第十二章无穷级数解题方法归纳.docx
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第十二章无穷级数解题方法归纳
第十二章解题方法归纳
一、正项级数敛散性的判定方法
1.一般项极限不趋于零则级数发散•
2.比较审敛法
3.比较审敛法的极限形式
4.比值审敛法
5.根值审敛法
1.一般项极限不趋于零则级数发散
例1判定级数ans=1•2s•3s•「ns*11（s0）的敛散性.
n4
『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第步都是验证一般项的极限是否为零.
2.
比较审敛法
3.
n
a
2n
1a
1
ln3n
的敛散性.
1，则
n
4.
比值审敛法
nn：
!
n
5.根值审敛法
（n1）n
解limnun=lim也芋=—lim（1—）nn存*f2n2n
、任意项级数敛散性的判定
oO
当a1时，an：
：
：
二，而J亠收敛，故由比较审敛法得n（1+a）a
收敛，从而V
n4
:
:
字忌绝对收敛.
当a<1时,
是）益,而鳥发散，故由比较审敛法得:
:
S（1an）发散.
F面讨论级数、
「匚⑪J的敛散性.
n4n1a
令f（x）=x（1ax），则f（x）=1axxaxlna,当x充分大时,
「（x）二axlna[2xlna]：
：
：
0，所以f（x）单调递减，且
limfx（-）1alnxlaixm
Xx厂:
x1
a1l-n^+ima1-lh_Jim
x厂：
ax厂：
-lnaa
所以f（x）1，函数f（x）=x（1ax）单调增加，故后单调减少，且
nim：
応=。
，所以交错级数二呼忌收敛，故〔呼汴条件收敛.
『方法技巧』正项级数敛散性取决于参数a的取值，因此先就a的情况进
行了讨论，另交错级数数列「u「的单调性应用函数的导数来说明
三、幕级数的收敛半径、收敛域的求法
1.不缺项的幕级数收敛半径的求法
2.缺项的幕级数收敛半径的求法
3.非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法
1.不缺项的幕级数收敛半径的求法
001xn
例7求幕级数a的收敛半径.
n^3n+2nn
解由于级数是不缺项的，故
2.缺项的幕级数收敛半径的求法
oO
例8求幂级数：
〒x2n的收敛域.
径，故
解得x：
迈，故收敛半径为R.
3.非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法
例9求级数'凹■（—）n的收敛域.
n二n2x+1
x°°（—1）n
2x1
解令t二-^，则原级数变形为a3tn，此时级数不缺项，故
心n
2x1
dtn的收敛域为（-1,1］，从而原级数在-仁:
^^-1内收敛，故级数
n
的收敛域为x乞-1或x—丄
n$n2x13
四、幕级数和函数的求法
1.利用微分、积分的方法求和函数
2.转化为微分方程求和函数
3•利用已知的函数的幕级数展开式求和函数
1.利用微分、积分的方法求和函数
例10求幕级数（2n1）xn的和函数.n30
解因为
且x时级数发散，故幕级数的收敛域为（-1,1）
OQqQqQ
设S（x）八一（2n1）x^x?
2nxn（直接积分无效，只能进行拆项）
nzSnz0n^0
CO
S（x）二2nxn
nT
x:
:
:
:
=2xMnxnJ1=2x（°C二nxn'）dx）=2x（二xn）
n=1n=1n=1
2.转化为微分方程求和函数
旳x4n
例10求幕级数的和函数.
心（4n）!
解易求此幕级数的收敛域为（-"'，•：
：
）.
因此，y（o）",y（o）=y（o）=y（o）=o且y⑷（x）-y（x）=o,
由常系数齐次线性方程组的解法有y=Gex•C2e»•c3cosx•C4sinx,
、1111
由初始条件得G=C2,C3,C4=0,从而y（x）（^e"）cosx,
4242
1
:
=x4n
1
（exe»）cosxx（一心，：
：
）.
n=o（4n）!
42
n2亠1
11求幕级数nn'xn1的和函数.
^o3nn!
：
：
3
z亠亠+送亠亠+送n=2（n-2）!
nm（n-1）!
n=on!
2
Xx
+1=x（—+—+1）e3,x€（-°o,畑）.
