北师大版小学数学-知识点.docx
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小学数学总复习材料
——常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数
——小学数学图形计算公式
1、正方形（C：
周长S：
面积a：
边长）
周长＝边长×4C=4a
面积=边长×边长S=a×a
2、正方体（V:
体积a:
棱长）
表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a
3、长方形（C：
周长S：
面积a：
边长）
周长=（长+宽）×2C=2（a+b）
面积=长×宽S=ab
4、长方体（V:
体积s:
面积a:
长b:
宽h:
高）
（1）表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2S=2（ab+ah+bh）
（2）体积=长×宽×高V=abh
5、三角形（s：
面积a：
底h：
高）
面积=底×高÷2s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
6、平行四边形（s：
面积a：
底h：
高）
面积=底×高s=ah
7、梯形（s：
面积a：
上底b：
下底h：
高）
面积=（上底+下底）×高÷2s=（a+b）×h÷2
8、圆形（S：
面积C：
周长лd=直径r=半径）
（1）周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr
（2）面积=半径×半径×л
9、圆柱体（v:
体积h:
高s：
底面积r:
底面半径c:
底面周长）
（1）侧面积=底面周长×高=ch（2лr或лd）
（2）表面积=侧面积+底面积×2
（3）体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体（v:
体积h:
高s：
底面积r:
底面半径）
体积=底面积×高÷3
11、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题的公式
（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数
13、和倍问题
和÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或者和－小数＝大数）
14、差倍问题
差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或小数＋差＝大数）
15、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
16、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
17、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
——常用单位换算:
长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
体（容）积单位换算
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
质量单位换算
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年1年=12月大月（31天）有:
1\3\5\7\8\10\12月
小月（30天）的有:
4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天
1日=24时1时=60分1分=60秒1时=3600秒
——概念
1、自然数：
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
2、计数单位：
3、数位：
3、数的整除（能被2、3、5、4、8（3）、9、25整除）
4、*奇数偶数（能否被2整除，0也是偶数）
5、*质数合数（判断：
因数个数，质数也叫素数，最小质数2，最小合数4，1既不是质数也不是合数）
6、分解质因数：
（每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
7、公因数（几个数公有的因数）、公倍数（几个数公有的倍数）
8、互质数（两个数、互质关系）：
公因数只有1的两个数的两个数。
（1和任何数、相邻两个数、当合数不是质数的倍数时、两个不同质数、两个合数的公因数只有1时）
9、最大公因数、最小公倍数：
*两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。
*较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
*较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
*两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
*几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
10、小数的意义：
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
（注意：
几位小数）
11、小数的分类：
纯小数、带小数、有限、无限、无限不循环、循环、纯循环、混循环小数、
12、分数（意义）：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
——通分、约分；分数分类：
带分数、真分数、假分数；
13、百分数：
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
——方法：
1、数的读法与写法：
整数、小数、分数、百分数
2、数的改写：
准确数（以亿为单位等）、近似数、四舍五入（省略一个数位后的尾数）、大小比较、数的互化（小数-分数、最简分数、小数-百分数、百分数-分数）
——性质和规律
1、商不变的规律（被除数与除数同时扩大或缩小）、
2、小数的性质（末尾填零去掉零，大小不变）、
3、小数点的移动（小数点左右移，位数不够0补足位）
4、分数的基本性质：
分子分母同时乘以或除以相同数（零除外），大小不变——应用于通分5、分数与除法的关系：
被除数÷除数=被除数/除数
被除数相当于分子，除数相当于分母。
（除数与分母不能为零）
6、运算：
（概念）
加法：
把两个数（加数）合并成一个数（和）的运算叫做加法。
减法：
已知两个加数的和（被减数）与其中的一个加数（减数），求另一个加数（差）的运算
乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法
除法：
