Gild2X1-2
•••二面角B-PD-A的大小为60°
（3）解：
而二〔-3,-2,¥）,平面BDP的一个法向量为1,逅）.
•••直线MC与平面BDP所成角的正弦值为IcosV面，■；>
|=|CMfI=|电I
11冋I打1丄乂I19.
2
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题.
2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA1底面ABC,/BAC=90•点D,E,N分别为棱PAPCBC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4AB=2.
（I）求证：
MN//平面BDE
（n）求二面角C-EM-N的正弦值；
（m）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为薯，求线
段AH的长.
【分析】（I）取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF//平面BDENF//平
面BDE得至U平面MFN//平面BDE贝UMN//平面BDE
（n）由PA1底面ABC,/BAC=90.可以A为原点，分别以ABAC、AP所在
直线为X、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向
量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦
值;
（m）设AH=t,则H（0,0,t）,求出而、況的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为也列式求得线段AH的长.
21
【解答】（I）证明：
取AB中点F,连接MF、NF,
•••M为AD中点，•••MF//BD,•••BD?
平面BDE,MF?
平面BDE二MF//平面BDE•••N为BC中点，•••NF//AC,
又D、E分别为AP、PC的中点，•••DE//AC,贝UNF//DE.
VDE?
平面BDE,NF?
平面BDE二NF//平面BDE
又MFnNF=F.
•••平面MFN//平面BDE,贝UMN//平面BDE
（n）解：
VPA!
底面ABC/BAC=90.
VPA=AC=4AB=2
则Mi5=Cb2,-1）,ME=（0*
1）,
（0,2,2）,
由號；，得儘丁，取z=十⑷-2）.
由图可得平面CME的一个法向量为二（1,0,0）.
••cos^m门=■————$■•
|；||n|何江121
•二面角C-EM-N的余弦值为也！
，则正弦值为回區；
2121
（m）解：
设AH=t,则H（0，0，t）,HH=C-1,—乙t），瓦二（—占2、2）.
•••直线NH与直线BE所成角的余弦值为辽，
2t-2
21
•Icosv就況＞1=1鬻墨1=1/罕2I誓
INHIIBEIX2^3
为評寺
•••当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为兽，此时线段AH的长
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题.
3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在
直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.
（I）设P是&上的一点，且AP丄BE求/CBP的大小;
（n）当AB=3,AD=2时，求二面角E—AG—C的大小.
【分析】（I）由已知利用线面垂直的判定可得BEX平面ABP,得到BE1BP,结
合/EBC=120求得/CBP=30;
（n）法一、取缸的中点H,连接EH,GH,CH,可得四边形BEGH为菱形，取
AG中点M，连接EM,CM,EC,得到EM!
AG,CM!
AG,说明/EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.
法二、以B为坐标原点，分别以BEBP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出A,E,G,C的坐标,进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.
【解答】解：
（I）vAPIBE,AB丄BE,且AB,AP?
平面ABP,ABAAP=A•••BE!
平面ABP,又BP?
平面ABP,•••BE!
BP,又/EBC=120,
因此/CBP=30;
（n）解法一、
取EC的中点H,连接EH,GH,CH,
•••/EBC=120,.・.四边形BECH为菱形,•••AE=GE=AC=GC^^=届.
取AG中点M，连接EM,CM,EC
贝UEM!
AG,CM!
AG,
•••/EMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,AEM=CM訝13-1二刘2在^BEC中，由于/EBC=120,
由余弦定理得：
EC=22+22-2X2X2Xcos120°12,
•••昨2並，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°解法二、以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间
直角坐标系.
由题意得：
A（0,0,3），E（2,0，0），G（1，^3，3），C（-1,^3,0）,
故血二⑵0,-3），V3，0），丘二⑵0,
引）为平面AEG的一个法向量,
二cos<忌=：
二「
[THn
•••二面角E-AG-C的大小为60°
【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.
