初中物理竞赛自招第6讲 功和功率.docx

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初中物理竞赛自招第6讲功和功率

第六讲功和功率

一【知识梳理】

1、功和功率

（1）功：

当一个力作用在物体上，物体在这个力的作用下通过了一段距离，就说这个力做了功。

功的计算方法为W=Fs.

（2）功率：

物体在单位时间内所做的功叫做功率。

功率是描述物体做功快慢的物理量。

功率的计算公式为P=W/t，其中一个常用的变形公式为P=Fv.

（3）功的原理：

使用任何机械都不省功，这个结论称为功的原理。

2、机械效率

（1）功的原理：

使用任何机械都不省功。

动力对机械所做的功，等于机械克服所有阻力所做的功。

（2）“所有阻力”包括f阻=f目标+f机械重力+f摩擦

（3）“效率”是指一种机械或装置在工作时输出的有用能量与输入能量的比值。

（4）机械效率定义为有用功跟总功的比值W总=W有用+W额外

（5）机械效率公式η=

╳100%即η=

╳100%

3、机械能

（1）功和能的关系：

能即物体做功的本领，物体做了多少功，就说它具有多少能。

（2）机械能

动能——物体由于运动而具有的能量叫做动能。

它与物体的质量和运动速度有关，物体的运动速度越大，质量越大，其动能就越大。

E动=

势能——势能分重力势能和弹性势能。

物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能。

物体被举高得越高，质量越大，重力势能就越大。

E势=mgh

物体由于发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能，物体的弹性形变越大，弹性势能就越大。

动能和势能统称为机械能。

物体的动能和势能是可以互相转化的，如果没有摩擦阻力存在，那么动能和势能在相互转化的过程中，机械能的总量保持不变。

（3）能的转化和守衡定律：

能量既不能创生，也不能消灭。

它只能从一种形式转化成另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而能的总量保持不变。

二【例题解析】

题型一：

力对物体做功的判断

基本判断方法：

物体受了力，并且物体在力的方向上通过了一段距离。

功的两个必要因素缺一不可。

事实上，在功的计算中，最常见的情况是F与s之间存在着一定的夹角θ，这时，最普遍使用的计算公式是W=Fscosθ,此式中的cosθ，既可以看作是力F在物体移动方向上的分力Fcosθ,也可以看作是物体在力的方向上移动的距离scosθ.

例如，一个竖直向上的力F提着一个重物在长为L、高为h的斜坡上运动，如图6-1。

从斜坡的底端运动到顶端所做的功W=Fh,因为式中h=Lcosθ.根据做功的两个必要因素及上述公式，当力与通过距离有一定的夹角时，所做的功Fs>W>0.此处指出的功总是大于零，皆因功总是有成效的。

力学中的功隐含着“成效”的意思，也就是做功一定要有显而易见的结果，或者是使物体的动能改变，或者使物体的势能改变，或者改变物体的内能等。

例1：

下列正在运动的物体中，可以没有力对其做功的是（）

A在光滑水平面上做自由匀速直线运动的物体

B在水平轨道匀速行驶的列车

C从高处下落的雨滴

D在草坪上滚动的足球

【解析】B选项中，列车匀速前进，受牵引力和摩擦力这一对平衡力的作用，物体的运动状态不变，此时这一对平衡力都对物体做了功，只不过这两个力所做的功相互抵消，物体的运动状态不变，既没有机械能转化，也没有机械能的转移。

C选项中，重力对雨滴做了功。

D选项中。

摩擦力改变了足球的运动状态，使它减速，足球的动能减小，所以摩擦力对物体做了功。

A选项中，光滑水平面代表无摩擦力，如果物体受到水平外力，则摩擦力与水平外力的合力不为零，物体受到的是不平衡力，结果是物体或者加速，或者减速，或者改变运动方向，而不会匀速直线运动。

所以，水平方向只能判断为不受外力。

本题的正确选项为A。

例2：

如图6-2，面积较大的水池内水深为H，水面上浮着一个边长为a，质量为m的正方体物块，物块的一半体积浸在水中，现在用力将木块缓慢的压入水中直到池底，则从木块刚好浸没水中开始到最终压在池底的过程中，池中水的能量增加了（）