已知两个因数的积（被除数）与其中一个因数（除数），求另一个因数（商）的运算
加法与减法、乘法与除法互为逆运算
小数、分数的加减乘除法与整数的加减乘除法的意义相同
乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方乘积是1的两个数叫做互为倒数
7、运算定律：
加法交换律：
加数交换位置，和不变）乘法交换律：
交换因数的位置，积不变）
加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变）、（a+b）+c=a+（b+c）
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变）（a×b）×c=a×（b×c）
乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加）
减法的性质：
a-b-c=a-（b+c）。
8、运算法则：
整数：
加、减（数位对齐，低位加起，满十进一，不够减前一位退一作十）乘、除
小数：
加、减（小数点对齐）——乘（因数共有几位小数，积就有几位小数）——除（除数是整数时，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，向右移动除数的小数点变整数，被除数的小数点也向右移动几位，数位不够补0；）
分数：
同分母加、减（分母不变，分子相加减）异分母加、减（先通分，再同分母的法则进行计算）带分数加减（整数部分与分数部分分别加减，再合并）分数乘法（分数乘整数、两个分数相乘）分数除法（除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数）
9、运算顺序：
小括号、中括号、括号外面
没有括号或括号外面——同级运算从左往右，两级运算先第二级运算（乘除法）再第一级运算（加减法））
——应用题：
整数与小数应用题
平均数：
确定总数量和与之相对应的总份数总数÷总份数＝平均数
归一：
（正归一:
单一量×份数=总数量）（反归一:
总数量÷单一量=份数）
已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
归总：
（反比例）是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量
单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。
和差：
已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少
（和＋差）÷2=大数大数－差=小数
（和－差）÷2=小数和－小数=大数
和倍：
已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少
和÷倍数和（倍数+1）=标准数（较小数）标准数×倍数=另一个数
差倍：
已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少
两个数的差÷（倍数－1）=标准数标准数×倍数=另一个数。
行程：
关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。
同时同地相背而行：
路程=速度和×时间。
同时相向而行：
相遇时间=速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：
追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：
路程=速度差×时间。
流水：
一般是研究船在“流水”中航行的问题。
它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。
主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
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船速：
船在静水中航行的速度。
水速：
水流动的速度。
顺水速度：
船顺流航行的速度。
逆水速度：
船逆流航行的速度。
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
还原：
已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数
从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法
植树问题：
清楚总路程、株距、段数、棵树四种数量关系，判断地形，分清是否封闭图形。
沿线段植树沿周长植树
棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
盈亏问题：
把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题。
总差额÷每人差额=人数
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足
第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足
年龄：
年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，其两个不同年龄的差是不会改变
鸡兔：
假设法假设全是兔，鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
假设全是鸡，兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
——分数和百分数的列式或应用
1、分数加减法应用题：
分数加减法应用题与整数加减法应用题解题方法基本相同
2、分数乘法应用题：
已知一个数，求它的几分之几是多少。
即是“已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
”
3、分数除法应用题：
a.一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
解题关键：
“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。
确定标准量看作了“单位一”（一般文字“是”“占”“比”的后一个数是标准量），和单位一的量，作比较的数是比较量，就作被除数。
b.已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少,求这个数。
（已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。
）
解题关键：
准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式.
