苏北数学建模A题获奖论文.pdf

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2013第第十十届届五一五一数学建模联赛数学建模联赛承承诺诺书书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）：

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1.2.3.日期：

2013年5月1日2013第第十十届届五一五一数学建模联赛数学建模联赛编编号号专专用用页页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：

评阅记录评阅人评分备注裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：

参赛队伍的参赛号码：

（请各参赛队提前填写好）：

2013第第十十届届五一五一数学建模联赛数学建模联赛题目大学生体质健康大学生体质健康评价模型评价模型摘摘要要近年来，大学生的体质健康水平呈下降趋势，因此对大学生体质健康的评价问题将为如何提高体质健康水平具有很重要的现实指导意义。

本论文在已有研究成果进行总结和评价的基础上，依据国家学生体质健康标准，以身高、体重、台阶指数、肺活量、立定跳远、握力体重指数（坐位体前屈）六项指标作为模型构建的指标体系。

在问题一中为了研究体重对体质健康的影响，由于单独的体重没有比较意义，因此本论文采用国际通用的BMI指数来代替体重对体质健康影响的判断，通过统计分析法可以定性的得出体重对体质健康有着弱的负影响。

为了消除异常数据对统计结果的影响，本论文先是采用了常规的比较分析法对原始数据进行初判，得出的结果不是很理想，于是改用t-检验法，通过t统计量与临界值的比较，可以很好的判别出异常值的存在。

问题二检测不同地区对学生的体质健康是否具有显著性差异，本文采用了分层抽样的方法抽取了80个样本数据，并对样本数据进行了地区与各项指标之间的单因素方差分析，结果显示地区对各项指标的显著性检验的p值均明显大于置信水平0.05，表明地区对学生的体质健康没有显著性差异。

问题三先依据国家学生体质健康标准建立了权重系数模型，对全体进行了综合评价，评价结果显示该校学生体质健康不及格率达到53.1%，及格率为31.8%，优秀率和良好率之和仅为15.1%。

为了克服人为评价的局限性因此我们又运用了判别分析及数理统计方法，对样本进行了多元判别分析，构建了分级模型。

然后，对模型的有效性进行检验，结果表明该模型的判别效果是非常显著的。

同时，为了验证模型的适用性与有效性，用预测样本（1班的29名学生）对模型进行进一步的检验，评价结果显示该班学生体质健康不及格率达到75.9%，及格率为13.8%，优秀率和良好率之和仅为10.3%。

结果表明模型的实际判别能力还是比较理想的，对于评价大学生体质健康水平是有很大的借鉴意义的。

总之，制订的大学生体质健康综合评价分级模型，可对学生个体或群体的体质健康状况进行综合评价，具有一定的分类和鉴别作用。

关键字：

体质健康t-检验系统聚类判别分析1一、问题重述近年来，大学生的体质健康水平呈下降趋势。

中国大学生体质调查显示，2010年国民体质监测结果与1985年相比，肺活量下降了近10%；大学女生800米跑、男生1000米跑的成绩分别下降了10.3%和10.9%，立定跳远成绩分别下降了2.72厘米和1.29厘米；学生或者过重或者过瘦。

影响大学生的体质健康水平的原因很多，对大学生体质健康的评价问题将为如何提高体质健康水平有现实指导意义。

学生体质健康状况已经纳入对学校整体工作的评价体系中，大学生的体质健康测试成为高等院校必须完成的任务。

各高校每年都会对在校大学生做体质健康测试，将测试的结果反馈教育部，并及时公布。

体质测试主要包括身体形态、身体机能、身体素质等方面。

我们对某高校大一新生36个班级共1000多名学生进行了体质与健康测试，测试的项目和结果见附件表1，由于测试过程中学生未能按照要求规范测试，导致测量结果中出现一些偏差，进而影响了体质健康的测试，附表2为大一新生各项测试评分标准，请回答下列问题：

问题1：

影响大一新生的体质健康状况的因素很多，体重是体现体质健康状况的重要指标，分析体重对体质健康的影响；在体质健康测试中，测试结果可能存在误差，在附表1中，有些测量数据不能反映同学的真实水平，根据附表1数据，请建立数学模型检验测试结果的正确性和准确性，找出附表1中1、2、3班同学的可能偏差测试结果，并说明理由。

问题2：

生源地是影响体质健康状况的因素，请在不同生源地选取适当的样本，试检验不同地区学生的体能健康是否具有显著差别。

问题3：

目前，我国体能测试主要采用国家体质健康标准对学生体质进行评价，根据附表2中（男生：

sheet1；女生：

sheet2）项目评价标准，试建立体质健康评价模型，评价该校学生的体质健康状况，并对1班的30名同学进行体质健康评价。

问题4：

我国大多数高校学生体质健康合格率未达到国家要求，对于未达标的大一新生来说，就如何让学生在在校期间提高自身的体质健康写一份建议报告书，其中包括提高体质健康水平的措施和手段，如何量化提高体质健康指标等问题。

