把区间[a,b]分成个不同长度的小区间[x0,x1][x1,x2],⋯[xn-1,xn]，
记为[xi-1,xi],i=1,2,⋯n，
它们的长度依次可以分为：
Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,⋯,Δxn-xn-1.
设∆x=max{∆x1,∆x2,⋯,∆xn},经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，
第i个小曲边梯形的面积记作∆Ai，i=1,2,⋯i.
（2）以“直”代“曲”：
用分出的诸多个小矩形的面积代替曲边梯形的面积。
如图2-2
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，以[xi-1,xi]为底，fξi为高的小矩形近似替代第i个小曲边梯形（i=1,2,⋯n），则有∆Ai=fξi∆xi，i=1,2,⋯n.
（3）积“零”为“整”：
求n个小矩形面积之和。
将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积，即A=i-1n∆Ai≈fξ1∆x1+fξ2∆x2+⋯fξn∆xn=i-1nfξi∆xi.
（4）取极限：
由近似值过渡到精确值，当∆x→0时，可以求得曲边梯形的面积A=lim∆x→0i-1nfξi∆xi。
[4]
2.2化归思想
化归思想的实质是在许多可能的答案进行分析对比，尽量排除错误答案或者从另一个方面去解决问题的思想方法。
[4]
化归思想有三个重要分类：
化归对象，化归目标和化归途径。
在所学习到的心理学中关于认知心理学的描述为人们在认知新的事物理解新的问题都是要以曾经的旧的记忆为基础，形成前摄抑制。
有助于加强两者之间的联系，而这种联系就会用到数学思想中的化归思想。
在数学问题中我们常常会将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；[5]像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”。
在数学中利用化归原则解决问题时的一般模式可以归结为图2-3:
问题
解答
解答
问题
化归
还原
图2-3
求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在。
然而，在将曲线之间进行任意分割为n个小区间后，得到了n个小矩形。
通过对矩形面积的加和得到曲边梯形的面积的近似值，这样问题就迎刃而解。
省去了诸多麻烦。
如图2-4
求曲边梯形的面积
解
求小矩形面积之和
求小矩形面积
化归
还原
图2-4
这样在解决问题时运用化归思想可以节省人力,由此可见其简洁性。
第3章微积分在中学数学中的应用
3.1导数在函数单调性问题上的应用
中学数学中讨论函数y=fx的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取x1>x2，若fx1-fx2>0，则y=fx在该区间单调递增，若fx1-fx2<0，则y=fx在该区间单调递减。
当我们在运用微积分方法讨论函数的单调性时，只需求出fx，再考虑f'（x）的正负即可.这个方法简便易操作，在很多方面都能得到运用。
例1[6]已知函数fx=xlnx，讨论y=fx的单调性。
解fx的定义域为（0,+∞），f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，得x=1e，
当x∈（0,+∞）时，f'（x），fx的变化情况如表1：
表1：
x
（0,1e）
1e
（1e,+∞）
f'（x）
-
0
+
fx
极小值
所以，fx在（0,+∞）上的最小值是f1e=-1e.
当x∈（0,1e），fx单调递减且fx的取值范围是（-1e,0）；
当x∈（1e,+∞），fx单调递增且fx的取值范围是（-1e,+∞）.
3.2利用导数求函数的极值问题
设fx在点x0连续，在点x0的某一空心领域内可导，当x由小增大经过x0时，如果：
（1）fx由正变负，那么x0是极大值点；
（2）fx由负变正，那么x0是极小值点；
（3）fx不变号，那么x0不是极值点.
注明：
（1）驻点不一定是fx的极值点.比如说x=0是函数fx=x3的驻点，但不是其极值点。
（2）极值点还可能是使导数不存在的点。
如函数fx=x，在x=0处导数不存在，但是x=0是它的极小值点。
例2已知函数fx=ax3+bx2+cx的导函数图像分别经过点（1,0）,（2,1）。
在x0取得极小值5，如图3-1
所示，求：
（1）x0的值；
（2）a,b,c的值；
（3）fx的极大值.
解f'（x）=3ax3+2bx2+c
（1）观察图象，我们可发现：
图3-1
当x∈（-∞,1）时，f'（x）>0，此时fx为增函数；当x∈（1,2）时，f'（x）<0，此时fx为减函数；当x∈（2,+∞）时，f'（x）>0，此时fx为增函数.
因此在x=2处函数取得极小值.结合已知，可得x0=2.
