机械振动课后习题集和规范标准答案第二章习题集和标准答案.docx
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机械振动课后习题集和规范标准答案第二章习题集和标准答案
2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。
设将物体向下拉，使弹簧有静
伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：
设物体质量为m,弹簧刚度为k，贝
mgk，即：
n..k/m..g/
取系统静平衡位置为原点x0,系统运动方程为：
mX&kx0
xo2（参考教材P14）
&0
解得：
X（t）2COSnt
2.2弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。
设
用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
所以:
取系统的平衡位置为原点，得到:
系统的运动微分方程为：
X&0
所以系统的响应为：
x（t）0.2cosnt（m）
弹簧力为：
Fkkx（t）x（t）cosnt（N）
V
2
因此：
振幅为0.2m、周期为一（s）、弹簧力最大值为1N
7
2.3重物mi悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到m1上而无弹跳，如图所示，求其后的运动
解：
取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x0，则
当m有x位移时,
Et;（mi
2
U-kx2
系统有:
m2）X^2
2
1
（能量守恒得：
m?
gh2（mim2）X）2）
因此系统的响应为：
x（t）A0cosntA1sinnt
Ao
其中：
Ai
X。
2&L
k
m?
g2ghk
km1m2
即：
x（t）m^（cos
nt2ghkSinnt）
1m2
0,则当m有
2.4—质量为m、转动惯量为|的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率解：
取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时
转角时，系统有：
Et-1&1m（^&）21（Imr2）&
222
12
U-k（r）2
2
即:
kr2/（I•ad/s）
2.5均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示,试求此杆相对铅垂轴00微幅振动的周期
2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k22ki,k3ki
解：
取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x0,则当
有x位移时，系统有：
Et-m>&
2
U-kx2-k1x25k1x2（其中：
kk-k^）
226k1k2
5
由d（ETU）0可知：
mX&-k1x0
3
即：
”恳（rad/S），T2爲（s）
2.7
如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置0为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。
解：
设物体重量W，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，贝
2
UW（Rr）（1cos）W（Rr）—
2
设&为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：
c（Rr）&r&，即：
&（Rr）&
r
记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为Ia，则:
,W21W2W2
IaIcrrr
g2gg
；Ia&2*3理r2）（」&2
222gr
由d（ETU）
0可知:
r）2&W（R
r）0
即:
n
（rad/s）
2.8横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。
设从平衡位置压低距离x（见图），然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。
解：
建立如图所示坐标系，系统平衡时x0,由牛顿第二定律得:
m&&（Ax）g0，即：
n石
m
XoX
有初始条件为：
0
2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。
图中两个摩擦轮可分别绕水平轴
Oi,02转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径OiA与O2B在同一水平线上），弹簧不受力。
摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为mi，m2。
解：
两轮的质量分别为mi,m2，因此轮的半径比为:
取系统静平衡时10,则有:
Et
Igmiri2）*
2匕们i）2
由d（ET
1（2口2「22）&2寸伽m2）ri2&
1212
2k2（「22）22（kik2）（rii）2
U）0可知：
知皿&（ki曲0
m2
即:
n
（rad/s）,T
"m—mr
；2（kik2）
（s）
2.10如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴
的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为
P的物体，绳与轮缘之间无滑动。
在图示位置，由
水平弹簧维持平衡。
半径R与a均已知，求微振
动的周期
解：
取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时0，则当轮子有转
角时，系统有:
U-k（a）2
2
由d（ETU）0可知：
（I
巳R2）毅ka2
g
即:
n
（rad/s），故T
2
（s）
2.11弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T,如果在m上附加一个质量mi，则弹簧的静伸长增加VI，求当地的重力加速度
解:
QT2
2
QmigkVI
kVI42mVI
Tmi
2.12用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。
摆锤重P,（b）与（c）
中每个弹簧的弹性系数为k/2o
（1）杆重不计；
（2）若杆质量均匀，计入杆重
解：
取系统的摆角为坐标，静平衡时0
（a）若不计杆重，系统作微振动，则有：
Et
由d（ETU）0可知：
一L破PL0
g
即:
如果考虑杆重，系统作微振动，则有:
Et
1（3皿2）&1
UPgL（1cos
）mLgL（1cos
2
miL
由d（ETU）0可知：
（匚叫儿2險
g3
即：
n
（PmiL）g纭T）g
（P
g
（rad/s
J
miL
（b）如果考虑杆重,
系统作微振动,
则有:
Et
2卯丄2）
21k
2打刃
miL
即:
mL）L2&
mL）gkL
4
（P
g2
/PmiL\|
（g_7_）L
g3
（rad/s）
（c）如果考虑杆重，系统作微振动，则有:
2
2）gL7
miL
miL
2）gL0
Et
PmL）L2&
1（3皿2）&2g3
-1
（1）
（1）22
2222
即:
学（-
4g
（-寸）L
g3
miL
mL（rad/S）
2,2
“ab
mX&2kx0
a
2.13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式
答案：
系统的运动微分方程
2.14—台电机重470N，转速为1430r/min，固定在两根5号槽钢组
成的简支梁的中点，如图所示。
每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度
El=1.66105Nm2。
（a）不考虑槽钢质量，求系统的固有频率;
（b）设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率;
（c）计算说明如何避开电机和系统的共振区
2.15一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端,如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率
wL3/（3EI）
2.16求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为
L。
为0，左边液面下降x时，有:
Et-Alx&
2
UAxgx
即:
2.17水箱I与2的水平截面面积分别为Ai、A2,底部用截面为Ao的细管连接＜求液面上下振动的固有频率。
解：
设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降禺时，右
边液面上升X2，液体在水箱I与2和细管中的速度分别为）&,）&,）&，则有：
Et乂Ai（hXJ1X&2乂A3L]&：
[A2（hX2）]X22
222
JA/A3L（A1）2Azh©）2^2
2A3A2
（由于：
hX!
