等比数列基础习题选附详细解答.docx

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等比数列基础习题选附详细解答

解答：

解：

∵{an}是等比数列，a2=2，a5=

，

设出等比数列的公比是q，

∴a5=a2•q3，

∴

=

=

，

∴q=

，

故选D

点评：

本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．

　2．

考点：

等比数列．501974

分析：

由等比数列的性质知（a2a9）=（a3a8）=（a4a7）=（a5a6）=（a1a10）．

解答：

解：

因为数列{an}是等比数列，且a1=1，a10=3，

所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=（a1a10）4=34=81，

故选A

点评：

本题主要考查等比数列的性质．

　3．

考点：

等比数列．501974

分析：

由等比数列的等比中项来求解．

解答：

解：

由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，

b×b=9且b与奇数项的符号相同，

∴b=﹣3，

故选B

点评：

本题主要考查等比数列的等比中项的应用．

　4．

考点：

等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．501974

专题：

计算题．

分析：

由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．

解答：

解：

∵1，a1，a2，4成等差数列，

∴3d=4﹣1=3，即d=1，

∴a2﹣a1=d=1，

又1，b1，b2，b3，4成等比数列，

∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，

又b12=b2＞0，∴b2=2，

则

=

．

故选A

点评：

本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点

　5．

考点：

等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．501974

专题：

计算题．

分析：

由题意可得

=a2a4=1，解得a3=1，由S3=13可得a1+a2=12，，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q和a1的值，

由此得到an的解析式，从而得到bn的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．

解答：

解：

∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，

∴

=a2a4=1，解得a3=1．

由a1+a2+a3=13，可得a1+a2=12．

设公比为q，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q=

，a1=9．

故an=9×

=33﹣n．

故bn=log3an=3﹣n，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是

=﹣25，

故选D．

点评：

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an=33﹣n，是解题的关键，属于基础题．

　6．

考点：

等比数列的通项公式．501974

专题：

计算题．

分析：

要求a4，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到a6，左右两边相减得到a2，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q，得到等比数列的通项公式，令n=4即可得到．

解答：

解：

设此等比数列的首项为a，公比为q，

由a6+a2=34，a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64，解得a6=32；两个等式相减得到2a2=4，解得a2=2．

根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①，a2=aq=2②，把②代入①得q4=16，所以q=2，代入②解得a=1，

所以等比数列的通项公式an=2n﹣1，则a4=23=8．

故选A

点评：

此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通项公式．本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6．

　7．

考点：

等差关系的确定；等比关系的确定．501974

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

由于

=n2+n﹣λ，而n2+n﹣λ不是固定的常数，不满足等比数列的定义．若是等差数列，则由a1+a3=2a2，解得λ=3，此时，

，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．

解答：

解：

由

可得

=n2+n﹣λ，由于n2+n﹣λ不是固定的常数，故数列不可能是等比数列．

若数列是等差数列，则应有a1+a3=2a2，解得λ=3．

此时，

，显然，此数列不是等差数列，

故选A．

点评：

本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．

　8．

考点：

等比关系的确定；等差关系的确定．501974

专题：

计算题．

分析：

由点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，可得Sn=3n+2，再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解．

解答：

解：

由题意，∵点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上

∴Sn=3n+2

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3

当n=1时，a1=5

∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列

故选D

点评：

本题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．

　9．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

探究型．

分析：

a1+a3=

，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；

，所以

；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．

解答：

解：

设等比数列的公比为q，则a1+a3=

，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；

，∴

，故B正确；

若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；

若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确

故选B．

点评：

本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

　10．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．

解答：

解：

当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，

②÷①得：

=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，

当q=﹣4时，由①得：

a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，

则公比q=4．

故选B

点评：

此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．

　11．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到

等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可．

解答：

解：

由a5=﹣8a2，得到

=q3=﹣8，解得q=﹣2，

又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1

则an=a1qn﹣1=（﹣2）n﹣1

故选A

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．

　12．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别记作①和②，把①提取q后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出q的值．

解答：

解：

由a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1得：

，

由①得：

q（a1q4﹣2a1q）=2③，

把②代入③得：

q=2．

故选B

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．

　13．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，故有lga3+lga4=lga3a4=lg10=1．

解答：

解：

∵正项等比数列{an}中，a2a5=10，∴a3a4=10，∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1，

故选B．

点评：

本题考查等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，是解题的关键．

　14．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

在等比数列{bn}中，由b3•b9=b62=9，能求出b6的值．

解答：

解：

∵在等比数列{bn}中，

b3•b9=b62=9，

∴b6=±3．

故选B．

点评：

本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

　15．

考点：

等比数列的性质．501974

分析：

由

，根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=

，再结合三角函数的性质可求出tan（a1a4a9）的值．

解答：

解：

∵

，

∴a1a4a9=

，

∴tan（a1a4a9）=

．

故选B．

点评：

本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换．

16．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，进而得到答案．

解答：

解：

由题意可得：

在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq．

因为a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，

所以a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=9．

故选A．

点评：

解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以选择题的形式出现．

　17．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

首先根据等比数列的前n项和对

=3进行化简，求出q3，进而即可求出结果．

解答：

解：

∵

=3，

∴

整理得，1+q3=2，

∴q3=2

∴

=

故选B．

点评：

本题考查了等比数列的关系，注意在题中把q3当作未知数，会简化运算．

　18．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．

解答：

解：

∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1①a1q3+a1q2=9②

两式相除得，q=±3

∵an＞0

∴q=3a1=

∴a4+a5=a1q3+a1q4=27

故选B．

点评：

本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题．

19．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

由等比数列的性质可得：

a1a2a3=a23，结合题意即可得到答案．

解答：

解：

由等比数列的性质可得：

a1a2a3=a23，

因为a2=3，所以a1a2a3=a23=27．

故选B．

点评：

本题考查了等比数列的性质，解题的关键a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k，属于中档题．

　20．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

先用等比数列{an}各项均为正数，结合等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0，从而a1a2a3…a9a10=