93
五、常数项级数的和
——5—f5
212n什fh>
（2）
Iin$h二Ii=m
212n
（1）
（2）
od
z
n（n1）（n2）4
2.利用幕级数的和函数求常数项级数的和
°°（_1）n」n
例13求级数a（__--的和.n二（2n+1）!
解由于级数中含因子-——，因而考虑sinx的展开式，故幕级数设为缺
（2n+1）!
n1
项形式•令S（x）八•上丿-x2-」，（」：
「：
），则
n壬（2n+1）!
1
+x）=——（x-sinx）,
（2n1）!
2x
故级数二汕代⑴冷伽®1）.
『方法技巧』所求常数项级数的一般项中若含有n!
（2n十1）!
（2n-1）!
时,
所构造的幕级数的和通常为ex,sinx,cosx等，注意灵活运用幕级数球和函数的方法.
3.利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和
例14将函数f（x）=2+x|（x<1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并求
级数由于f（x）=2+|x|是偶函数，故bn=O,（n=1,2,川），迟-的和.
n#n
25
n4（2n-1）
1.直接展开的方法
2•间接展开的方法
例15将函数f（x）二secx展开成x的幕级数.
即f（2n」）（x）是奇函数,
解由于f（x）二secx是偶函数，它的导数必是奇函数,
，而secxcosx=1，
幕级数展开式中只含x的偶次幕，故可设secx」’a2nx2n
n=0
24
中COS"1吆和川（-一X」），故
24
24XX
secxcosx=（a0a2xa4xHI）
（1）=1,
2!
4!
比较系数得
ao1=1,a21-色=0,a41-勺虫7川
2!
2!
4!
所以a°=1,a?
=1,a4=-4,||（,
225
1244
因此，secx=1xxT1（.
5
『方法技巧』本题虽然采用间接的方法，但与以前的例题有所不同的是利
用了函数自身的性质以及三角恒等式的关系•同理，你可以试着将f（x）二展
1+ex开为x的幕级数.
七、函数展开为傅里叶级数
例16f（x）在［」卫］上满足f（x"）=f（x，试证其傅里叶系数
a2nJL讥」
证
1二
a2nAf（x）cos（2n-1）xdx
101二f（x）cos（2n-1）xdxf（x）cos（2n-1）xdx
0
令x-二t，则
兀00
f（x）cos（2n-1）xdxf（二t）cos（2nTXdtf（二x）cos（2n-1）xdx
0■-■-
故a2n4=0，同理.
七、综合杂例
旳1
例17证明柯西积分判别法，并判定级数—的敛散性.
n=2ln（n!
）
设f（x）在x_1上非负、连续且单调递减，则f（n）与.「■f（x）dx同敛散.nA
证由于k乞x^k，1时，f（k，1）乞f（x）乞f（k），因此
k十
ak1=f（k1）乞f（x）dx咗f（k）=ak,
k
比-a^k4'kJ
由上式知'f（n）与十''f（x）dx敛散性一致.n4
因为
111
Inn!
）In1-1in2nInnn
又因为—d^lnln三发散，故由柯西积分判别法知—发
、2xlnxn=2nInn
O0A
散，再由比较审敛法得级数V丄发散•
n=2ln（n!
）
例18（09数一）设an为曲线y=xn与y=xn1（n=1,2川I）所围成区域的面
积，记0八「a.，S2八，求的值.
nTn丑
解曲线y=xn与y=xn1的交点为（0,0）,（1,1）.所以
an
从而
00
3=、an
N
=lim'an二lim
-1—
n=1
N—丿n吕N?
:
2
3N1
//nn卅、』z1n卅1n42、
0（x-x）dx=（FT—Rx）
1
N2
□a
S2二'a2n4
n4
n*2n
丄）丄1丄-1丄」I，
2n123456
11
由于ln（1x）=xx2x3
23
n
m^1）nJ—
n
11111
ln2=1-（—-——-——TH）=1-S2，所以S2=1-1n2.
23456
旳1
而71*发散.
ni2
:
_n
所以，级数在小时收敛；在心时发散-
『方法技巧』比较审敛法中，选作参照物的级数可以是P-级数，也可以
是等比级数.
3.比较审敛法的极限形式
L=（—L2xnA（2n+1）!
2x心
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