高三理科数学二轮总复习专题训练 二十六 分类讨论思想Word文件下载.docx

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若a5为奇数，有1＝3a5＋1；

所以a5＝0，不成立．

综上可知a1＝4或5或32.

答案：

D

点评：

本题考查了分类讨论的应用，要注意数列中的条件是an为奇数或偶数，而不是n为奇数或偶数．

2．已知二次函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于（　　）

A．－3B．－

C．3D.或－3

当a<

0时，在x∈[－3,2]上，当x＝－1时取得最大值，得a＝－3；

当a>

0时，在x∈[－3,2]上，当x＝2时取得最大值，得a＝.

3．对一切实数，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）B．[－2，＋∞）

C．[－2,2]D．[0，＋∞）

本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y＝x＋型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立．①当x＝0时，则1≥0，显然成立；

②当x≠0时，可得不等式a≥－|x|－对x≠0的一切实数成立．令f（x）＝－|x|－＝－≤－2.当且仅当|x|＝1时，“＝”成立．

∴f（x）max＝－2，故a≥f（x）max＝－2.

B

4．0<

b<

1＋a，若关于x的不等式（x－b）2>

（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（　　）

A．－1<

a<

0B．0<

1

C．1<

3D．3<

6

（x－b）2－（ax）2>

0，（x－b－ax）（x－b＋ax）>

0.

即[（1－a）x－b][（1＋a）x－b]>

0.①

令x1＝，x2＝.

∵0<

1＋a，则0<

<

1，即0<

x2<

1.

当1－a>

0时，若0<

1，则不等式①的解集为∪，不符合题意．

若－1<

0，不等式的解集为∪，不符合题意．

当1－a<

0时，即a>

1时，需x1＝<

－2，a＋1>

b>

－2（1－a），∴a<

3.

综上，1<

3.故选C.

C

5．已知a＝（－1，－2），b＝（1，λ）．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（　　）

A.B.

C.∪（2，＋∞）D．（2，＋∞）

∵〈a，b〉为钝角，∴a·

0，即有λ>

－.又当λ＝2时，a与b反向．故选C.

6．对任意两实数a，b定义运算“*”如下，a*b＝则函数f（x）＝log（3x－2）*log2x的值域为（　　）

A．（－∞，0]B．[log2，0]

C．[log2，＋∞）D．R

根据题目给出的情境，得f（x）＝log（3x－2）*log2x＝log2*log2x＝由于y＝log2x的图象在定义域上为增函数，可得f（x）的值域为（－∞，0]．故选A.

A

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

7．若函数f（x）＝4x＋a·

2x＋a＋1在（－∞，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围为________．

设2x＝t（t>

0），则函数可化为g（t）＝t2＋at＋a＋1，t∈（0，＋∞），函数f（x）在（－∞，＋∞）上存在零点，等价于函数g（t）在（0，＋∞）上有零点．

（1）当函数g（t）在（0，＋∞）上存在两个零点时，实数a应满足

解得－1<

a≤2－2.

（2）当函数g（t）在（0，＋∞）上存在一个零点，另一个零点在（－∞，0）时，实数a应满足g（0）＝a＋1<

0，解得a<

－1.

（3）当函数g（t）的一个零点是0时，g（0）＝a＋1，a＝－1，此时可求得函数g（t）的另一个零点是1，符合题目要求．综合

（1）

（2）（3）知a的取值范围是a≤2－2.

a≤2－2

8．连掷两次骰子得到的点数为m和n，记向量a＝（m，n），与向量b＝（1，－1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是________．

∵m>

0，n>

0，

∴a＝（m，n）与b＝（1，－1）不可能同向．

∴夹角θ≠0.∴θ∈（0，]⇔a·

b≥0，∴m≥n.

当m＝6时，n＝6,5,4,3,2,1；

当m＝5时，n＝5,4,3,2,1；

当m＝4时，n＝4,3,2,1；

当m＝3时，n＝3,2,1；

当m＝2时，n＝2,1；

当m＝1时，n＝1；

∴概率是＝.