A2mg（H-a）

Bmg（H-a）

Cmg（H-2/a）

D2mg（H-2/a）

【解析】木块的重力势能变化显而易见，但本题对此并不要求研究出结论，要研究的是“水”的能量增加量。

在进行具体问题的分析时，我们常常被一些问题的表象所迷惑，从而不能分清题中事件的本质。

通过做功时引起的能量变化分析问题，可以很简洁的解决这些问题。

思路一：

物体从“刚好浸没”开始被按下，到最终缓慢压在池底的过程中，物体在压力和重力方向上都通过了距离，所以压力和重力都对物体做了功，如图6-3。

由于起始状态与结束状态物体都浸没在水中，物体所受的浮力是不变的，则物体所受的压力是不变的。

而这两个向下的压力与重力所做的功，对池水而言都是外力做的功，就是池中水的能量增加量。

考虑压力或重力通过的距离，或者以物体的上表面、或者以物体的下表面、或者以物体的重心的移动距离为准，可知物体在力的方向上通过的距离只有（H-a）。

漂浮时物体有一半体积浸在水中F浮=G物ρ水gV排=ρ物gV物ρ水g╳1/2V物=ρ物gV物可知ρ水=2ρ物木块重力G=ρgV，浸没时木块浮力F浮=2G，则所需压力F=F浮-G=2G-G=G由题意可知，压力做功W1=F（H-a）=G（H-a）重力做功W2=G（H-a）所以总功W总=W1+W2=2G（H-a）=2mg（H-a）

思路二：

本题如果从能量的角度来考虑的话，可以认为图示中的木块与一块同体积的水互换了位置，则这一块水的势能增加量为2mg（H-a），就是我们所要的答案。

本题两种思考方法。

思路一严密精细、一丝不苟，考虑到每一个细节；思路二从宏观上整体考虑，直接抓住变化的本质。

这两种思路并无孰友孰劣的区分，建议初学者多考虑细节，学习具体问题的分析判断方法，而有经验者多考虑本质，从宏观上找出自己解题的思路。

本题的正确选项为A.

例3：

一块高40cm，宽35cm,厚30cm，质量为2kg的砖竖直的放在水平面上，如图6-4，将它沿竖直平面推倒，至少需做功___________J（g取10N/kg）

