初三上学期圆知识点和典型基础例题复习Word文档下载推荐.docx
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外切（图2）
=＞有一个交点
d=R+rx
相交（图3）
=＞有两个交点
R-r<
d<
R+r\
内切（图4）
d=R-r:
内含（图5）
d<
R-r:
例.1、若两圆相切，且两圆的半径分別是2,3,
则这两个圆的圆心距是（
B.1
C・1或5
D・1或4
2、若两圆半径分别为*和r
圆心距为也且斤+/—£
=2斤d,则两圆的位置关系是（
A.内切
B.外切
C.内切或外切
D.相交
3・若半径分别为6和4的两圆相切，贝IJ两圆的圆心距d的值是
【变式训练】
1、Oa和Oo的半径分别为1和4,圆心距aa=5,那么两圆的位置关系是（）
A.外离B.内含c.外切D.外离或内含
2、如果半径分别为lcm和2cm的两圆外切，那么及这两个圆都相切，且半径为3皿的圆的个数有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
3、已知：
00’和O0：
的半径是方程x2-5x+6=0的两个根，且两圆的圆心距等于5则00：
和00：
的位置关系是（）
A.相交B.外离C.外切D.内切
二.填空题
4・
（1）0Q和相切，0Q的半径为4cm,圆心距为60/2?
则的半径为;
（2）0a和相切.0Q的半径为6血圆心距为4皿则€>
Q的半径为
5.OQ、oa和。
a是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若oa分别及©
a,oa相交，oa及oa
不相交，则OQ及OQ圆心距/的取值范弗1是o
5.垂径定理
主要考查借助垂径左理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的讣算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影.解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决.A
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧:
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦.并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个泄理，简称2推3妃理：
此泄理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：
®
AB是直径②ABLCD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在00中，VAB//CD
•••弧AC=弧3D
例1.如图23-10,AB是O0的直径，弦CD丄ABAE的长为（）
例2、如图,
O0的直径为10厘米，弦曲的长为6/M是弦朋上异于A、B的一动点,
则线段0"
的长的取值范国是（
A.疾5B.4W0疾5
C.3<
6>
J/<
5
D.4<
MV5
例3.如图，在00中，有折线OABC.H中OA=8,AB=\2,ZA=ZB=60°
则弦BC的长为（）。
A.19B.16C.18D.20
1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：
“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表述为如图，CD为00的直径，弦AB丄CD于点E,CE=1寸，AB二10寸，则直径CD的长为（）
A・12・5寸B.13寸C.25寸D・26寸
图23-14
2、任直径为52cm的圆柱形汕桶内装入一些汕后，截而如图23-16所示，如果油的最
3.如图23-14,00的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上
一个动点，那么0P的长的取值范围是・
4、O0的半径为10cm,弦AB〃CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为（）
A.2cmB.14cm
C.2cm或14cmD.10cm或20cm
6.
圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相
等。
此立理也称1推3左理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
①ZAOB=ZDOE；
②AB=DE；
OC=OFx④弧84=弧。
£
7.圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
•••ZAOB和ZAC3是弧AB所对的圆心角和圆周角
•••ZAOB=2ZACB
2、圆周角沱理的推论：
在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：
在00中，TZC、ZD都是所对的圆周角
:
、ZC=ZD
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角：
圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（90的圆周角所对的弦是直径）；
在00中，•••AB是直径或•・・ZC=90。
AZC=90°
/.AB是直径
例1.如图，A、B、C是O0上的三点，ZBAC二30°
则ZBOC的大小是（）
A.60°
B.45°
C.30°
D.15°
2、如图，在00中，已知ZACB=ZCDB=60°
•AC=3,
则AABC的周长是・
1•如图，在00中，弦AB=1.8m,圆周角ZACB二30°
则00的直径等于cm.
2•如图，O0内接四边形ABCD中，AB二CD
则图中和Z1相等的角有
3.
用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯左是半圆环形（）
4.00的半径是5,AB、CD为00的两条弦，且AB〃CD・AB二6,CD=8,求AB及CD之间的距离.
