②除以小于1的数,商大于被除数:
a÷b=c当b<1时,c>a(a≠0b≠0)
③除以等于1的数,商等于被除数:
a÷b=c当b=1时,c=a
三、分数除法混合运算
1、混合运算用梯等式计算,等号写在第一个数字的左下角。
2、运算顺序:
①连除:
属同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数,等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。
加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。
②混合运算:
没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算括号外面。
注:
(a±b)÷c=a÷c±b÷c
四、比:
两个数相除也叫两个数的比
1.1、比式中,比号(∶)前面的数叫前项,比号后面的项叫做后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
2.比值通常用分数、小数和整数表示。
3.比的后项不能为0。
注:
连比如:
3:
4:
5读作:
3比4比5
2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。
例:
12∶20==12÷20==0.612∶20读作:
12比20
前项
前项
比号
后项
后项
比值
注:
区分比和比值:
比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。
比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质:
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比值不变。
4、化简比:
化简之后结果还是一个比,不是一个数。
(1)、用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)、两个分数的比,用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
也可以求出比值再写成比的形式。
(3)、两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成整数比。
5、求比值:
把比号写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当于商,不是比。
6、比和除法、分数的区别:
除法
被除数
除号(÷)
除数(不能为0)
商不变性质
除法是一种运算
分数
分子
分数线(——)
分母(不能为0)
分数的基本性质
分数是一个数
比
前项
比号(∶)
后项(不能为0)
比的基本性质
比表示两个数的关系
附:
商不变性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:
分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
五、分数除法和比的应用
1、已知单位“1”的量用乘法。
例:
甲是乙的,乙是25,求甲是多少?
即:
甲=乙×(15×=9)
2、未知单位“1”的量用除法。
例:
甲是乙的,甲是15,求乙是多少?
即:
甲=乙×(15÷=25)(建议列方程答)
3、分数应用题基本数量关系(把分数看成比)
(1)甲是乙的几分之几?
甲=乙×几分之几(例:
甲是15的,求甲是多少?
15×=9)
乙=甲÷几分之几(例:
9是乙的,求乙是多少?
9÷=15)
几分之几=甲÷乙(例:
9是15的几分之几?
9÷15=)(乙是单位“1”)
(2)甲比乙多(少)几分之几?
A差÷乙=(“比”字后面的量是单位“1”的量)
(例:
9比15少几分之几?
(15-9)÷15===)
B多几分之几是:
–1
(例:
15比9少几分之几?
15÷9=-1=–1=)
C少几分之几是:
1–
(例:
9比15少几分之几?
1-9÷15=1–=1–=)
D甲=乙±差=乙±乙×=乙±乙×=乙(1±)
(例:
甲比15少,求甲是多少?
15–15×=15×(1–)=9(多是“+”少是“–”)
E乙=甲÷(1±)
(例:
9比乙少,求乙是多少?
9÷(1-)=9÷=15)(多是“+”少是“–”)
(例:
15比乙多,求乙是多少?
15÷(1+)=15÷=9)(多是“+”少是“–”)
4、按比例分配:
把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
例如:
已知甲乙的和是56,甲、乙的比3∶5,求甲、乙分别是多少?
方法一:
56÷(3+5)=7甲:
3×7=21乙:
5×7=35
方法二:
甲:
56×=21乙:
56×=35
例如:
已知甲是21,甲、乙的比3∶5,求乙是多少?
方法一:
21÷3=7乙:
5×7=35
方法二:
甲乙的和:
21÷=56乙:
56×=35
方法三:
甲÷乙=乙=甲÷=21÷=35
5、画线段图:
(1)找出单位“1”的量,先画出单位“1”,标出已知和未知。
(2)分析数量关系。
(3)找等量关系。
(4)列方程。
注:
两个量的关系画两条线段图,部分和整体的关系画一条线段图。
(四)比的应用
1、比的第一种应用:
已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?
例如:
六年级有60人,男女生的人数比是5:
7,男女生各有多少人?
题目解析:
60人就是男女生人数的和。
解题思路:
第一步求每份:
60÷(5+7)=5人
第二步求男女生:
男生:
5×5=25人女生:
5×7=35人。
2、比的第二种应用:
已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?
例如:
六年级有男生25人,男女生的比是5:
7,求女生有多少人?
全班共有多少人?
题目解析:
“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路:
第一步求每份:
25÷5=5人
第二步求女生:
女生:
5×7=35人。
全班:
25+35=60人
3、比的第三种应用:
已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?
六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人),男女生的比是7:
5,男女生各有多少人?
全班共有多少人?
7、比在几何里的运用:
(1)已知长方形的周长,长和宽的比是a:
b。
求长和宽、面积。
长=周长÷2×宽=周长÷2× 面积=长×宽
(2)已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是a:
b:
c。
求长、宽、高、体积
长=周长÷4×宽=周长÷4×
高=周长÷4× 体积=长×宽×高
(3)已知三角形三个角的比是a:
b:
c,求三个内角的度数。
三个角分别为:
180× 180× 180×
(4)已知三角形的周长,三条边的长度比是a:
b:
c,求三条边的长度。
三条边分别为:
周长× 周长× 周长×
第四单元圆
一、.圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形,.