【解析】如图6-4，当砖推倒时，砖的重心至少要升高的高度是我们考虑问题的关键，这时人要对砖做功，但下降时人并不做功。

可以考虑砖以宽面（35cm的底边）为轴转动。

Δh=1/2BD-1/2AD=1/2（

-0.4）m=0.05m则外力做功W=mgΔh=2╳10╳0.05J=1J,事实上，本题考虑重心上升的高度，就是在考虑砖块的重力势能增加量，E势=GΔh。

如果用推力乘以推力通过的距离的方法来计算本题几乎不可能，一是因为本题中的推力不是一个定值，每时每刻的最小力都与BD连线垂直，这个推力是一个变量。

二又因为推力通过的是一条曲线（以BD为半径，以B为圆心的圆弧），在图6-4中基本无法确定圆弧DD’的中点在何处。

所以用以前均匀变化的力运行轨迹的中点位置的力的大小作为平均值的方法，在本题中无法行得通。

所以，本题中给出从能量转化的角度考虑问题的整体思路，请同学们体会。

小结：

通过上述3道例题的分析，可以归纳出如下几点：

（1）判断力是否对物体做功的根本依据是做功的两个必要因素。

要仔细分析物体的受力情况，哪些力可以用于计算，哪些力不能利用，哪些力要通过其他因素（如能量变化）来间接得出做功的多少。

对于用于计算的力，还要仔细分析此力在力的方向上通过的距离。

（2）当F与s之间存在着一定的夹角θ时，可以采用W=Fscosθ进行计算。

（3）运动轨迹为曲线的时候，往往要依靠“功能转化”的知识来进行解决。

（4）从能量转化的角度来理解力对物体做负功的意义。

例1中的摩擦力、例2中的浮力、例3中的重力，都与物体的运动方向相反，可以说这几个力都在做负功。

例1中解释得很详细，例2中可以理解成浮力做功，水的重力势能转化为物体的重力势能，压力做功，物体的重力势能转化为水的重力势能。

【跟踪训练】

【训练1】一根弹簧下挂一个重物，用外力使它从平衡位置开始运动，则弹力对物体（）

A始终做正功

B始终做负功

C离开平衡位置时做正功，靠近平衡位置时做负功

D离开平衡位置时做负功，靠近平衡位置时做正功

【答案】D

【训练2】如图6-5，两个横截面积分别为A1、A2的容器内装有液体，并用管道连接，液面离地高度分别为h1、h2，当打开阀门K后，最终液面相平。

则当A1=A2时，该过程中，液体的重力势能_____________（增加/减少）________J，当A1=3A2,液体的重力势能改变了_______________J（已经知道物体的密度为ρ）

【答案】当A1、A2相等的时候，液面由不平到相平，可以理解为将液面差h1-h2的一半，移到A2这边来，改变的重力势能也就是这一块，其重心降低了（h1-h2）/2，所以重力势能是减少的，减少量为：

ΔEp=mgΔh = [ρA1（h1-h2）/2]g（h1-h2）/2 = ρgA1

（h1-h2）/4；当A1=3A2时，A1液面改变Δh，A2液面改变3Δh，h1-Δh=h2+3Δh，解得Δh=（h1-h2）/4，一样看作A1中的上半段Δh的水，转移到A2中，但是这时重心降低要重新算，（初重心高度）-（末重心高度），（h1-Δh/2）-（h2+3Δh/2）=h1-h2-2Δh=（h1-h2）/2，

则重力势能减少，减少量为：

ΔEp=mgh = [ρA1（h1-h2）/4]g[（h1-h2）/2] = ρgA1（h1-h2）/8，或者答案可写为3ρgA2（h1-h2）/8

【训练3】有一个质量为m、边长为a的正方体与地面之间的摩擦系数u=0.3，可以将它翻倒或向前平推距离a，则（）

A将它翻倒比平推前进做功少

B将它翻倒比平推前进做功多

C两种情况做功一样多

D翻倒时不做功

【答案】将正方体翻到的图示如图：

只需克服重力将正方体的对角线推到竖直方向即可，则力F做的功：

W1=mg（

）=0.21mga，水平推动前进时做的功：

W2=μmga=0.3mga，故将它翻倒比平推前进做的功少。

题型二：

变力或合力对物体做功的情况

在初中物理教材范畴内，有关功的计算类习题要求计算的都是恒力做功，即大小和方向都不变的力做功。

但物理知识在生产和生活的实际应用过程中，却经常遇到大小或方向都在变化的力，用初中所学的知识，这种问题好象不可解。

实际上，综合我们所学过的各种知识，以下几题可以用一些合理的方法解决。

有些时候，要具体的一点一点地分析习题所描述的过程，把题目中所提到的物理场景抽丝剥茧，找到每一个位置、每一个时段物体所受的力。

如果是变化的力，要找到变化的等效恒力（通常都是变力通过直线轨迹的中点）或者是通过能的分析来绕过变力的计算。

如果是物体同时受多个力，则要分析清楚题目中要求的是哪一个或哪几个力在做功，可不可以用合力的方法来求。

例4：

如图6-6，在河中间固定一个细长圆管，管内有一轻质活塞，活塞下端位于水面，面积为1cm2，质量不计，大气压强为1.0╳105Pa。

现将活塞缓慢提高15厘米，则在该过程中外力对活塞做功为（）

A50J

B100J

C150J

D200J

【解析】在本题中，由公式p=ρgh可得，一个标准大气压约可以支持10m高的水柱。

拉力是逐渐增大的，由于此过程是一个均匀渐进的过程，可以取10m的中点5m处的拉力作为平均值来进行计算，F=p0S-ρghS=（1.0╳105╳1╳104-1000╳10╳

5╳1╳10-4）=5N，W=Fh=5╳10J=50J,第二个过程是当活塞下出现真空时，此时活塞受到大气向下的压力，所以拉力与重力是相等的，活塞上所需要的拉力是一个定值。