八、圆内接四边形圆的内接四边形左理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
在0O中，
•・•四边形ABCD是内接四边形
.ZC+ABAD=180°
ZB+ZD=180°
ZDAE=ZC
例1•如图，四边形ABCD内接于00,若ZB0D=100°
则ZDAB的度数为（）
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
2•如图，四边形ABCD为00的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果ZBOD二120°
那么ZBCE等于（）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
九、切线的性质及判泄左理
对切线的判立和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现.题目经常及翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现.
（1）切线的判左立理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
•••MN丄OA且过半径04外端
・MN是OO的切线
（2）性质泄理：
切线垂直于过切点的直径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
①过圆心：
②过切点：
③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
例1.如图，PA、PB是00的切线•切点分别为A.B,点C在
00上.如果ZP=50°
那么ZACB等于（）
A.40°
B.50°
C.65D.130'
2、如图，MP切00于点直线PO交00于点A.B,弦AC〃MP,求证：
MO/7BC.
3、已知：
如图，AABC中，AC=BC,以BC为直径的00交AB于点D,过点D作DE丄AC于点E,交BC的延长线于点F.（10分）
求证：
（1）AD=BD：
（2）DF是00的切线.
课后习题：
1・已知一个圆的半径为3cm,另一个圆及它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是（）
4.髙速公路的隧道和桥梁最多.如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面
AB=10米，
净髙CD=7米，
则此圆的半径04二（
）
-37
37
A.5
B.7
C.—
D.—
7
5•如图5,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕A8的长为（）
A.2cmB.a/3cmC・2>
/JcmD・2>
/5cm
6•已知<
90的半径为R,弦AB的长也是R,则ZA0B的度数是・
7•如图6,43为00的直径，点C,D在00上，ZBAC=509则ZADC=
8•如图7,00中，0A丄BC,ZAOB=60。
则ZADC=.
9•如图8,00中，MAN的度数为320°
则圆周角ZMAN=
10.
如图12,AB为©
0的直径，D是QO上的一点，过0点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线于点C,F为CE上一点,且FD=FE.
（1）请探究FD及OO的位置关系，并说明理由：
（2）
若G»
O的半径为2,BD=、/J,求BC的长.
11、如图，已知AB为00的直径，CD是弦，且AB丄CD于点E。
连接AC、OC、BC。
（1）求证：
ZACO=ZBCDo
（2）若EB二8,CD二24,求00的直径。
12•如图，00的直径AB二10,DE丄AB于点H,AH二2・
（1）求DE的长：
（2）延长ED到P,过P作00的切线，切点为C,
若PC二22亦，求PD的长.
附加基础题:
1.
下列五个命题：
（1）两个端点能够重合的弧是等弧：
（2）圆的任意一条弧必左把
圆分成劣弧和优弧两部分：
（3）经过平而上任意三点可作一个圆；
（4）任意一个圆有且只有一个内接三角形；
（5）三角形的外心到各顶点距离相等.其中真命题有（）.
A・1个B.2个C・3个D.4个
2.如图1,00外接于△ABC,AD为00的直径，ZABC二30°
则ZCAD=（）・
B・40°
C.50°
D.60°
0是AABC的外心，且ZABC+ZACB二100°
则ZBOC=（）・
A.100°
B.120°
C.130°
D.160°
4.如图2,ZkABC的三边分别切00于D,E,F,若ZA=50°
则ZDEF=（）・
A.65°
B・50°
D.80°
5.RtAABC中，ZC二90°
AB二5,内切圆半径为1,则三角形的周长为（）.
A.15B・12C.13D.14
6.已知两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程丘-4x+3二0的两根，那么这两个圆的位置关系是（）.
A.外离B.外切C.相交D.内切
7.00的半径为3cm,点M是00外一点，0M=4cm,则以M为圆心且及O0相切的圆的半径一泄是（）.