2、圆的特征:
外形美观,易滚动。
3、圆心o:
圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心(o)。
半径r:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。
半径确定圆的大小。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
直径d:
通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内:
d=2r或r=d÷2=d=
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
4、等圆:
半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完全重合。
同心圆:
圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形:
半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有二条对称轴的图形:
长方形
有三条对称轴的图形:
等边三角形
有四条对称轴的图形:
正方形
有无条对称轴的图形:
圆,圆环
6、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。
(2)画圆步骤:
定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率:
圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母π表示。
即:
圆周率π==周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)——周长公式:
c=πd,c=2πr
d=c÷r=c÷÷2
注:
圆周率π是一个无限不循环小数,3.14是近似值。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3、周长的变化的规律:
半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3
4、半圆周长=圆周长一半+直径=×2πr=πr+d
圆周长的一半=r
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份数越多拼成的图像越接近长方形。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长×宽
所以:
圆的面积=长方形的面积=长×宽=圆的周长的一半(πr)×圆的半径(r)
S圆=πr×r
S圆=πr×r=πr2
2、几种图形,在面积相等的情况下,圆的周长最短,而长方形的周长最长;反之,在周长相等的情况下,圆的面积则最大,而长方形的面积则最小。
周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,篮子、盘子做成圆形。
3、圆面积的变化的规律:
半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
如果:
r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3
则:
=
在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如:
在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍,而面积扩大16倍。
4一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,
它的面积是S=R²-r² 或 S=(R²-r²)。
5、半圆面积=圆的面积2 公式为:
S=r²2
6、常用数据
π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π=15.7
7当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小
第五单元、百分数
一、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
注:
百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:
都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:
意义不同:
百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不能带单位。
分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。
百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数。
注:
百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。
“%”的两个0要小写,不要与百分数前面的数混淆。
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:
小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:
小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:
先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:
分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
(5)小数化分数:
把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
(6)分数化小数:
分子除以分母。
二、百分数应用题
1、求常见的百分率如:
达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几(甲-乙)÷乙增加百分之几=增加的部分÷单位1
求乙比甲少百分之几(甲-乙)÷甲减少百分之几=减少的部分÷单位1
3、求一个数的百分之几是多少一个数(单位“1”)×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数部分量÷百分率=一个数(单位“1”)
5、折扣折扣、打折的意义:
几折就是十分之几也就是百分之几十
折扣
成数
几分之几
百分之几
小数
通用
八折
八成
十分之八
百分之八十
0.8
八五折
八成五
十分之八点五
百分之八十五
0.85
五折
五成
十分之五
百分之五十
0.5
半价
8、百分数应用题型分类
(1)求甲是乙的百分之几——(甲÷乙)×100%=×100%=百分之几
(2)求甲比乙多(少)百分之几——×100%=×100%
例
①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?
(50是40的百分之几?
)50÷40=125%
②甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?
(40是50的百分之几?
)40÷50=80%
③乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?
(40的125%是多少?
)40×125%=50
④甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少?
(50的80%是多少?
)50×80%=40
⑤乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?
(一个数的80%是40,这个数是多少?
)40÷80%=50
⑥甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?
(一个数的125%是50,这个数是多少?
)50÷125%=40
⑦甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?
(50比40多百分之几?
)(50-40)÷40×100%=25%
⑧甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?
(40比50少百分之几?
)(50-40)÷50×100%=20%
⑨甲比乙多25%,多10,乙是多少?
10÷25%=40
⑩甲比乙多25%,多10,甲是多少?
10÷25%+10=50
⑪乙比甲少20%,少10,甲是多少?
10÷20%=50
⑫乙比甲少20%,少10,乙是多少?
10÷20%-10=40
⑬乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少?
(什么数比40多25%?
)40×(1+25%)=50
⑭甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少?
(什么数比50多25%?
)50×(1-20%)=40
⑮乙是40,比甲少20%,甲数是多少?
(40比什么数少20%?
)40÷(1-20%)=50
⑯甲是50,比乙多25%,乙数是多少?
(50比什么数多25%?
)40÷(1+25%)=40
三、整数、分数、百分数应用题结构类型
(一)求甲是乙的几倍(或几分之几或百分之几)的应用题。
解法:
甲数除以乙数
例:
校园里有杨树40棵,柳树有50棵,杨树的棵树占柳树的百分之几?
(或几分之几?
)
(二)求甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少的应用题。
解答分数应用题,首先要确定单位“1”,在单位“1”确定以后,一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应,这种关系叫“量率对应”,这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍(几分之几或百分之几)是多少用乘法,单位“1”×分率=对应数量
例:
六年级有学生180人,五年级的学生人数是六年级人数的。
五年级有学生多少人?
180×=150
(三)已知甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少,求甲数(即求标准量或单位“1”)的应用题。
解法:
对应数量÷对应分率=单位“1”
例:
育红小学六年级男生有120人,占参加兴趣活动小组人数的.六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人?
120÷=200(人)
1.本金:
存入银行的钱叫做本金。
利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
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