4.如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD
/AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°
（I）证明平面ABEFL平面EFDC
（n）求二面角E-BC-A的余弦值.
【分析】（I）证明AF丄平面EFDC利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
ABEFI平面EFDC
（n）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求
出平面BEC平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A的余
弦值.
【解答】（I）证明：
•••ABEF为正方形，•••AF丄EF.
V/AFD=90，•••AF丄DF，
VDFnEF=F•••AF丄平面EFDC
VAF?
平面ABEF
•••平面ABEFL平面EFDC
（n）解：
由AFLDF，AFLEF,
可得/DFE为二面角D-AF-E的平面角;
由ABEF为正方形，AF丄平面EFDC
VBE!
EF,•••BE!
平面EFDC
即有CElBE,
可得/CEF为二面角C-BE-F的平面角.
可得/DFE=/CEF=60.
VAB//EF,AB?
平面EFDCEF?
平面EFDC•••AB//平面EFDC
V平面EFDCn平面ABCD=CDAB?
平面ABCD•••AB//CD,
•••CD//EF,
•••四边形EFDC为等腰梯形.
以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a
则E（0,0,0）,B（0,2a,0）,C（吕,0,婆a）,A（2a,2a,0）,
22
•••西=（0,2a,0）,BC=（旦,-2a,亜a）,AB=（-2a,0,0）
22
■
设平面BEC的法向量为^^二（xi,yi,zi）,贝J丁呼°,
则*
2ayi=0
a忑
ysj-2ayi+—az1=0
，取；=（忑，0,-1）.
m•BC=0
n-BC=0
n-AB=0
设平面ABC的法向量为n=（X2,y2,Z2）,贝h
fa丽
则“22222,取门=（0,血,4）.
2日沈2二0
设二面角E-BC-A的大小为0,则cose="巳
ImHIn
VS+I"V3+16
-4
2719
19，
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.
5•如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,AB=5,AC=6点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交于BD于点巴将^DEF沿EF折到△DE的位置，OD如.
（I）证明：
DH平面ABCD
（n）求二面角B-D卜C的正弦值.
.D
【分析】（I）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD结合AE=CF可得EF//AC,再
由ABCD是菱形，得AC丄BD,进一步得到EF丄BD,由EF丄DH,可得EF丄DH
然后求解直角三角形得DHOH,再由线面垂直的判定得DH平面ABCD
（n）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的
坐标，得到爲.莎\疋的坐标，分别求出平面ABD与平面ADC的一个法向
量石、E，设二面角二面角B-DAC的平面角为0,求出Icosq•则二面角B-D-C的正弦值可求.
【解答】（I）证明：
•••ABCD是菱形,
•••AD=DC又AE=CF=,
••晋毘，贝UEF/AC,
又由ABCD是菱形，得AC丄BD,贝UEF丄BD,•••EF丄DH,J则EF丄DH
•••AC=6•••AO=3,
又AB=5,AO丄OB,•••OB=4
OH翌・0D=1，贝yDH=DH=3AD
•••|OD|2=|OH|2+|dH,贝Udhoh,
又OHGEF=H•••DH平面ABCD
（n）解：
以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,
•••AB=5,AC=6
m'AB=O
由*J一.，得
□1'AD"=0
寫鳥，取X=3,得尸-4,Z=5-
设平面ABD的一个法向量为
•••二（3,-4,5）.
码I3M3+5X1I7V5
■25
同理可求得平面ADC的一个法向量门2=〔3,0,1）,
设二面角二面角B-D-C的平面角为0,
贝U1cos0—_尸_
InJIn^l572X^10
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.
6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB侧面ABBiAi是边长为2的正方形，点E,
F分别在线段AA1、A1B1上，且AE号,A1F弓,CE1EF.
（n）若CA1CB求直线AC与平面CEF所成角的正弦值.
