青岛市中考数学探究题经典例题.docx

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青岛市中考数学探究题经典例题

模拟试题1

模拟试题2

问题提出：

如图①，将一张直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.

知识运用：

（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？

如果能，请在图②中画出折痕；

（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？

结合图③，说明理由。

拓展应用：

（4）如果一个四边形一定能折成"叠加矩形",那么它必须满足的条件是什么？

模拟试题3

23．（本小题满分10分）

提出问题：

如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，（其中n为奇数），连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？

探究发现：

为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

（1）.如图②：

四边形ABCD中，点E、F是AD的3等分点，点G、H是BC的3等分点，连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？

如图③，连接EH、BE、DH，

因为△EGH与△EBH高相等，底的比是1:

2，

所以S△EGH=

S△EBH

因为△EFH与△DEH高相等，底的比是1:

2，

所以S△EFH=

S△DEH

所以S△EGH+S△EFH=

S△EBH+

S△DEH

即S四边形EFHG=

S四边形EBHD

连接BD，

因为△ABE与△ABD高相等，底的比是1：

3，

所以S△ABE=

S△ABD

因为△CDH与△BCD高相等，底的比是1：

3，

所以S△CDH=

S△BCD

所以S△ABE+S△CDH=

S△ABD+

S△BCD=

（S△ABD+S△BCD）=

S四边形ABCD

所以S四边形EBHD=

S四边形ABCD

所以S四边形EFHG=

S四边形EBHD=

×

S四边形ABCD=

S四边形ABCD

（1）如图④：

四边形ABCD中，点E、F是AD的5等分点中最中间2个，点G、H是BC的5等分点中最中间2个，连接EG、FH，猜想：

S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢

验证你的猜想：

问题解决：

如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，连接EG、FH，（其中n为奇数）

那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为：

（不必写出求解过程）

问题拓展：

仿照上面的探究思路，若n为偶数，请再给出一个一般性结论。

（画出图形，不必写出求解过程）

模拟试题4

模拟试题5

23．在图1﹣5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例：

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现：

小明在操作后发现：

该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究：

（1）正方形FGCH的面积是　_________　；（用含a，b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：

小明通过探究后发现：

当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？

若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

模拟试题6

23．（本小题满分10分）

如图1，△ABC中，沿∠BAC的角平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的角平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；以此继续下去；将余下部分沿∠BnAnC的角平分线AnBn+1折叠，最终点Bn与点C重合，那么我们就把∠BAC称为△ABC的“n阶折角”．

探究发现:

（1）如图2，△ABC中，若∠BAC是△ABC的1阶折角，显然∠B=∠C；

（2）如图3，△ABC中，若∠BAC是△ABC的2阶折角，则∠B与∠C的数量关系是：

；

（3）如图4，△ABC中，若∠BAC是△ABC的3阶折角，则∠B与∠C的数量关系是：

；

（4）如图1，△ABC中，若∠BAC是△ABC的n阶折角，则∠B与∠C的数量关系是：

；

应用提升:

（1）△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，结合上面结论，请判断△ABC中每个角是否是△ABC的折角。

如果是，请说明是几阶折角？

（2）△ABC中，∠A是△ABC的6阶折角，∠B是△ABC的3阶折角，请问∠C是△ABC的折角吗？

如果是，请求出△ABC中各个角的度数；

模拟试题7

模拟试题8