具有随机幅值（它相当于的包络）,循环频率（相应于的中心频率）和随机相角,设为,假定这个窄带随机过程是正态分布的,上面提及的参数可以确定如下:

期望中心频率是,包络是,随机相角的概率假定为在是均匀分布,考虑到和它的导数是正态平稳/各态历经的随机过程,那么包络过程的概率密度函数是瑞利分布（Rayleighdistribution）.,随机过程的交差问题如果随机过程表示一个振荡器的响应,那么上面提及的包络过程的统计特性提供了一个期望交差率（单位时间交差次数的期望值）的估计手段和响应界限之间的时间的估计手段.正交差率（即从下面向上穿过界限的次数）的期望值是,对于正态随机过程,这个量等于,从上面公式可以得到一个正态窄带随机过程0界限（）的交差率为,它可以用来估计振动的平均频率,进而估计在给定时间内的振动的平均循环数.,第三章单自由度系统对随机输入的响应3.1引言这一章的目的:

（1）介绍一些基本动力性质,包括SDOF系统的单位脉冲响应和复频率响应函数;

响应的相关函数和功率谱密度函数;

在时间域和在频率域响应都等于结构性质乘以荷载.

（2）详细介绍荷载为正态分布的白噪声的解.（3）SDOF系统的动力响应的极值的统计分析.,3.2问题的描述,图示SDOF系统,是地震动,假定是各态历经的平稳随机过程的一个实现.,是对的一个响应.,我们希望这个响应不要超过某一极限值,否则结构要倒塌.这里必须在统计意义上来研究.即要研究:

其中是y的概率密度函数,是倒塌的概率.,是概率密度函数,是所有可能的实现的概率描述.那么我们怎样来得到它,本质上说是这一章的任务.,3.3SDOF系统,图示系统的运动方程为,为了方便两边除以M,得到,3.3.1时间域求解,注意:

（1）上面积分在为零,因为此时荷载为零.,

（2）对初始条件即初位移和初速度的响应没有包括,因为这部分随时间推移会衰减掉的.,（3）是脉冲响应函数（脉响函数）.因为我们输入一个脉冲得到的响应就是它.,3.3.2频率域求解,我们对运动方程作Fourier变换得到,解为,其中为复频率响应函数等于,注意:

（1）是的FT.,

（2）时间域的单位脉冲函数的卷积积分被频率域的简单乘法所替代.,（3）复频率响应函数说复数可以写成,3.4SDOF系统的随机响应,3.4.1正态分布的假定,假定响应是正态分布的,那么就需要计算两个统计量,当的极限.通常对于处于弹性,并且在初始平衡位置的SDOF系统.,如何计算?

如果利用上面的式子,它需要很长的持时,理论上是无穷长.所以我们可以用别的方法.下面先介绍Parseval定理.,3.4.2Parseval定理,Parseval定理为:

如果是两个各态历经的过程,它们相应的Fourier变换为,那么,令,上面关系变为,最后我们得到:

在上面式子中定义,为功率谱密度函数.,可以证明这个定义和我们前面定义的相关函数的Fourier变换为功率谱密度函数是一致的.最后我们得到,物理意义:

3.5频率域解3.5.1功率谱密度函数,我们知道,两边作Fourier变换有,所以,这和前面得到的式子一样.,上面式子两边乘以它们的共轭再除以T,并令得到,有,这样得到,用上面公式可以计算,另外,这样就可以利用Chebychev不等式或者正态分布函数来计算超过预定位移限值的概率.,3.5.2自相关函数,各态历经型的随机过程,例如荷载函数,它的自相关函数定义为,两边作Fourier变换得到,再作Fourier逆变换得到,上式如果,我们得到,3.5.3举例3.5.3.1例题13.5.3.2例题2,3.6在随机荷载下的单层框架结构的设计通过两个例题来说明.3.6.1.1例题13.6.1.2例题2,3.7随机动力响应的极值,3.7.1显著频率如果响应是正态分布,具有的psdf,那么在单位时间内穿过的平均交差数为,上面式子中的两个积分可以利用残数方法去做,在特殊情况下可以简化.

（1）是小阻尼,

（2）随机荷载谱接近常数有,这样得到,形状频率为,在单位时间内穿过非零界限的平均交差数为,其中的方差为,3.7.2响应的包络函数的瑞利分布函数,如果sdof系统有小阻尼,并且随机荷载有较宽的频带即,那么响应可以写为,其中位移幅值的包络,相角在平均分布.,我们假定随机变量和的联合分布概率密度函数为,这两个变量是独立的所以有,这是瑞利分布.相角的概率密度函数为,3.7.3举例,基于上面分析,包络函数超过指定值的概率为,这两个随机量的平均值为:

结构随机振动04,第四章多自由度系统对随机输入的响应,4.2Mdof系统随机动力分析原则,线性系统的运动方程,这里阻尼是相对简单的类型被称为Rayleigh阻尼,阻尼矩阵可以是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合:

线性mdof系统的分析可以有四种方法:

物理坐标,广义坐标,时间域,频率域,1,2,3,4,4.2.1时间域分析（物理坐标下）.,运动方程的解为,其中是的