D,连结CD,DF,DE计算DE,EF,DF,利用勾股
定理的逆定理得出DE丄EF,由三线合一得CD丄AB,故而CD丄平面ABBAi，从
而平面ABBAi丄平面ABC;
（II）以C为原点建立空间直角坐标系,求出瓦和平面CEF的法向量r,贝U直线
AG与平面CEF所成角的正弦值等于Icosv二|.
【解答】证明：
（I）取AB的中点D,连结CD,DF,DE.
VAC=BCD是AB的中点,•CD丄AB.
V侧面ABBAi是边长为2的正方形,AE专,AiF冷.
•AiE冷,EF寸窃2+（舟）2普,DE寸12+（勿2您,DF寸2；（1弓）2哼,
•eF^+D呂二Dh,•DE丄EF,
又CEIEF,CEADE=ECE?
平面CDE,DE?
平面CDE•••EF丄平面CDE又CD?
平面CDE•••CD丄EF,
又CD丄AB,AB?
平面ABBAi,EF?
平面ABBAi,AB,EF为相交直线,•••CD丄平面ABBiAi,又CD?
ABC,
（II）v平面ABBAi丄平面ABC
•三棱柱ABC-AiBiCi是直三棱柱，二CC丄平面ABC.
VCAICB,AB=2,•AC=BcV2.
以C为原点,以CACBCG为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
n-AC
、-1-仮
InIIACjI18
•••直线AC与平面CEF所成角的正弦值为姮
IS
--sinvmAC]
【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题.
7.如图，在四棱锥中P-ABCDPA丄平面ABCDAD//BC,AD丄CD,且AD=CD=/2,BC=^,PA=2
（1）求证：
AB丄PC;
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为45°如
果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.
【分析】
（1）利用直角梯形的性质求出AB,AC的长，根据勾股定理的逆定理得
出AB丄AC,由PA!
平面ABCD得出AB!
PA,故AB丄平面PAC于是AB!
PC;
（2）假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD
的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h，根据勾股定理计算BM,则丰^即为所求角的正弦值.
【解答】解：
（1）证明：
•••四边形ABCD是直角梯形，
AD=CD赫,BC=W2,•••AC=4，AB吋（bc_q）JcD空施迈=4,
•••△ABC是等腰直角三角形，即AB丄AC,•••PA!
平面ABCDAB?
平面ABCD•••PA!
AB,•••AB丄平面PAC又PC?
平面PAC
•••AB丄PC.
（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN!
AD于N,则MN//PA,
过点M作MG!
AC于G,连接NG,贝UAC丄平面MNG，•••AC丄NG,即/MGN是二面角M-AC-D的平面角.若/MGN=45，贝UNG=MN,又AN^NG^MN,
•••MN=1,即卩M是线段PD的中点.
•••存在点M使得二面角M-AC-D的大小为45°.
在三棱锥M-ABC中，Vm-ABC^Sxabc?
MN=Lx丄X4X4X，
3323
设点B到平面MAC的距离是h，则Vb-maJs△皿C叱，
3
•••MGW2MN^，.・SMAC号号^4><伍=朋，
•弓X2V5，解得h=W2.
在xABN中,AB=4,AN^，/BAN=135，二BN#]6+2+2X4XX爭逅，
D
』AJZ
G\
二BM二，•••BM与平面MAC所成角的正弦值为A普
P
M
【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题.
&如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AiACG丄底面ABC,
/AiAC=60.
（1）求侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值的大小;
（2）已知点D满足瓦=瓦+反，在直线AAi上是否存在点P，使DP//平面ABiC?
若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.
【分析】
（1）推导出AiO丄平面ABCBO丄AC,以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值.
（2）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0,y,z）,则
丽二碍y,Z）.利用向量法能求出存在点P,使DP//平面ABiC,其坐标为（0,0,岛，即恰好为Ai点.
【解答】解：
（1）v侧面AiACG丄底面ABC,作AiO丄AC于点O,
•••AiO丄平面ABC.