（a5a6）5，然后用对数的运算性质进行化简求值，可得正确选项．

解答：

解：

∵等比数列{an}各项均为正数

∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0

∵a4a7+a5a6=16

∴a5a6=a4a7=8

根据对数的运算性质，得

log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2a3…a9a10）=log2（a5a6）5=log2（8）5=15

∵（8）5=（23）5=215

∴log2（8）5=log2215=15

故选A

点评：

本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，考查了转化化归的数学思想，属于基础题．

　21．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质得到第6项的平方等于第4项与第8项的积，又根据韦达定理，由a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根即可得到第4项与第8项的积，进而求出第6项的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质变为关于第6项的式子，把第6项的值代入即可求出值．

解答：

解：

根据等比数列的性质得：

a62=a4a8，

又a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，得到a4a8=2，

则a62=2，解得a6=±

，

则a5a6a7=（a5a7）a6=a63=±2

．

故选B

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的性质及韦达定理化简求值，是一道基础题．

22．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

先利用等比数列通项的性质，求得a5=3，再将

化简，即可求得

的值．

解答：

解：

∵等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，

∴

∴a5=3

设等比数列的公比为q

∵

=

=

∴

=3

故选C．

点评：

本题重点考查等比数列通项的性质，考查计算能力，属于基础题．

　23．

考点：

等差数列的性质；等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

根据题设条件，设中间两数为x，y，由3，x，y成等比数列，知x2=3y，由x，y，9等比数列，知2y=x+9，列出方程组

，从而求得这两个数的和．

解答：

解：

设中间两数为x，y，

则

，

解得

，

所以

=11

．

故选C．

点评：

本题主要考查等比数列和等差数列的性质，是基础题，难度不大，解题时要认真审题，仔细解答．

　24．

考点：

等比数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

由等比数列的通项公式可得9=1×a4，解得a2=3，从而得到公比．

解答：

解：

由题意可得9=1×a4，∴a2=3，故公比为

=3，

故选C．

点评：

本题考查等比数列的通项公式，求出a2的值，是解题的关键．

　25．

考点：

等比数列的前n项和；数列的求和．501974

专题：

计算题．

分析：

根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：

s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．

解答：

解：

根据题意，在sn+sm=sn+m中，

令n=1，m=9可得：

s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，

根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，

故选A．

点评：

本题考查数列的前n项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法．

　26．

考点：

等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．501974

专题：

计算题．

分析：

把已知的前7项和S7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{an2}是首项为a1，公比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a12+a22+…+a72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出

的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出

的值代入即可求出值．

解答：

解：

∵S7=

=16，

∴a12+a22+…+a72=

=

•

=128，

即

=8，

则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+（a5﹣a6）+a7

=a1（1﹣q）+a1q2（1﹣q）+a1q4（1﹣q）+a1q6=

+a1q6

=

=8．

故选A

点评：

此题考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．

　27．

考点：

等比数列的前n项和；等差数列的性质．501974

专题：

计算题．

分析：

利用a1=1，4a1，2a2，a3成等差数列，求得等比数列的公比，即可求出S4的值．

解答：

解：

设等比数列的公比为q，则

∵a1=1，4a1，2a2，a3成等差数列，

∴4q=4+q2，

∴q=2

∴S4=1+2+4+8=15

故选D．

点评：

本题考查等比数列的通项与求和，考查等差数列的性质，解题的关键是确定数列的公比，属于基础题．

二．填空题（共3小题）

28．

考点：

等比关系的确定．501974

专题：

计算题．

分析：

由a1=1，an=2an﹣1+3，可得an+3=2（an﹣1+3）（n≥2），从而得{an+3}是公比为2，首项为4的等比数列．

解答：

解：

∵数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，

∴an+3=2（an﹣1+3）（n≥2），

∴{an+3}是公比为2，首项为4的等比数列，

∴an+3=4•2n﹣1，

∴an=2n+1﹣3．

故答案为：

2n+1﹣3．

点评：

本题考查等比关系的确定，关键在于掌握an+1+m=p（an+m）型问题的转化与应用，属于中档题．

29．

考点：

数列的求和；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．501974

专题：

计算题．

分析：

利用分组求和，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解

解答：

解：

∵Sn=

=（3+4+…+n+2）

=

=

=

故答案为：

点评：

本题主要考查了利用分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用，属于基础题

　30．

考点：

等比数列的性质；等比数列的前n项和．501974

专题：

计算题．

分析：

利用数列前n项和的定义及等比数列通项公式得出

=1+q5=

，解出q即可．

解答：

解：

∵{an}是等比数列，由数列前n项和的定义及等比数列通项公式得S10=（a1+a2+…a5）+（a6+a7+…+a10）=S5+q5（a1+a2+…a5）=（1+q5）S5∴

=1+q5=

，q5=

，q=

，

故答案为：

．

点评：

本题主要考查等比数列前n项和的计算、通项公式．利用数列前n项定义，避免了在转化

时对公比q是否为1的讨论．