八上全等三角形证明方法归纳经典Word格式.docx

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（容易出错）

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；

（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；

㈡有两边和其中一角

对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平

面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常

常需要借助全等三角形的知识。

6、常见辅助线写法：

（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）

如：

⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂足为D

⑶延长AB至C，使BC＝AC

⑷在AB上截取AC，使AC＝DE

⑸作∠ABC的平分线，交AC于D

⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

2部分中点条件的运用】

1、还原中心对称图形（倍长中线法）

中心对称与中心对称图形知识：

把一个图形绕着某一个点旋转

A'

C'

C

180°

，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形中的对应

点叫做关于中心的对称点。

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。

（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。

中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°

，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个

图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

（一个图形）如：

平行四边形

线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，

所以遇到中点问题，依托中点借助辅

助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（

集散思想）。

例1、AD是△ABC中BC边上的中线，

若AB2，AC4，则AD的取值围是。

例2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，

求证：

ACBE。

E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，

例3、如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD

AC=2AE

例4△ABC中，AD、BE、CF是三边对应中线。

（则O为重心）

①AD、BE、CF交于点O。

（类倍长中线）；

练习

1、在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD∠CAD，BDCD，求证：

ABAC

2、如图，已知四边形ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长

3、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：

DE=2AM

K型）

A

例2如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，

CEM=4°

，求∠0DME的大小。

（提示：

直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

例3已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°

，连接DE，设M为DE的中

点。

⑴求证：

MBMC；

⑵设∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，

此时MBMC是否成立？

请证明你的结论。

B

练习1、已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°

．若BD=BC，F是CD的中点，试问：

F

MD=ME

D

M

E

G

发生变化？

写出你的猜想并加以证明。

1）求证：

1）中得到的两个结论是否

l与CB的延长线相交时，其它条件不变，

1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形

B作BDl于点D，过

3、如图

（1），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG>

BC）中，点

方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。

lA

A点作某直线l

El

2、Rt△ABC中，∠BAC=9°

，0M为BC的中点，过

BAF与∠BCD的大小关系如何？

请写出你的结论并加以证明；

3、构造中位线

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

重点区分：

要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边

ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，证明：

DE∥BC，DE=1BC

2

证明：

延长DE至F点，使DE=EF，连接CF（倍长中线）

三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，

将题目给出

。

注：

题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。

MN分别交BD、AC于点E、F.

你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？

2、AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲从B出发，沿着BA->

AD->

DF的方向运动，乙B

出发，沿着BC->

CE->

EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从到达F点？

Rt△CDE中，∠ACB=∠EDC=9°

，连0AE、BE，点M为BE

DM。

2）当△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明

E、F在AC、BC上，∠ACB=90°

，连BE、

4、△ABC、△CEF都为等腰直角三角形，当

AF，点M、N分别为AF、BE的中点

（1）MN与AE的数量关系

MN与AE的数量关系

（2）将△CEF绕C点顺时针旋转一个锐角，

4、与等面积相关的图形转换

在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形

如图，△ABC中，E为BC边的中点，那么显然

△ABE和△AEC有相同的高AD，底边也相等，故面积相等。

例E、F是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则S四边形AGCD

S矩形ABCD

扩展如图，等腰Rt△ACD与Rt△ABC组成一个四边形ABCD，AC=4，对角线BD把

它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着

极为亲密的关系

例△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，问∠CBD和∠BAC的关系？

分析：

∠CBD和∠BAC分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形

例在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，

MN⊥AC于点N，则MN=

6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】

这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。

例如图Rt△ABC中，∠ACD=9°

，0CD为斜边AB上的中线

CD=AB

（1）利用垂直平分线的性质：

垂直平分线上任一点到线段

取AC的中点E，连接DE。

则DE∥BC（中位线性质）

则DE是线段AC的垂直平分线AD=CD

（2）全等法，证法略。

例在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、

点，求证：

四边形EFGD是等腰梯形。

练习1、在Rt△ABC中，∠A=90°

，AC=AB，M、N分别在AC、

O为斜边BC的中点。

试判断△OMN的形状，并说明理由。

2、ΔABC中，∠A=90°

，D是BC的中点，DE⊥DF。

求证:

