六年级奥数100题.doc
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六年级奥数100题
1.很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。
这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：
在你面前有一条长长的阶梯。
如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
分析与解：
分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数。
因此只需从29、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。
很快可以得到答案为119阶。
2.
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共72支。
现在华华从自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。
这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅笔支数的8倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
分析与解：
有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想比较方便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。
根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72支）是不变的；又知道最后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的8倍。
这样我们可以求出最后两人手中铅笔的支数。
华华最后手中铅笔的支数是：
72÷（8＋1）=8（支）
明明最后手中铅笔的支数是：
8×8=64（支）
接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。
答案是：
明明最初有铅笔26支，华华最初有铅笔46支。
3.
六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛。
根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解：
一共要赛66盘。
要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。
假如2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；假如3个人（A、B、C）
参赛，那么A—B、A—C、B—C要赛3盘；假如4个人参赛，要赛6盘，……
于是我们可以发现：
2人参赛，要赛1盘，即1；3人参赛，要赛3盘，即1+2；4个参赛，要赛6盘，即1+2+3；5人参赛，要赛10盘，即1+2+3+4；……
那么，12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘。
我们还可以这样想：
这12个人，每个人都要与另外11个人各赛1盘，共11×12=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如A—B赛一盘，B—A又算了一盘），所以实际一共要赛132÷2=66（盘）。
4.
请你把1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面的4个角上的数之和都相等。
分析与解：
做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数的方法。
分别用这8个数去试，这种方法可行，但很费事。
另一种方法是用分析、计算的方法。
这道题可以分析、计算如下：
在计算各个面上4个数的和时，顶点上的数总是分属3个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3次。
因此，各个面上4个数的和为1～8这8个数的和的3倍，即（1＋2+3+.+8）×3=108.又因为正方体有6个面，也就是每个面上的四个数的和应是108÷6=18.18应是我们填数的标准。
如果在前面上填入1、7、2、8（如图31），那么右侧面上已有2、8，其余两顶点只能填3、5.以此类推，答案如图31所示。
5.
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。
打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：
“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？
”小红毫不犹豫地说：
“行，您出吧？
”“好，你听着：
这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的？
”
听完题后，小红陷入了沉思。
同学们，你们会做这道题吗？
分析与解：
至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色。
我们可以这样想：
按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4次开始，将有2个棋子是同一颜色。
到第6次，三种颜色的棋子各有2个。
当第7次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象。
同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？
如果要求有4个棋子同一颜色，至少要拿几次？
如果要求5个棋子的颜色相同呢？
6. 5猴摘了一堆桃子。
决定睡后再分。
过了一段时间，来了一只猴，把桃平均分5份，结果多出了1个，就把多出的1个吃了，拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5份，发现也多一个，同样吃了1个，拿走其中的1份，第3，4，5只都是这样，问5只猴至少摘了多少桃子？
第5只猴子走后还剩多少个桃子？
【解答】：
设桃子共有X个，借4个桃成为X+4个。
多一个桃就相当于少4个桃。
5个猴子分别拿了A,B,C,D,E个桃子。
因此有：
A=（X+4）/5
B=4（X+4）/25
C=16（X+4）/125
D=64（X+4）/625
E=256（X+4）/3125
E为整数，所以X+4=3125K
当K=1时，X=3121
因此最少摘了3121个桃子。
然后容易算出最后至少剩余1020个桃子。
7.
唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。
唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。
如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是_____次。
解答
8.
从1至25这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使他们的和是4的倍数，共有多少种不同的取法
解答：
按除以4的余数分类：
（4，8，12，16，20，24）中任取2个：
共15
（2，6，10，14，18，22）中任取2个：
共15
（1，5，9，13，17，21，25）和（3，7，11，15，19，23）中各取1个：
7×6=42
共有15+15+42=72种。
9.
是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？
解答：
枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？
我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以
（n2＋n＋2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以
（n2＋n＋2）÷3余1；
当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以
（n2＋n＋2）÷3余2.
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。
10.如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？
路程总长是多少？
解答：
我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理， AF2=（AC+CE）2+EF2
＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
11.
甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的60％，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？
答案与解析：
①甲仓有粮：
（80＋120）÷（1＋60％）=125（吨）.②从乙仓调入甲仓粮食：
125-80=45（吨）.