9．当点M（x，y）在如图所示的△ABC内（含边界）运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为（1,2）．则实数k的取值范围是________．

如图，延长BC交y轴于点D，目标函数z＝kx＋y中z的几何意义是直线kx＋y－z＝0在y轴上的截距，由题意得当此直线经过点C（1,2）时，z取得最大值，显然此时直线kx＋y－z＝0与y轴的交点应该在点A和点D之间，而kAC＝＝1，kBD＝kBC＝＝－1，直线kx＋y－z＝0的斜率为－k，所以－1≤－k≤1，解得k∈[－1,1]．

[－1,1]

10．设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>

|PF2|，则的值为________．

若∠PF2F1＝90°

，

则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.

∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.

解得|PF1|＝，|PF2|＝.∴＝.

若∠F1PF2＝90°

，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋（6－|PF1|）2.

解得|PF1|＝4，|PF2|＝2.∴＝2.

综上，＝或2.

或2

三、解答题：

本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（12分）已知a>

0，且a≠1，数列{an}的前n项和为Sn，它满足条件＝1－.数列{bn}中，bn＝an·

lgan.

（1）求数列{bn}的前n项和Tn；

（2）若对一切n∈N*，都有bn<

bn＋1，求a的取值范围．

分析：

（1）本题从＝1－可以得出Sn，进而由an和Sn的关系an＝可求出数列{an}的通项，也就求出了{bn}的通项公式．

（2）应注意分a>

1和0<

1讨论．

解：

（1）＝1－，∴Sn＝.

当n＝1时，a1＝S1＝＝a；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an.

∴an＝an（n∈N*）．此时，bn＝an·

lgan＝n·

anlga.

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝lga（a＋2a2＋3a3＋…＋nan）．

设un＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，∴（1－a）un＝a＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1＝－nan＋1.

∴un＝－.

∴Tn＝lga[－]．

（2）由bn<

bn＋1⇒nanlga<

（n＋1）an＋1lga.

①当a>

1时，由lga>

0，可得a>

.

∵<

1（n∈N*），a>

1，∴a>

对一切n∈N*都成立，此时a的范围为a>

②当0<

1时，由lga<

0可得n>

（n＋1）a，即a<

，即a<

min.

∵≥，∴a<

时，对一切n∈N*，a<

都成立，此时，a的范围为0<

由①②知：

对一切n∈N*，都有bn<

bn＋1的a的范围是0<

或a>

12．（13分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆＋＝1（a>

0）上两点．已知m＝，n＝，若m·

n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k；

（3）试问△AOB的面积是否为定值？

如果是，请给予证明；

如果不是，请说明理由．

（1）由e＝＝及b＝1可求a.

（2）设出AB的直线方程，代入椭圆方程，结合根与系数的关系及条件m·

n＝0，解出k值．（3）应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解．

（1）∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.

∴a＝2，c＝.椭圆的方程为＋x2＝1.

（2）由题意，设AB的方程为y＝kx＋，

由整理得（k2＋4）x2＋2kx－1＝0.

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

由已知m·

n＝0得：

＋＝x1x2＋（kx1＋）（kx2＋）

＝x1x2＋k（x1＋x2）＋

＝＋k·

＋＝0.解得k＝±

（3）①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，

y1＝－y2，由m·

n＝0得x－＝0⇒y＝4x.

又A（x1，y1）在椭圆上，所以x＋＝1，

∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝1＝|x1|·

2|y1|＝1，所以三角形面积为定值．

②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b，代入＋x2＝1，得：

（k2＋4）x2＋2kbx＋b2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝，x1x2＋＝0⇔x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，

∴S＝·

|AB|＝|b|＝＝＝1.

所以△ABC的面积为定值．

本题是平面向量与解析几何的交汇题，综合考查了椭圆方程，离心率，定值等知识与方法，当直线位置不确定时，应注意分斜率存在与斜率不存在讨论．