c.已知一个数是另一个数的几分之几，求另一个数（求比较量用除法）。
4、出勤率发芽率、小麦的出粉率、产品的合格率、职工的出勤率、含糖量、含盐率
5、工程问题：
解题关键：
分数应用题是把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
6、纳税
纳税就是按照一定的比率收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额……）的比率叫做税率。
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
——代数初步知识
一、用字母表示数
用字母表示数的意义和作用
*用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
用字母表示数的写法
数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
将数值代入式子求值
*把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：
先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。
字母表示的是数，后面不写单位名称。
二、简易方程
方程：
含有未知数的等式叫做方程。
方程的解：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题
1列方程解应用题的意义：
用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2列方程解答应用题的步骤
*弄清题意，确定未知数并用x表示；
*找出题中的数量之间的相等关系；
*列方程，解方程；
*检查或验算，写出答案
3列方程解应用题的方法
*综合法：
先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
从部分到整体，其思考方向是从已知到未知。
*分析法：
先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
从整体到部分，其思考方向是从未知到已知。
4、列方程解应用题的范围（小学）
a一般应用题；
b和倍、差倍问题；
c几何形体的周长、面积、体积计算；
d分数、百分数应用题；
e比和比例应用
五、比和比例
1、比的意义和性质——判断前项、后项、比值（比的后项不能是零。
）
（1）比的意义：
两个数相除又叫做两个数的比。
（2）比的性质：
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变
（3）求比值和比的简比
（4）比例尺图上距离：
实际距离=比例尺线段比例尺和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配—方法：
先求出各部分占总量的几分之几，再求出总数的几分之几
2比例的意义和性质
（1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项（内项外项）。
（2）比例的性质：
两个外项的积等于两个两个内向的积。
3正比例（y/x=k（一定））和反比例（x×y=k（一定））
（1）正比例：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，成正比例关系。
（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
——几何的初步知识
一线和角
（1）线——*直线*射线*线段*平行线*垂线（垂足）
两条平行线之间的垂线长度都相等。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
（2）角——角的分类：
锐角、直角、钝角、平角、周角
二平面图形
长方形、正方形
三角形：
内角和是180度。
三角形具有稳定性
按角分：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
按边分：
不等边三角形、等腰三角形（有一条对称轴）、等边三角形（有三条对称轴）
4平行四边形（两组对边分别平行、易变形、对角相等、相邻两个角度数之和为180度）：
5梯形：
只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
6圆（圆周率：
把圆的周长和直径的比值。
）
半径r：
连接圆心和圆上任意一点的线段。
直径d：
通过圆心且两端都在圆上的线段。
周长：
围成圆的曲线的长。
面积：
圆所占平面的大小。
7扇形：
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
计算公式s=n∏r²/360
圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
扇形有一条对称轴。
8环形：
由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
计算公式s=∏（R²-r²）
9轴对称图形：
一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
正方形有4条对称轴。
长方形有2条对称轴。
等腰三角形有2条对称轴。
等边三角形有3条对称轴。
等腰梯形有一条对称轴。
圆有无数条对称轴。
菱形有4条对称轴。
扇形有一条对称轴。
三立体图形
（一）长方体
特征：
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
计算公式：
s=2（ab+ah+bh）V=shV=abh
（二）正方体（特殊的长方体）
特征：
六个面都是正方形；六个面的面积相等；12条棱，棱长都相等；有8个顶点。
计算公式：
S表=6a²v=a³
（三）圆柱
底面：
圆柱的上下两个面侧面：
圆柱的一个曲面高：
圆柱两个底面之间的距离
进一法：
实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略
的位上的即使是4或者比4小，都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
计算公式s侧=chs表=s侧+s底×2v=sh/3
（四）圆锥（侧面展开得到一个扇形）计算公式v=sh/3
底面是圆，圆锥的侧面是个曲面、（圆锥的顶点、底面圆心、高。
）
（五）球
——简单的统计
一统计表
（一）意义
*把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做
统计表。
（二）组成部分
*一般分为表格外和表格内两部分。
表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
*单式统计表：
只含有一个项目*复式统计表：
含有两个或两个以上统计项目
*百分数统计表：
表明各统计项目的具体数量与百分比的统计表。
（四）制作步骤
1搜集数据2整理数据、分类。
3设计草表4正式制表（包括表的名称和制表日期）
二统计图*用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
（二）分类
1条形统计图：
用一个单位长度表示一定数量，根据数量画长短不同的直条，再按照一定顺序排列起来。
优点：
很容易看出各种数量的多少。
复式条形统计图：
表示不同项目的直条用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面
注明图例。
注意：
画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
制条形统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画两条互相垂直的射线。
（2）确定直线的宽度和间隔。
（3）确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
2折线统计图：
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量描出各点，再用线段顺次连接起来。
优点：
不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：
折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据
年份或月份的间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画两条互相垂直的射线。
（2）确定直线的宽度和间隔。
（3）确定单位长度表示多少。
（4）确定描出各点，用线段顺次连接起来，并注明数量。
3扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
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