h;hx2h;Ap&A2X^人3炫A2x2）
“x1
AXig-
X2
A
由d（ETU）0可知：
［h（1-）L（
A2
即：
n
（rad/s）
2.18如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性
液体中振动。
设Ti、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周
期。
试证明:
并指出的意义（式中液体阻尼力Fd=2Av）
2.19试证明：
对数衰减率也可用下式表示-ln也,（式中xn是经过n
nXn
个循环后的振幅）。
并给出在阻尼比为0.01、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。
解：
设系统阻尼自由振动的响应为x（t）；
to时刻的位移为Xo；tntonT时刻的位移为Xn；贝9：
XoXentocos（dto）ennTd
XnXen（tonTd）cos[d（tonTd）]
所以有：
In勺nnTdnnln西，即：
-ln^
XnX-nXn
-J-2
当振幅衰减到5o%时，Xno.5xo，即：
nIn2In2
1）当o.oi时，n11;要11个循环；
2）当o.1时，n1.1;要2个循环；
2.20某双轴汽车的前悬架质量为mi=1151kg,前悬架刚度为
ki=1.02105N/m，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架
垂直振动的偏频。
如果要求前悬架的阻尼比0.25，那么应给前悬架设计
多大阻尼系数（c）的悬架减振器？
2.21重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。
要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最
低值。
若物体在静平衡位置以初速度V0开始运动，求此后的运动规律。
解：
设系统上下运动为X坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为:
PP
X&cX&xg
Xo0
*o
物体在平衡位置以初速度o开始运动，即初始条件为:
此时系统的响应为：
（可参考教材P22）
1）当1时：
x（t）ent（A1en^A2en^1）
即：
x（t）oten
3）当1时：
x（t）ent（C1cosdtC2sindt）
Ci0
其中：
C20/d，即：
x（t）ent—°sindt
2.22—个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N/m的驻退弹簧。
如
果发射时炮管后座1.2m，试求：
1炮管初始后座速度；
2减振器临界阻尼系数（它是在反冲结束时参加工作的）；
3炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。
2.23设系统阻尼比0.1，试按比例画出在0.5、1.0、2.0三种
情况下微分方程的向量关系图。
2.24试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的
关系，并计算当0.2、n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。
2.25已知单自由度系统振动时其阻力为cv（其中c是常数，v是运动速度），激励为FF°sint,当n即共振时，测得振动的振幅为X，求
激励的幅值F0。
若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0
2.26某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F50cost（N）,
系统在周期T=0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。
解：
由T
当
2
0.20s时共振可知，系统固有频率为：
n—10
n时，已知响应振幅：
XE，（参教材P30）
c
所以：
5
c（Ngs/m）
X
2.27—个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它
的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。
2.28要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。
2.29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即
2
Fdaxx0
Fdax2x0
求其等效阻尼系数和共振时的振幅。
解：
实际上，这是一种低粘度流体阻尼
设系统的运动为：
x（t）Xcos（t）
/dx
x&d（A|H（w）|w）（wt
）]2[
[a|H（w）|w（wt鬻w3A3sin3（tawXsin（t
32
|H（w）|wAsin（wt
）]dx
Xw
[2（0）t（0）3
）dt
）dt
]
43
3ax
83
sax
8a3x2Ce~3
2.29
x
Xcos（
t）
?
x
Xsin（t）
/
0
?
'2.2/
xdx
/
Wc
/
0
222
2X2sin2（t
2/
/
222
Xsin（t
83
3X
2
WP
WC
CX2
C
8aX
3
X
F°3
Fo
c8aX2
X
3F02
:
8axwn
13Fo
2w2-•2a
x2dx
）（2Xcos（t））dt
2
）（Xcos（t））dt
Fd
?
