小学奥数思维训练幻方与数阵图扩展通用版Word格式.docx
《小学奥数思维训练幻方与数阵图扩展通用版Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数思维训练幻方与数阵图扩展通用版Word格式.docx（32页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
21．请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在图中的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等．应怎样填？
22．将1至9填人图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．
23．如图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×
2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？
请给出一种填法．
24．如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？
25．请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
26．如图是有名的“六角幻方”：
将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．
27．在图中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．
28．在图中的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．
29．将1至9分别填人图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？
30．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20﹣30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？
最小是多少？
请分别给出使得和最大、最小的填法．
31．在下面的图中有11个空的圆圈，要求把1～13这些数填入各圈内（其中3，4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面两个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面一个圈中的数），并且最下面空着的四圆圈中的数之和等于43．
32．图中共有10个圆圈，6条直线．请问：
（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等？
（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？
（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
参考答案
1．由以上分析可得：
【解析】
试题分析：
我们从图中可以看出：
中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：
可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．
解：
根据题意可得：
当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：
2+7=3+6=4+5；
那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；
当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：
1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；
当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：
1+7=2+6=3+5；
那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；
由以上分析可得：
点评：
解答此题的关键是求出中间圆圈的数是多少，然后再进一步解答即可．
2．
首先根据第1列的三个数为16、11、12，求出幻和为：
16+11+12=39；
然后根据幻和为39，分别求出空格里的数即可．
因为第1列的三个数为16、11、12，
所以幻和为：
因此第2行的第2个数为：
39﹣11﹣15=13，
第1行的第3个数为：
39﹣12﹣13=14，
第1行的第2个数为：
39﹣16﹣14=9，
第2列的第3个数为：
39﹣9﹣13=17，
第3列的第3个数为：
39﹣14﹣15=10．
．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出幻和是多少．
3．
首先求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：
12+9+5+8=34，然后根据这个共同的和为34，分别求出空格里的数即可．
每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：
12+9+5+8=34，
所以第3行的第1个数为：
34﹣5﹣16﹣3=10，
第2列的第1个数为：
34﹣4﹣5﹣11=14，
第1行的第1个数为：
34﹣14﹣7﹣12=1，
第2行的第1个数为：
34﹣1﹣10﹣8=15，
第2行的第4个数为：
34﹣15﹣4﹣9=6，
第3列的第4个数为：
34﹣7﹣9﹣16=2，
第4列的第4个数为：
34﹣12﹣6﹣3=13．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为34．
4．
首先根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：
2+3+7=12；
然后用12减去6，可得第4列的第1个数和第3个数的和是6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；
再求出第1行的4个数的和是：
2+4+5+5=16，根据各行所填的数之和为16，各列所填的数之和为12，求出其余的空格中的数即可．
根据第1列的三个数分别为2、3、7，
可得各列的各数之和均为：
2+3+7=12，
所以第4列的第1个数和第3个数的和是：
12﹣6=6，
因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；
因为第1行的4个数的和是：
2+4+5+5=16，
所以第2行的第2个数和第3个数的和是：
16﹣3﹣6=7，
第3行的第2个数和第3个数的和是：
16﹣7﹣1=8，
第2列的第2个数和第3个数的和是：
12﹣4=8，
第3列的第2个数和第3个数的和是：
12﹣5=7，
因此第2行的第2个数和第3个数分别是5、2，
第3行的第2个数和第3个数分别是3、5．
答：
标有符号“*”的方格内所填的数是1．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等”，注意答案不唯一．
5．
如图，首先根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为14+15+16=45；
然后根据幻和为45，分别求出a、c、d、e的值即可．
如图，根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，
可得b+12=15+11，
解得b=14，
14+15+16=45；
因此a=45﹣12﹣14=19，
c=45﹣19﹣16=10，
d=45﹣10﹣15=20，
e=45﹣16﹣11=18．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出幻和是多少．
6．△=5，▽=5，○=4．
根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；
又因为h在第3行中，所以h不能是4；
因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；
因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；
因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；
因为d、f在第2行中，只能从1、3中各取一个，因为d在第1列中，所以d不能是3，只能是1，则f=3；
因为k、m在对角线上，只能从1、4中各取一个，因为m在第1列中，所以m不能是1，只能是4，则k=1；
因为○、b在第1行中，只能从2、4中各取一个，因为b在第4列中，所以b不能是4，只能是2，则○=4；
所以j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5，据此解答即可．
（1）根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；
因为h在对角线上，所以h不能是5，
因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，
因为a在第1行中，
所以a不能是1，只能是3，则p=1；
（2）因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，
因为c在第1行中，
所以c不能是3，只能是5，则l=3；
（3）因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，
因为e在第2行中，
所以e不能是5，只能是4，则△=5；
同理，可得d=1，f=3；
m=4，k=1；
b=2，○=4；
j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5．
△=5，▽=5，○=4．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次”，逐一确定每个方格中的数字．
7．2种．
首先第一行第二列的数最大，只能是9，第一行的第三列最小只能是1，第一行第一列只能是8，第二行第一列只能是7，第二行第三列只能是2，第三行第三列只能是3，第三行第二列只能是4，中间的数可以是6或5，而第三行第一列可以是6或5，所以满足要求的方法有2种方法．
答案如下：
所以满足要求的填法共有2种．
解决此题的关键找出最大最小数的位置，进一步确定固定的数以及可调整的数，得出结论．
8．
首先根据两个小圆圈内所填的数的差最大是：
8﹣1=7，可得当差为7时，只能是8与1的差；
剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：
7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；
同理，当差为5时，只能是6与1的差；