又/ABC玄AiAC=6C°,且各棱长都相等,
•AO=1,OA=OB出,BO丄AC.•••（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则A（0,-1,0）,B,0,0）,Ai（0,0,冋,C（0,1,0）,「•瓯=（0,1,Vs）,瓦=（品0,-V3）,AC=（0,2,0）.•••（4分）设平面ABC的法向量为LGjy,z）,
n-ABt=V3x+2y-V3z=0_
则*
',取x=1，得n=（1,0,1）.
n-AC=2y=0
设侧棱AAi与平面ABiC所成角的为0,
tb
-*AAia/F
则Sin0=os1=1I两卜訂磊斗，
•侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值为乎.…（6分）
（2）・.•瓦=窥+反,而鼠二（W，-1,0）,龙=（«,1,0）,
•••瓦=（-2硬,0,0）,又•••B（如，°，°）,•••点D（-V^,0,0）.
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0,y,Z）,•••丽二碍y,E）••••DP//平面ABiC,n=（-1,0,1）为平面ABC的法向量，
•由AP=^^,得｛囂M诉，二y=0•…（10分）
又DP?
平面ABiC,故存在点P,使DP//平面ABC,其坐标为（0,0,V5）,
.h
即恰好为Ai点.…（12分）
Cl
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABBA1为矩形，AB=2,AA1=^,D是AA
的中点，BD与AB1交于点0,且CO丄平面ABBiA.
（I）证明：
平面ABC丄平面BCD
（n）若OC=OA△AB1C的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.
【分析】（I）通过证明AB1丄BD,AB」CO,推出AB丄平面BCD,然后证明平
面ABiC丄平面BCD.
（n）以0为坐标原点，分别以OD,OBi,OC所在直线为X,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面
ABC所成角a,利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值
即可.
【解答】（本小题满分12分）
解：
（！
）•••ABBiAi为矩形，AB=2,近，D是AAi的中点，•—BAD=90,
ZABB］二90°，BB］二2逅，AD令AA］二逅
从而，t旳魯訂二卑?
，•OVZABDmZ检〈与
•••/ABD=/ABB,••-（2分）
-TTTT
•••ZABiB+ZBAB］二ZABD+ZBABif，；ZAOB二迈-，从而AB」BD…（4分）
•••CO丄平面ABBiAi,ABi?
平面ABBiAi,；ABi丄CO,；BDACO=O二ABi丄平面BCD
•••AB?
平面ABiC,
•••平面ABiC丄平面BCD…（6分）
（n）如图，以0为坐标原点，
面ABC的
向量为11=G,y,Z）
分别以OD,OB,OC所在直线为X,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
由n*AB=0,n•AC=0
W2x+y=0
.y+忑二0
f2^6,2^3F
可得*CLn厂
2V3.2V3、
I丁日
令y=1，则z=-1，誓，所以二浮-»•••（10分）乙乙
设直线GD与平面ABC所成角a，
砸2V32V3.,V2,
—一4T）
sina=cosIGDl-lnl任JVlQ
65'
所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为凹亟…（12分）
65
0.
B所成角的正弦值.
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
10•在矩形ABCD中，AB=45，AD=^，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A，设二面角A'-BD-C的大小为
（1）当0=90°寸，求A的长；
（2）
C
C
B
当cos0=时，求BC与平面A
【分析】
（1）过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE利用勾股定理及余弦定理计算AE,CE,由AJCE得出A；
（2）利用余弦定理可得A極,从而得出AJ平面ABCD以F为原点建立
坐标系，求出西和平面ABD勺法向量n,则BC与平面AB所成角的正弦值为[cosv；存1•
【解答】解：
（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE
ab=^5,AD=2V^,ABD对ab5aD2=10・
.趣警;2逅=4,be岱荷=8,cos/CBE需芈.在^BCE
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