F’=p0S=1.0╳105╳1╳10-4N=10N，W’=F’H’=10╳5J=50J，所以总功W总=W+W’=（50+50）J=100J.本题正确选项为B。

本题也可以从能的角度考虑，即外力所做的功等于水的势能增加量（10m内）与额外所做的功（10m到15m的范围内）的和。

方法二：

向下的大气压力是不变的，克服大气压力所做的功是一个恒力做的功。

大气压力F’=p0S=1.0╳105╳1╳10-4N=10N，

W’=F’H’=10╳15J=150J，10m高的水柱的重力为G=ρgV=ρghS=1000╳10╳10╳10-4N=10N，10m高的水柱的重力势能为（按重心计算）

W势=E势=GH=10╳5J=50J，总功中去除水的重力势能增加量，剩下的就是对活塞做的功，W活塞=W’-W势=（150-50）J=100J，物体重力与物体升高高度的乘积，就是重力对物体做的功，也是物体重力势能的增加量，这个知识是高中阶段的知识，但初中的同学们并不难理解。

例5：

如图6-7，高度为L、横截面积为S的物块浮在盛水的杯内，杯内水的高度恰好为L。

已知杯子的横截面积为2S，水的密度为ρ0，物块的密度为ρ0/2,现用外力将物块按入水底的过程中，容器中的水没有溢出，则外力所做的功至少为（）

A3/16ρ0gsL2

B1/4ρ0gsL2

C5/16ρ0gL2

D1/8ρ0gsL2

【解析】由于物块的密度是水的密度的一半，所以漂浮时露出的体积为一半。

物体完全浸入水中后，水位升高了h:

由V浸入=V排可知，SL/2=2Sh，解得h=L/4.此时容器中水的深度达到5L/4.当把物体按入水中时，要分两个过程来考虑：

（1）将物体按入水中与水面相平，属于变力做功。

可以采用求平均值的方法，用平均力代替变力。

按下的高度为L/4.

（2）再把物块按到水底，属于恒力做功，按下的高度也是L/4.

W=W1+W2=

+G

=

=

gSL=

ρ0gSL2，故本题的选项为A

例6：

某自动扶梯以恒定速度v1两次运送乘客上楼，该乘客第一次站在电梯上不动，第二次相对电梯v2的速度匀速上行。

设两次电梯送客做的功分别为W1、W2，则下列关系正确的是（）

AW1>W2BW1W2D无法比较

【解析】本题最容易引起同学们误解的就是，不论乘客动还是不动，乘客都是在做匀速运动，乘客受的都是平衡力。

所以会认为人受相同的平衡力，人上升相同的高度，从而得出电梯对人做相同的功的错误结论。

以地面为参照物，两次乘客都上升了相同的高度，但第一次的高度完全是由电梯运送而完成的，第二次的高度却是由乘客和电梯共同完成。

第一次人相对于电梯没有位置变化，第二次人相对于电梯发生了位置变化。

事实上，本题中扶梯对乘客的支持力并没有变化，在第一次的过程中，完全是由电梯做功把乘客送到高处。

但第二次由于乘客自己也在行走，所以乘客自己也在做功，我们可以认为整个过程中，电梯把乘客送上一段高度，乘客自己走上一段高度，所以第二次电梯做功少于第一次电梯做功。

故本题正确选项为C.

通过上述3道例题的分析，需要注意如下几点：

（1）均匀（持续增大或持续减小）的变力，一般可以以变力作用点轨迹的中点（这一条件要求此力的轨迹应为直线）位置所受的力作为等效恒力。

（2）同一道题中，如果用于做功的力是在变化的，但不是均匀变化，可以把力做的功分出步骤，哪一部分是均匀变力所做的功，哪一部分是不变的恒力做的功，分开来求解，如利5.