5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；
据此可得中间两个圆圈中的数分别为1、5，然后填上其余圆圈中的数即可．
因为两个小圆圈内所填的数的差最大是：
8﹣1=7，
所以当差为7时，只能是8与1的差；
因为剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：
7﹣2=5，
所以当差为6时，只能是7与1的差；
因此中间两个圆圈中的数分别为1、5，可得
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是判断出中间两个圆圈中的数只能是1和5．
9．
1+2+3+4+5=15，根据题意，可得计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：
15×
2÷
3=10；
然后根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3，据此解答即可．
1+2+3+4+5=15，
根据题意，计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，
圆圈中的每个数均被计算了2次，
所以这个共同的和是：
根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，
可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出横线、竖线、大圆周上所填数之和均为10．
10．
如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：
A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；
因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；
最后根据B+C+E=2（A+B）=2×
7=14，可得B=6，C=5，E=3，据此解答即可．
A、B、C、D、E、F，
则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，
整理，可得A+B=C+D=E+F；
因为1+6=2+5=3+4，
所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；
又因为B+C+E=2（A+B）=2×
7=14，
所以B=6，C=5，E=3，可得
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是设图中的六块区域内填入的数分别为：
A、B、C、D、E、F，能判断出A+B=C+D=E+F．
11．这个和最小是11，最大是16，如图所示：
根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；
因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4；
要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9；
据此解答即可．
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
（1）因为每个圆内的三个数之和都是相等的，
所以要使这个和最小，
则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4，
这个和最小是：
（45+0+1+2+3+4）÷
5=11；
（2）所以要使这个和最大，
则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9，
这个和最大是：
（45+5+6+7+8+9）÷
5=16．
这个和最小是11，最大是16．
此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是判断出：
要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小；
要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大．
12．4.
首先根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；
然后根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；
根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a﹣*+31…②；
再根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；
再根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；
再根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；
再根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；
再根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；
根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，
可得g+19+25+13=20+9+23+12，
解得g=7；
根据第4列和第5行的各数之和相等，
可得b+25+14+3=i+8+15+24，
解得b=i+5…①；
根据第1列和第1行的各数之和相等，
可得i+12+23+9=a+b+*+13，
解得b=i﹣a﹣*+31…②；
由①②，可得a+*=26；
根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，
可得j+8+15+24=19+7+25+13，
解得j=17；
根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，
可得a+*+b+13=c+7+3+24，
解得c=b+5；
根据第2列和第3行的各数之和相等，
可得a+c+19+8=23+7+14+16，
解得a+c=33；
根据第5列和第2行的各数之和相等，
可得13+16+10+24=9+c+d+25，
解得c+d=29；
根据第3列和第4行的各数之和相等，
可得*+d+7+15=12+19+3+10，
解得*+d=22；
综上，可得a=22，*=4，
因此d=22﹣4=18，c=29﹣18=11，b=11﹣5=6，f=b﹣1=5，
e=（20+22+4+6）﹣（16+10+24）=52﹣50=2，
h=（20+22+4+6+13）﹣（12+19+3+10）=65﹣44=21，
i=（20+22+4+6+13）﹣（20+9+23+12）=65﹣64=1，
h=（20+22+4+6+13）﹣（1+8+15+24）=65﹣48=17．
标有符号“*”的方格内所填的数是4．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的数的和相等”．
13．
（1）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；
然后根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；
再根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；
再求出另一条对角线上的三个数的和，进而求出c、d、e的值是多少即可．
（2）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；
然后根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；
最后根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，求出三个数的和是多少，进而求出n、m、p、r的值是多少即可．
（1）根据第2行和第1列的各数之和相等，
可得a+95=100+19，
解得a=24；
根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，
可得f+19=95+100，
解得f=176；
根据第3行和第2列的三个数的和相等，
可得b+100=95+176，
解得b=171；
另一条对角线上的三个数的和为：
24+100+176=300，
所以c=300﹣24﹣171=105，
d=300﹣100﹣19=181，
e=300﹣95﹣176=29．
（2）根据第2行和第1列的各数之和相等，
可得q+6=5+9，
解得q=8；
根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，
可得s+6=9+8，
解得s=11；
根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，
可得三个数的和是：
5+8+11=24，
所以n=24﹣9﹣8=7，
m=24﹣5﹣7=12，
p=24﹣8﹣6=10，
r=24﹣12﹣8=4．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一确定每个空格中的数即可．
14．11.12．
首先根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；
然后根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；
再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；
由①②③，求出f、c的值，进而求出*是多少即可．
根据题意，可得
c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，
e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；
根据第1行和第2列的三个数的和相等，
可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；
根据两条对角线上的三个数的和相等，
可得*=4.33+f﹣e，
所以4.47+c=4.33+f﹣e，
整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；
由①+②+③，可得3f=26.91，
解得f=8.97，
所以c=15.62﹣8.97=6.65，
所以*=4.47+c=4.47+6.65=11.12．
标有“*”的方格内所填的数是11.12．
此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95”，确定出两条对角线上的数分别是多少．
15．
首先根据第1行和第1列的三个数的和相等，可得第1行的第3个数为：
29+19﹣17=31；
然后根据第2行的三个数
升级会员 