出三个正方形的边长是成比例缩小的，即为一个等比数列，而这个比就要用到相似三角形的知识点。
这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候提到过。
可以说是一道难度比较大的题。
当然对于这种有特点
12.
如图，ABCG是的长方形，DEFG是的长方形。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？
答案与解析：
长方形ABCG的面积是28，长方形DEFG的面积是20，梯形ABEF的面积是51，从图中可以看出，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差就等于梯形ABEF的面积减去长方形ABCG的面积再减去长方形DEFG的面积，得到结果
13.
自然数1用了1个数字，自然数20用了2和02个数字，从自然数1到510共用了多少个数字？
答案与解析：
一位数1-9一共用了9个数字
二位数10-99中，有11-99共9个特殊的数，这样的数只用了1个数字，而其他的两位数每个都用了2个数字。
于是一共用了2x（90-9）+9=171
三位数中，先考虑100-199的情况。
其中，111用了1个数字；100,122…199一共有9个数，每一个都用到了2个数字；101,121,131…191一共9个数，每一个都用到了2个数字；其他的每一个都用到了3个数字。
所以一共用了3x（100-9-9-1）+2x9+2x9+1=280.
同理，200-299中也用了280个，300-399用了280个，400-499用了280个。
这时候，就已经用了280x4+171+9=1300。
从500-510中还能用到3x9+2+2=31所以一共1300+31=1331个
14.
已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少?
答案与解析：
画图可知某一个人到C点时间内，第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差90×10/60=15千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差60×1.5=90千米。
而速度比为3：
2；这样我们可以知道甲走的路程就是：
（90-15）÷（3-2）×3=215,所以全程就是215+15=230千米。
15.
甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班和乙班步行的速度都是每小时4千米。
学校有一辆汽车，它的速度是每小时68千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达公园，已知公园相距学校100千米，求汽车行驶的总路程。
答案与解析：
为了使两个班同时到达公园，那么必须汽车来回接送一次，这是一个接送问题，接送问题关键就是画好路线图，
车先载着甲从A到C，然后放下甲，回去接乙，在D碰到乙，然后乙坐上车，跟甲同时到B，因为甲班和乙班的步行速度一样，又是同时到达，所以甲班和乙班的步行路程也一样，所以AD等于BC，根据时间一样，步行和汽车的速度比等于步行和汽车的路程比，如果设乙走的AD为1份，那么车走的AC加上CD为17份，1+17=2AC，所以AC为9份，又BC也为1份，所以总路程AB被我们分成了10份，全长为100千米，一份即为10千米，我们再看汽车走的一共有9+8+9=26份，所以汽车行驶的总路车为260千米。
16.
甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发；第一次相遇点距B处60米。
当乙从A处返回时走了lO米第二次与甲相遇。
A、B相距多少米?
答案与解析：
“第一次相遇点距B处60米”意味着乙走了60米和甲相遇，根据总结，两次相遇两人总共走了3个全程，一个全程里乙走了60，则三个全程里乙走了3×60=180米，第二次相遇是距A地10米。
画图我们可以发现乙走的路程是一个全程多了10米，所以A、B相距=180-10=170米。
17.
甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？
答案与解析：
10分钟两人共跑了（3＋2）×60×10=3000米3000÷100=30个全程。
我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7。
。
。
29共15次。
18.
王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？
答案与解析：
汽车间隔距离是相等的，列出等式为：
（汽车速度-自行车速度）×12=（汽车速度+自行车速度）×4
得出：
汽车速度=自行车速度的2倍. 汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=（2倍自行车速度-自行车速度）×12÷2倍自行车速度=6（分钟）.
19.
一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个?
答案与解析：
共有10×10×10=1000个小正方体，其中没有涂色的为（10-2）×（10-2）×（10-2）=512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000-512=488个。
20.
从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是多少平方厘米?
答案与解析：
最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为（8×7+8×6+7×6）×2-6×6×2=220.
21.
大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走1.5小时，小轿车出发后4小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行5千米，那么出发后3小时就追上了大货车.问：
小轿车实际上每小时行多少千米?
答案与解析：
根据追及问题的总结可知：
4速度差=1.5大货车;3（速度差+5）=1.5大货车，所以速度差=15，所以大货车的速度为60千米每小时，所以小轿车速度=75千米每小时
22.