（3）同一道题中，只用一个力和用几个力所做的总功相同时，有时需要注意每一个力各做了多少功。

【跟踪训练】

【训练4】一个弹性小球质量为m，从高h处由静止开始下落，小球与地面碰撞后反弹时机械能没有损失，小球每次向上弹起的高度总等于它下落时高度的4/5，则小球运动过程中所受空气阻力的平均大小为_____________，从开始运动到最后停下通过的总路程为___________。

【答案】mg/9,9h（设在运动过程中小球所受的空气阻力大小恒定，用整理法）

【训练5】如图6-8，在以光滑竖直杆上套有一质量为m的小环，环上系一轻质细线，细线杆右上方的一个光滑的定滑轮，在一恒力F作用下，小环由静止开始从A点经B运动到C。

已知AB=BC，设小环从A点到B点的过程中拉力做的功为WAB,从A点到B点的过程中拉力做的功为WBC,则以下关系式中可能正确的是（）

AWAB>WBCBWAB

【答案】A（恒力F在竖直方向的分量随着位置的升高二减小）

【训练6】如图6-9，定滑轮至滑块高度为h，已知细绳拉力为F（恒定），滑块在时间t内沿水平地面由A点前进L米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平面的夹角分别为α和β，求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

【答案】设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。

T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：

题型三：

做功改变物体内能的判断

物体做功的过程，实际上就是在进行能量转化或转移的过程。

由于功是“衡量物体能量转化或转移多少”的物理量，在变力做功的问题上，如果把能的知识引入，一方面可以多几个公式、多几条思路来解决问题，另一方面可以加深对于功和能的知识的理解---这两个知识本来就是相互关联、相互补充的。

初中阶段，我们所学的做功知识，通常直接与物体的动能、重力势能的变化相练习。

也就是动能变化，或者是物体的高度变化也就是重力势能的变化。

但做功是可以将机械能转化为各种各样的其他形式能！

初中课本里，只是定性的研究了做功时改变物体内能的情况，即摩擦生热。

我们也定性的研究了做功时机械能转化为电能的情况，即发电机原理，以下几道习题中，外力对物体所做的功与物体的机械能变化量不相等，就必须注意题目中是否有其他形式的能量转化或转移的情况。