（2）由
（1）知f2=5，即8a+4b+2c=5，再结合f'（x）的图象可知，方程f'（x）=3ax3+2bx2+c=0的两根分别是,.那么1+2=-2b3a1×2=c3a，即2b=-9ac=6a.
联立8a+4b+2c=5，得a=52，b=-454，c=15.
（3）由
（1）知fx在x=1处函数取得极大值，所以
f（x）极大值=f1=a+b+c=52-454+15=254
3.3函数的变化形态及作图
对于一些非初等函数的解决，采用描点法非常复杂而且很容易出现错误，有许多的不方便和棘手的问题。
[7]比如说如果点取得不够多的话，也许就会得到一个错误的图象；造成不必要的麻烦。
例如函数y=11+x2与的正确图形应为图3-2所示，而用描点法很可能会绘制出图3-3的错误图形。
图3-3
图3-2
例3[8]作函数y=x33-x2+2的图形.
解该函数的定义域为（-∞,+∞），
曲线与y轴的交点为（0,2）.利用连续函数可得到
y=x2-2x=x（x-2），y'=2x-2.
令y'=0，得驻点x=0，x=2；令y'=0，得x=1.
列表如表2:
表2：
x
（-∞,0）
0
（0,1）
1
（1,2）
2
（2,+∞）
fx
+
0
-
-
-
0
+
f'（x）
-
-
0
+
+
+
+
fx
极大值
拐点
极小值
作图像如图3-4：
图3-4
3.4微积分在解方程中的应用
由于知识的限制，所讨论的相关方程的问题相对都是比较简单。
但是随着微积分的介入，对解方程的探讨加深了，从而也使微积分的工具性，简洁性凸显了出来。
在超越方程中讨论根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求很高，往往会由于作图误差而出错。
[9]
例4[10]求方程x3-3x2+6x-1=0在（0,1）内是否有实根，若有，请证明并求出它的近似值,使误差不超过0.01.若没有，请说明原因。
解设fx=x3-3x2+6x-1，则f'（x）=3x2-6x+6，f''（x）=6x-6，容易验证在区间（0,1）上，f'（x）>0，f''（x）<0，f0=-1，f1=3.
因为fx在（0,1）内连续，而且是单调递增，两端点处的函数值异号，
所以此方程在（0,1）内只有1个实根.
可以看出在（0,1）内，曲线是单调递增、下凹并从x轴的下方穿过x轴到上方的，曲线与x轴交点的横坐标x0.就是方程在（0,1）内的根，现在用切线法求根的近似值.
我们可与在端点A（a,fa）处作切线的方法来求方程实根的近似值，
现在a=0，
所以x1'=0-f0f'（0）=16它比a=0更接近于根x0，
继续施行这样的方法，得：
x2'=16-f（16）f'（16）≈0.18，x3'=0.18-f（0.18）f'（0.18）≈0.18.
因为f（0.18）<0，而f（0.19）>0，所以取0.18为根的近似值，它的误差就不超过0.01.
3.5不等式的证明
不等式的证明方法虽然多种多样，各有千秋，但是至今为止都没有较为实用统一的方法。
初等数学的解题技巧是通过应用已有的基本不等式来证明，用此方法往往先要进行恒等变形才能运用的解题中去，但是对于数学知识掌握较少的同学难以完美的运用这个方法。
[11]
在利用微积分的方法和知识进行解题的时候，需要将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数的方法判断函数的单调性或者最值来证明不等式，这样就可以简化证明不等式的过程，降低解题技巧性从而降低在运算时出错的几率达到事半功倍的效果。
[12]
例5[13]证明不等式ex>1+x,（x>0）.
证明设fx=ex-1-x，
则f'（x）=ex-1>0，（x>0），所以fx递增，
又f0=0，故fx=ex-1-x，
即ex>1+x.
例6[14]设e是自然对数的底，π是圆周率，求证:
eπ>πe.
证明因为函数y=lnx单调递增，故eπ>πe等价于lneπ>lnπe，
即πlne>elnπ，即lnee>lnππ.
令fx=lnxx（x≥e），则
f'（x）=1-lnxx2.
因此，当x>e时，f'（x）<0，于是fx在（e,+∞）内单调递减，
从而fe>fπ，即lnee>lnππ，原命题得证.