A・1cm或7cmB・lcmC・7cmD・不确定
8.一个扇形半径30cm,圆心角120°
用它作一个圆锥的侧而，则圆锥底而半径为（）.
A.5cmB・10cmC.20cmD.30cm
二、填空题.
1.O0中，弦MN把00分成两条弧，它们的度数比为4：
5,如果T为MN中点，则ZTM0二，则弦MN
所对的圆周角为.
2.00到直线L的距离为d,00的半径为R,当d,R是方程x=4x+in二0的根，且L及00相切时•m的值为.
如图3,ZkABC三边及。
0分别切于D,E,F,已知AB二7cm,AC二5cm,AD二2cm,则
BC=・
4.已知两圆外离，圆心距"
12,大圆半径R二7,则小圆半径r的所有可能的正整数
值为.
十、切线长上理
切线长立理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
-PA.PB是的两条切线
.PA=PB
PO平分ZBPA
例1、如图2,AABC的三边分别切00于D,E,F,若ZA=50°
则ZDEF二（
2、如图3,ZkABC三边及€>
0分别切于D,E,F,已知AB二7cgAC二5cmAD二2cm,
则BC=
3、如图，正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为（
A.2B.2^3J厲D.3
4、如图，从点P向。
0引两条切线PA,PB,切点为A,B,AC为弦，BC为00的直径,若ZP二60°
PB=2cm,求AC的长.
十一、两圆公共弦立理
圆公共弦立理：
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：
垂直平分A3。
•••00“00?
相交于A.B两点
AOp2垂直平分AB
十二、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在OO中4ABC是正三角形.有关计算在RtABOD中进行:
OD:
BD:
OB=\:
*:
2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt^OAE中进行，OE:
AE:
OA=1:
1：
V2：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在R临OAB中进行，AB:
OB:
OA=i:
^-2.
例1、两等圆半径为5,圆心距为8,则公共弦长为.
例2、正六边形内接于圆.它的边所对的圆周角是（）
C.60或120D.30°
或150°
例3、如图，O0是等边三角形ABC的外接圆，的半径为2,则等边三角形A3C的边长为（）
A.2、/5B・C・*D・2>
/5
K半径分别为8和6且圆心距为10的公共弦长为
2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm,则其外接圆的半径为•
3、如图5,00的半径为少，ZkABC是O0的内接等边三角形，将ZkABC折叠，使点A落
在O0上，折痕EF平行BC,则EF长为
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（P132）
Ar厂>
25^p-
考査运用弧长公式（/=△）以及扇形而积公式（S=」一和
180360
S=-lr）进行有关的il•算，常以填空题或选择题的形式进行考查.
2
1、扇形：
（1）弧长公式：
1=空；
（2）扇形而积公式：
S='
^-=-lR
1803602
H：
圆心角/?
：
扇形多对应的圆的半径/：
扇形弧长S:
扇形面积
2、圆柱:
（1）圆柱侧而展开图
S&
=S侧+2S底二2兀rh+Mr1
（2）圆柱的体积：
V=nrh
3、圆锥：
（2）圆锥侧面展开图
（1）S\,=S“（+=jtRf+7TK
（2）圆锥的体积：
V=-nrh
例:
L已知扇形的圆心角为120°
弧长等于半径为5cm的圆的周长，则扇形的而积为（）
A^75cm:
B、75^cm:
C、150cm:
D^150/Tcm，
例2、底而面积为髙为3的圆柱的表而积和体积分别为：
例3、圆锥的母线长5cm,底而半径长3cm,那么它的侧而展开图的圆心角是（）
A.180°
B.200°
C.225°
D.216。
例4.AB为G>
0的直径，点C在OO上，过点C作。
O的切线交的延长线于点D,已知ZD=30°
.⑴求ZA的度数：
⑵若弦CF丄AB,垂足为&
且CF=4V3,求图中阴影部分的而积.（15分）
/
4
1.方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分三个小扇形的而积
和为（结果保留兀）・
2、已知00的半径为8cm,点A为半径0B的延长线上一点，射线AC切O0于点C,弧BC
8的长为—龙cm,求线段AB的长。
3
综合复习题:
1.下列命题中，正确命题的个数为（）・
①平分弦的直径垂直于弦；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③90。
的圆周角所对的弦是直：
④圆周角相
等，则它们所对的弧相等.