将14，33，35，30，39，75，143，169这八个数平均分成两组，使他们的成绩相等．______×______×______×______=______×______×______×______．
答案与解析：
14=2×7 35=5×7
33=3×11 39=3×13
143=11×13 169=13×13
75=3×5×5 30=2×3×5
再根据质因数的情况，把含有相同质因数的数归为一组．其中质因数3、5、13各有四个，质因数2、7、11各有二个，因其中二个5及二个13在同一个数中，故分摊时应先考虑，于是可得如下两个小组，每小组中两个数的积分别相等：
然后把两个小组中左右的数按上下或对角线分别结合，就得如下两种分组结果：
第一种：
一组是：
75、14、69、33，
另一组是：
35、30、143、39；
第二种：
一组是：
75、14、143、39
另一组是：
35、30、169、33．
故答案为：
第一种75、14、69、33和35、30、143、39；
第二种75、14、143、39和35、30、169、33．
32.
要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克?
答案与解析：
假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%-25%）=30（克）
这是因为30%的糖水多用了。
于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%-15%）=15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）=200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液600-200=400（克）
答：
需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
24.
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?
答案与解析：
总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188（棵）
二班植树560×48/140=192（棵）
三班植树560×45/140=180（棵）
答：
一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
25.
观察1+3=4;4+5=9;9+7=16;16+9=25;25+11=36这五道算式，找出规律，然后填写2001+（）=2002
答案与解析:
上面的规律是：
右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。
26.
好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?
答案与解析：
（1）劣马先走12天能走多少千米?
75×12=900（千米）
（2）好马几天追上劣马?
900÷（120-75）=20（天）
列成综合算式75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）
答：
好马20天能追上劣马。
27.
一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法?
答案与解析：
取1个苹果有1种方法，取2个苹果有2种方法，取3个苹果有4种取法，以后取任意个苹果的种数等于取到前三个苹果所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：
取完这堆苹果一共有81种方法.
28.
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米?
答案与解析：
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40×（500÷200）]秒，
所以小亮的速度是（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）
答：
小亮的速度是每秒3米。
29.
用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。
三条边的长各是多少厘米?
答案与解析：
3+4+5=1260×3/12=15（厘米）
60×4/12=20（厘米）
60×5/12=25（厘米）
答：
三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
30.
书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法?
答案与解析：
（1）从书架上任取一本书，有3类办法：
第一类办法是从第一层取一本计算机书，有4种方法;第二类是从第二层取1本文艺书，有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书，有两种方法。
根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9（种），所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法。
（2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层1本计算机书，有4种方法;第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法。
根据分布计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是24种，所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。
31.
一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。
问正方形的边长是多少?
答案与解析：
硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：
正方形的边长是4厘米。
32.
一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。
其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。
某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同?
答案与解析：
把四种颜色的球的总数（3+3+3+2）=11看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11+1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
答：
他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
33.
甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套?
答案与解析：
把甲的套数看作5份，乙的套数就是6份。
甲获得的利润是80%×5=4份，乙获得的利润是50%×6=3份
甲比乙多4-3=1份，这1份就是10套。
所以，甲原来购进了10×5=50套。
34.
甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元?
答案与解析：
设方程：
设甲成本为X元，则乙为2200-X元。
根据条件我们可以求出列出方程：
90%×[（1+20%）X+（1+15%）（2200-X）]-2200=131。
解得X=1200。
35.
有两支粗细不同的蜡烛,细蜡烛之长是粗蜡烛之长的2倍,细蜡烛点完需一小时,粗蜡烛点完需两小时.有一次停电,将这两支蜡烛同时点燃,来电时,发现两支蜡烛所剩下的长度一样,问停电多少时间?
答案与解析：
设：
停电X小时，细蜡烛的长度为单位长度2，粗的为1，则细的每小时烧的长度是2，粗的是1/2，依题意列方程：
2-X*2=1-X*1/2
-2X+X/2=1-2
-3/2X=-1
X=2/3
36.
如图，已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C，正方形CEFG绕点C旋转60°，连接BE、DG，则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是多少?
答案与解析：
将ΔCDG绕点C逆时针旋转900，得到ΔCBH,这样点E、C、H在同一直线上，且CE=CG=CH，所以ΔBCE的面积=ΔBCH的面积=ΔCDG的面积，所求面积比为1：
1。
37.
（燕尾定理）如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点，阴影部分的面积是多少平方厘米
答案与解析：
连接F、
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