B

CFB

F、G分别是BC、AB、AC的中A

FG

BEDC

AB上，且AN=BM。

BMONC

222

E2CF2EF2

Q∠ACB=9°

0BC⊥AC，DE⊥AC

（集散思想）

3、ΔABC中，AB=AC，点D在BC上，E在AB上，且

的中点

（1）若∠BAC=9°

，则∠0PMN=，并证明_

（2）若∠BAC=6°

，则∠P0MN=

（3）若∠BAC=A，则∠PMN=

MEPB

BDNC

EF

BDC

BD=DE，点P、M、N分别为AD、BE、BC

MEP

MEP

DNC

【中点问题练习题】

1、假设给出如下定义：

有一组相邻角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，

连接EF并延长交AB于点G．求证：

四边形AGEC是等邻角四边形；

（3）如图2，若点D在△ABC的部，

（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，是否存在

等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；

若不存在，请说明理由．

2、已知：

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=9°

，点0M是CE的中点，连接

BM

1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的

数量关系为，写出证明过程。

2）如图②，点D不在AB上，

（1）中的结论还成立吗？

如果成立，请证明；

如果不成

立，说明理由。

3、在△AOB中，AB=OB=，△2COD中，CD=OC=，∠3ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分

别为OA、OD、BC的中点．

若A、O、C三点在同一直线上，∠ABO=6°

，则△0PMN

AD

BC

4、已知：

如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过

接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

EG=CG；

①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的

结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论？

（均要求证明）

全等三角形综合二

1、全等三角形的判定及性质：

2、角平分线的性质与判定：

3、常用辅助线：

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于

E，F是BE上一点，且BF=CE，

FK∥AB．

例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°

，BA=AC，

（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：

∠ADB=

CDF．

（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连

MF，判断

∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．

例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在

AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）若AB=AC，∠BAC=90°

那么

1如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是（直

接写出结论）

2如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°

．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？

线段CF与

BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．

例5、如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，

分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠

CBE=90°

，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；

2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的

例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足a44b0

1）求A、B两点的坐标；

2）若点C是第一象限一点，且∠OCB=45°

，过点A作AD⊥OC于点F，求证：

FA=FC；

3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交x轴于

点G，求G点的坐标．

巩固：

1、如图，已知∠BAC=90°

，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

1）说明BE=CF的理由；

2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

3、如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC。

EB⊥AB．

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线

于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．

（1）求证：

AP=AM；

（2）求证：

PC=AN．

5、如图，△ABC，∠BAC=60°

，∠ACB=40°

，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠

BAC，

∠ABC的平分线，

BQ+AQ=AB+B．P

ACB=∠DEB=90°

，

6、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图

（1）方式摆放，其中∠

∠A=∠D=30°

，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

1）求证：

CF=EF；

2）若将图

（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°

<

a<

60°

，其他条件不变，

如图

（2）．请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：

AF+EFDE．（填“>

”或“=”或

“<

”）

（3）若将图

（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°

β<

180°

，其他条件

不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．

ABC的三点坐标分别为A（0，5），B

7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△

（-5，0），

C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE．

（1）求△ABC的面积；

OE

（2）求的值及△ACE的面积．

AE

8、如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S

四边形OBAC=1．6

（1）∠COA的值为；

（2）求∠CAB的度数；

（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足

∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

9、在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0.2）；

（1）请写出OB的长度：

OB=；

（2）如图：

若点D在x轴上，且点D的坐标为（-3，0），求证：

△AOB≌△COD；

（3）若点D在第二象限，且△AOB≌△COD，则这时点D的坐标是（直接写答案）

10、已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线

AC、BC上，∠MON∠=A=45°

（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：

CN+MN=A；

M

（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量

关系，请写出你的结论（不要求证明）．

11、

（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，

试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺

成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，圈的所有三角形的面积之和是b平方米，

这条小路一共占地多少平方米．

12、如图，将两个全等的直角三角形△

ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：

MB=M．C

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图

3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在

（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则

（2）中的MB、MC的数量

关系还成立吗？

说明理由．

13、如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于N，交AC的平行线BM于M，

PD⊥MN，交AB于点P，连接PM、PN．

BM=CN；

2）请你判断BP+CN与PN的在数量上有何关系，并说明你的理由．

14、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、

B（0，n），且mn32n60，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO

匀速运动，设点P运动时间为t秒．

（1）求OA、OB的长；

（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的围；

（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是

否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？

若存在，请求出t的值；