3、如图1,四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，
00的半径为2,P是0O上的点，且位于右上方的小正方形内，则ZAPB等于（）
B.45。
C・60°
D・90。
4、一条弦把半径为8的圆分成长度为1:
2的两条弧，则这条弦长为（
A、4巧B、8>
/3C.8D.16
5、如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E,ED及BA的延长线
交于点C,且有DC=OE,若ZC=20°
则ZEOB的度数是（）
A.40°
B.50°
C.60°
D.80c
6、在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是苗和则ZBAC的度数为
1、如图，CD是00的直径，弦AB丄CD,连接OA,OB,BD.若ZAOB=100°
则ZABD=度.
8、如图，AB是。
0的直径，CD丄AB于点E,交00于点D,0F丄AC于点F.
ZD=30°
BC=1,求圆中阴影部分的而积为：
9、如图，AB为半0O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B,C两点的半QO的
切线交于点几若的长是则用的长
10、如图，PA.切00于A,3两点，CD切O0于点E,分别交PA.PB
及点C、D,若PA,PB的长是关于关于X的一元二次方程X?
—〃!
％+（加一1）=0的两个根，求血0的周长.
11、如图，在OM中，弧AB所对的圆心角为120°
已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴及弧AB的交点。
（1）求圆心H的坐标：
（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大而积
课后习题:
一、选择题：
1、下列说法正确的是（）
A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆
2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm,且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆的半径为（）
A.3B.4C.2或4D.2或6
3、已知圆锥的底而半径为3,髙为4,则圆锥的侧而积为（）。
6、半径相等的圆内接正三角形.正方形.正六边形的边长之比为
C.V3：
VI：
1D.3：
2：
1
7、在ZkABC中，AB是00的直径，ZB=60°
ZC=70°
则ZB0D的度数是・
8、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A3是小圆的切线，点P为切点，且AB=4,OP=2,连
结Q4交小圆于点E,则扇形的而积为
9、如图0A,OB,0C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm,则图中三个扇形的而积之和为（）
A.—an"
B・—c〃广C.—cm"
D・—cm
12864
10、如图，已知扇形OAB的半径为12,0A丄OB,C为0B上一点，以0A为直径的半圆0’和以BC为直径的半圆0：
相切于点D,则图中阴影部分的而积为：
（）
A.6兀B.10兀C.12兀D.20%
11、矩形ABCD中，对角线AC=4,ZACB=30°
以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表而积是
12.扇形的圆心角度数60。
而积6n,则扇形的周长为
三.解答题：
13、如图，BC为OO的直径，AD丄BC,垂足为D.弧AB等于弧AF,BF和AD相交于E・证明：
AE=BE
16、已知AB是00的直径，AP是的切线，A是切点，BP及00交于点C.
（1）如图①若AB二2,ZP二30°
求AP的长（结果保留根号）：
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：
直线CD是O0的切线.
17、线段AB及00相切于点C,连接0A、OB,0B交00于点D,已知0A二0B二6cm,AB二求:
（1）<
30的半径；
（2）圆中阴影部分而积.
18、如图，在RtAABC中，ZC=90°
0为直角边BC上一点，以0为圆心，0C为半径的圆P合好及斜边AB相切
于点D,及BC交于另一点E.
AAOC^AAOD：
（2）若BE=LBD二3,求©
0的半径及图中阴影部分的面积S・
19、如图，AB、BC、CD分别及00切于E、F>
G,且AB〃CD・连接OB、0C,延长CO交00于点M,
过点M作MN〃OB交CD于N・
⑴求证：
MN是00的切线；
⑵当0B二6cm,0C=8cm时,求O0的半径及MN的长.
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