3.6恒等式的证明
组合恒等式就是在数学中表示组合数之间的关系。
在解决组合恒等式的过程中我们经常会去应用组合数的定义和概念，虽然这样也能求的最后正确的答案，但是化归思想告诉我们要用多个思想去思考问题。
由此在其基础上就探索到解决组合恒等式的另一个方法，微分法。
微分法相较于用组合数的定义去解决问题的优点是便于计算但是缺点却也是没有使用概念那样容易所被人理解。
例7求证：
Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn=n2n-1.
本题不能用求和公式证明，
但是可以用二项式定理求导得证。
证明因为（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+⋯+Cnnxn，
对等式两边求导得：
n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+⋯+nCnnxn，
令x=1即得：
Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn=n2n-1.
3.7曲线的切线及求法
曲线是我们学习函数时经常碰到啊的问题之一。
而函数的切线则是反映曲线整体属性的局部个体。
在教材中对于曲线在可导点处都有介绍，但对于在不可导点处的切线的文字描述却是寥寥无几，所以因为知识的短缺造成了我们在求曲线切线时往往容易发生遗漏。
例8已知a>0，函数fx=ln（2-x）+ax.
（1）l设曲线y=fx在点（1,f1）处的切线为，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函数fx在[0,1]上的最小值.
解
（1）依题意有x<2，f'（x）=a+1x-2，过点（1,f1）的直线斜率为a-1，所以过点（1,a）的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）.
又已知圆的圆心为（-1,0），半径为1.所以1-a+1（a-1）2+1=1，解得a=1.
（2）当2-1a≤0，即0当0<2-1a<1，即12所以需要比较f0=ln2和f1=a两个值的大小.
因为e12<312<2当ln2≤a<1时，最小值为ln2.当2-1a≥1，即a≥1时，fx在[0,1]上是增函数.
所以最小值为ln2.
综上，当0ln2时，fx的最小值为ln2.
第4章结论
微积分不仅研究了各种函数和函数的微分与积分，还由此衍生了许许多多的解题方法。
为数学工作的研究及开展奠定了不可撼动的基础。
[15]例如解决函数的未知性，但是如果我们在知道变量与函数之间的关系式的话就可以组成等式关系式即我们常说的代数方程。
由此就可以通过求出代数方程根的形式解答出我们需要的未知数。
微积分在数学史上留下了不可磨灭的作用，他不仅是解决数学问题的有力工具、方法和手段，也拓宽人们在数学问题解决的思路。
微积分是数学数学史上的璀璨的一颗明珠，她为众多的求学者指明道路并吸引着越来越多人的前赴后继。
在即将从事的数学教学中，我明白了微积分的重要性，并且有了更高的思想觉悟。
通过对微积分的了解我也理解到向学生介绍微积分的思想，激发他们学习知识的兴趣是很有必要的。
用微积分处理中学数学中的问题会产生事半功倍的效果，对于加强初等数学与高等数学的联系，提高教师自身把握教材的能力，开拓教师和学生的思路都很有帮助。
在今后的学习中我将继续遨游在微积分的海洋里探索这颗明珠带来的不可思议的世界，以拓展思路加强自身知识素养.
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（1）.（5）86～98
致谢
大学三年的时光一眨眼间就过去了，这三年是我人生中很重要的学习时间，在这三年里我不仅学习了很多新知识还结交了许许多多对我有帮助的朋友。
养成了对生活积极的态度。
在新乡学院的时间里，通过对各门课程的学习和与相关专业老师的沟通，使我深感机会难得，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
在这次论文的创作中遇到了许许多多难以解决的问题，单凭我的一己之力在这么短的时间里完成论文所需素材的采集，对数学问题的研究和探讨是非常吃力的。
在此过程中我的论文导师王永忠老师给了我许多的指导意见和建议。
并在这些数学问题的思想方法上给了我许多专业的见解，使我不仅是完成了毕业论文还使我增长了许多的数学知识。
大学三年我的努力学习也得到了应有的回报。
坚持和自制也是在以后的人生道路上不能舍弃的精神，大学其实容易使人心生倦怠，但是我身上的精神并没有消退反而是得到了加强，这一精神如果没有418同学们的鼓励和支持也不会有这么健康的状态去完成。
使他们的陪伴使我的第一篇论文有了更高层次的提升。
促进了论文的顺利完成。
在多的感谢之词都表达不出我内心的喜悦和感动。
衷心的希望那些帮助过我的老师和同学在事业和学业上有更高层次的提升。
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