例7：

如图6-10，A、B是两个管状容器，除了管较粗的部分高低不同外，其他相同。

将两容器抽成真空，再分别插入两个水银槽中。

当水银柱停止运动时，A管中水银的温度与B管中水银的温度相比较，不考虑水银与外界的热传递（）

AA管中水银温度较高

BB管中水银温度较高

C两管中水银温度一样高

D无法判断

【解析】由图6-10可知，从水银槽中进入管状容器的水银量相同，也就是说，大气压下水银面的高度ΔH是相同的，大气压产生的大气压力所做的功是相同的。

两容器中W=FΔH=P0S管ΔH是相同的。

大气压对水银做了相同的功，但两管中水银势能的增加量不同。

B管中增加的要多一些。

由功和能的知识可知，对物体做功，或者改变物体的机械能，或者改变物体的内能，A管中没有转化为势能的部分一定转化成了内能，所以A管中水银温度应较高。

最直接的说法，就是大气压做了一样的功，B管水银重力势能大，A管中水银内能大。

例8：

如图6-11，甲乙两球完全相同，分别浸没在水和水银的同一深度内，甲、乙两球是用同一种特殊材料制成的：

当温度稍微升高时，球的体积会变大。

如果开始时水和水银的温度相同，且两液体温度同时缓缓地升高同一值，则（）

A甲球吸收的热量较多

B乙球吸收的热量较多

C两球吸收的热量相等

D无法确定

【解析】从初中所学的知识而言，材料相同、质量相同、升高的温度相同，甲乙两球所吸收的热量当然应该相同。

但从能量的角度来看，由于甲乙两球体积升温时变大，排开一定量的液体，液体的重心升高，液体的重力势能变大。

水银的密度较大，水银的重力势能增大较多。

若两球吸收热量真的是相同的，从能量守恒的角度来说，液体增大的势能的来源就无法解释。

所以本题中，应该是小球吸收较多的热量，一部分能量在小球膨胀做功时顶开外部的液体，使液体重力势能增大，另一部分使小球升温。

既然水银的重力势能增大得多，可知乙球转化的能量多。

所以乙球吸收的热量较多。

如果从力学的角度解释也可以，同样的深度，水银对小球的压强和压力都较大，小球受热膨胀程度相同时顶开水银要做的功较多。

所以水银中小球所需要的能量较大。

综上所述，本题的正确选项为B。

通过例7例8的分析，有以下3点应引起注意：

（1）例8中水银升温的原因，按目前同学们的知识结构应该解释为：

对物体做功，或者可以改变物体机械能，或者可以改变物体的内能。

（2）例8中最常见的错误在于，容易把注意力完全放在小球的变化上，而忽略了水和水银的能量变化。

不能把此题中的小球和外界的水或水银看成一个整体，解本题容易选错。

（3）一般情况下，涉及“做功改变物体内能”等问题时，题目中会直接进行提问，所给出的物理场景也是机械能转化为内能的场景，而上述两道题却并没有直接给出，将机械能和内能转化的问题隐藏起来，不能直接进行求解，甚至有些同学在分析题意时，都不知道本题考查目标和内能与机械能转化知识相关，这就要求大家要综合考虑功和能的知识。

【跟踪训练】

【训练7】在温度均匀且恒定的水池中，有一小气泡正在缓慢向上浮起，体积逐渐膨胀，在气泡上浮过程中（）

A气泡内气体向外界放出热量

B气泡内气体与外界不发生热传递，其内能不变

C气泡内气体对外界做功，其内能减少

D气泡内气体与外界做功，同时从水中吸收热量，其内能不变

【答案】气泡体积膨胀,消耗内能对外做功。

因是在温度均匀且恒定的水池中，所以气泡周围的水又不断向气泡供热，使气泡的温度总与水温相同，气泡的内能不变，故选择D。

【训练8】如图6-12，一个物体自光滑圆弧面下滑后冲上水平粗糙传送带，传送带顺时针转动，则物体受到的摩擦力对物体做功情况中不可能的是（）

A不做功

B先做负功，后不做功

C先做负功，后做正功

D先做正功，后不做功

【答案】C

题型四：

功率类问题

关于P=Fv公式的解释，可以理解成机器的功率是一定的。

比如：

一辆汽车的最大功率是固定的，当在阻力较小的高速公路上行驶时，所需的牵引力F也较小，因为F与v的最大乘积是固定值，自然最大速度就可快一些；而在阻力较大的泥泞道路中行驶时，所需的牵引力F也较大，因F与v的最大乘积是固定值，就算用了最大功率，v也不能太大，自然就开不快。

在日常生活中，停车到较高的路边时，汽车过障碍时，汽车上坡时，汽车都需要减速也正是因为要得到较大的牵引力这个原因。

P=Fv这个公式一般只能用于机械问题的功率解释，因为一般机器的功率是固定的。

而不能用于人的功率解释，因人的功率在不同情况下会发生较大的变化。

人要维持生命和进行活动（包括体力的和脑力的活动），就必须消耗能量做功。

在不同情况下，消耗的功率大小不同。

一个成年人在熟睡时，消耗的功率大约是80W，这个功率用来维持其身体的代谢，因此把这个功率叫做基本代谢率。

在进行一般的脑力劳动时，例如学生在上课时，消耗的功率约为150W，其中约80W为基本代谢率，约40W消耗在脑力劳动中。

在中等激烈运动中，例如以5m/s的速度骑自行车时，骑车人消耗的功率约为500W。

在比较剧烈的运动中，一个优秀运动员消耗的功率可超过1000W。

而举重世界冠军在短短1s内爆发的功率可达到1500W。

人在一秒内能做多少机械功呢？

研究表明，人在长时间做功的情况下，即使消耗的功率超过1000W，其中只有约100W的功率可作为机械功输送到体外。

而马可以在长时间内以500W的功率做机械功，在短时间内的机械功率可以达到700-800W，可见人输出机械功的本领比起马的本领小得多。

例9：

设在平直公路上以一般速度行驶的自行车所受的阻力约为车、人总重的0.02倍，则骑车人的功率接近与（）

A10-1kWB10-2kWC1kWD10kW

【解析】本题中包含了大量的估值问题，是把学生的物理理论与生活常识相结合的一次良好训练。

一般认为中学生的质量约为50kg,重力约500N，而一辆自行车的质量在20kg左右，自行车的重力约200N，由题意可知，阻力为（500+200）╳0.02N=14N，一般人骑车速度为5m/s左右，由功率的变形公式可以知道