2
x
?
2
x
?
x0
?
x0
T/4
?
2
e
Fddx
4
0
xdx
T/4
?
3x
4
0
dx
T/4
z3
33
COS
4
0
（t）dt
8
3
z3
2
P
C
C
Z2
旦z
e3Z
ZCF0Z
C0
3F°
8Z2
2.30
当转速为nr
KGIU电动机重P,装在弹性基础上，静下沉量为
/min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫
振动。
试求激励的幅值，不计阻尼。
2.31电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度。
转子重Q，偏心距
为e。
试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。
系统的共振频率为:
2
2kT（klk2）L
2.32—飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的0轴上（图T—2.32）,
并由一联动装置控制。
该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。
调整片转动惯量为I，因而系统固有频率
nKt/I，但因kT不能精确计
算，必须用试验测定n。
为此固定升降舵，利用弹簧k2对调整片做简谐激励，并用弹簧kl来抑制。
改变激励频率直至达到其共振频率t。
试以T和试验装置的参数来表示调整片的固有频率n。
解：
设调整片的转角为，系统的微分方程为:
因此：
kTI0（kik2）L2
调整片的固有频率为:
2kT—2一（k厂k2）L2
nII;0I
不平的道路行进。
试求W的振幅与行进速
度的关系，并确定最不利的行进速度。
解：
由题目
2.33
TL
w
22
T
V
L
yYcosLt
?
?
wX
K（x
y）
?
?
wX
KY
cos
2LVt
?
?
wX
Kx
KY
cos2LVt
2
wSX
2V
L
（s）KX（s）
KY/2V、22
（〒）s
2K_
n~w
KY等
X（S）（s（罕）2）（ws2K）
22丫
X-r^-rsina家討nnt
nan-
Y
Y
Y
1（a/2）20
1（a/f）2
142V2w
KL2
KL2Y
KL2T2V2w
V2lk/w
2.33
TvL
?
?
mXKXKy
?
?
X；x；y
V2
RL2
42m
2.34单摆悬点沿水平方向做简谐运动（图T—2.34）,=asint。
试求
在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。
已知摆长为L,摆锤质量为m。
2.35一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600〜2200r/min范
围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少？
2.36试从式（2.95）证明：
1.无论阻尼比取何值，在频率比/n2时，恒有X=A。
2.
在/n2，X/A随增大而减小，而在/n2，X/A
随
量的最低频率，设要求误差w1%，＜2%
2.38—位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为0.132cm。
问实际振幅是多少？
误差为多少？
2.39一振动记录仪的固有频率为fn=3.0Hz,阻尼比=0.50。
用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为
x=2.05sin4t+1.0sin8t（cm）
证明：
振动记录仪的振动z将为
z=1.03sin（4t-500）+1.15sin（8t-1200）（cm）
2.40
求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零
解:
a
h（t）m^entsindt
h（t）n（t）sin[d（t）]
h（t）m^sindt
h（t2）m^sin[d（t）]
X（t）；dcosn（t）昔（cosnt）
t
F1om；sinn（t）d（t）
2[COSn（tti）]害[1（
tt
X（t）0Fi（t）h（t）dtF2（t）h（t）d
L1
tltt
X（t）0Fdt）h（t）dtiF2（t）h（t）dJ*h（t2）
|[cosn（ttl）COSnt]琴[COSn（tt?
）COSn（tti）]
b
F（）善tF（t）Ft0（t）
ttf
X（t）0F（t）h（t）十[°f（t）dcosnt
Fo[tsinnt]
■r[ti~nr]
titF,sinn（tti）sinnt
X（t）0Fi（）h（t）dti0*h（t）d岂cosn（tti）]—n-]
C
F（）署tF（t）曲）
tF
X（t）0F（t）h（t）d和1cosn（t*）北sinnt]
-1tFsinn（tt1）sinnt
X（t）0Fi（）h（t）dti0*h（t）di[cosnt■-]
的光滑斜面下滑，如图所示。
求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。
解：
弹簧接触墙壁时，m的速度为：
o2gssin30
以接触时m的位置为原点，斜下方为正，则m的微分方程为:
mX&kxmgsin30
xo
考虑到系统的初始条件:
xo.gs，采用卷积分计算系统的响应为:
当m与墙壁脱离时应有x（ti）0
可得到：
ti2侖8盹（（篇）
也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间
2.43—个高Fo、宽to的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个
矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图所示。
用叠加原理求t>to后的
响应
2.44如图T—2.44所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的
锯齿波，求系统的稳态响应
2.45证明式（2.136），即卷积积分满足交换律
h（t）F（t）F（t）h（t）
32CX2
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