二二、问题假设问题假设1.假设无测量误差。

2.假设样本中学生身体健康均无重大疾病。

3.所给指标足够体现学生体质健康水平。

4.假设所选学生样本均能代表生源地体质健康的一般水平。

三三、符号说明符号说明1.mT：

t-检验统计量。

2.pT：

t-检验临界值。

23.mx：

待定异常值。

4.mx：

待定异常值的均值。

5.ms：

待定异常值的标准值。

6.F：

综合得分。

7.iX：

i=1.6,分别表示身高、体重、台阶指数、肺活量、立定跳远、握力体重指数（坐位体前屈）。

8.1F：

类别1得分。

9.2F：

类别2得分。

10.3F：

类别3得分。

11.4F：

类别4得分。

四四、模型的建立与求解模型的建立与求解4.14.1问题问题11：

分析体重对体质健康的影响；根据数据，建立数学模型检验测试结果的正确性和准确性，找出附表1中1、2、3班同学的可能偏差测试结果，并说明理由。

4.11问题分析体重是体现体质健康状况的重要指标，要分析体重对体质健康的影响，不能够研究体重对体质健康的直接影响，只能够分析体重对体质健康的间接影响。

对于此处即分析体重对台阶测试、握力（坐卧体）、肺活量，跳远等的影响，根据经验单独的体重研究具有不合理性，只有将体重与身高结合起来才能说明真正的体重状况，因此选用BMI指数，即用体重公斤数除以身高米数平方得出的数字，此是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准。

通过BMI指数我们将此大学生人群分为：

过轻，正常，超重，肥胖四个等级，对应指数如下：

表4-1-1.体重指标然后根据各个等级中的人数分布我们对体重于健康状况的一个总体概述。

异常值出现的情况有指标值的过大或过小,存在偏离该指标大多数观测值，有着人为和非人为的因素，对统计数据一般有着不小的影响。

先对数据进行直观的观察，即用简单的比较分析法来判断数据有无明显的异常值，然后在根据数理知识来定量的判断异常值。

怎样判断一组统计数据中的异常值也是统计研究中的一项重要的课题，根据查阅文献可以得知，现在也还没有比较完备的模型用来比较，最终通过综合比较，采用t-检验法检测指标间异的常值。

BMI指数男性女性过轻低于20低于19正常20-2519-24过重25-3024-24肥胖30-3529-343t-t-检验法原理检验法原理：

已知正态样本的一组观测值1x，2x，nx,其中mx为可疑异常值，t-检验法统计量：

mmmmxxTs，t-检验法的临界值为:

）2

（1）（ntnnnTpp，其中x、ms为可疑值mx的样本均值和标准偏差，分别为：

111nmiiimxxn，nmiiimxxns12）（21，当它的统计量大于临界值时：

mT（）pTn，就判为异常值。

pT的下标p是百分数，由下式决定：

1,12,p（单侧检验）（双侧检验），检测异常值一般取=0.01，故一般p=0.99或p=0,995。

且式中）2（ntp是自由度为（n-2）的t分布的p分位数。

一般“数理统计”教材的附录都有“t分布的分位数表”，分布的分位数表”。

）（nTp列成表可查附录中附件3。

4.12模型的建立与求解体重对体质健康的影响体重对体质健康的影响：

任选100个数据的样本（由于全部样本过大），我们先做BMI指数与肺活量，台阶测试、握力体重指数（坐位体前屈），立定跳远等变量的相关性。

表4-1-2.变量相关性检验从相关系数的显著性结果来看，只有台阶测试的p值大于0.05，即BMI指数对台阶指数有显著影响，且是负相关，还有BMI对立定跳远的相关系数也为负数，尽管其p值不能大于0.05。

总之此处虽然有着显著性检验不能通过，但是还是可以粗略的看出体重对体质健康有着影响，且可能是负影响。

下面看能否对其进行定量的分析，观察BMI数据对各个变量的散点图，如下：

4图4-1-1.BMI数据对各个变量的散点图从上散点图可以的看出，BMI指数与各变量之间不能够看出来有什么明显的函数关系，因此也就不能对其进行定量分析，则下面对体重影响健康状况进行详细的定性分析。

根据国家体质健康标准，将数据根据过轻，正常，超重，肥胖进行分组统计出不合格率，统计结果如下：

表4-1-3.男女体重情况比重身高体重等级男%女%总计%过低19825.95%5818.95%25623.95%正常40953.60%21871.24%62758.65%超重11715.33%278.82%14413.47%肥胖395.11%30.98%423.93%总计763100.00%306100.00%1069100.00%由上表看出身高体重低于正常水平的男女生的比率相近,分别占男生的25.95%和女生18.95%,而体重超过正常水平的男女生比率相差较大,分别占男生20.44%和女生的9.9%。

表4-1-4.男女各项指标不及格情况身高体重等级台阶测试（不及格）男：

握力女：

坐位体（不及格）跳远（不及格）肺活量体重指数（不及格）总分等级（不及格）性别人数%人数%人数%人数%人数%男较低4020.20%17387.37%8542.93%4623.23%15678.79%正常7819.07%31677.26%20650.37%5312.96%24058.68%5超重3429.06%8169.23%6858.12%65.13%7463.25%肥胖1128.21%3179.49%2564.10%410.26%3179.49%男总16321.36%60178.77%38450.33%10914.29%50165.66%女较低23.45%35.17%2339.66%712.07%46.90%正常125.50%135.96%11854.13%5223.85%4621.10%超重13.70%311.11%2281.48%1451.85%1866.67%肥胖133.33%00.00%3100%3100%3100%女总165.23%196.21%16654.25%7624.84%7123.20%总计17916.74%62058.00%55051.45%18517.31%57253.51%图4-1-2.男生各项指标不及格率情况柱形图图4-1-3.男生各项指标不及格率情况柱形图由表可得：

肥胖男女生所有四项运动能力均大幅下降,总分及格率（男27.0%,女9%）也明显下降,肥胖是影响体质健康的一大障碍。

正常体重和较低体重男女生中,。

较低体重的男女生在四项体能测试中表现出不及格率均高于正常体重的男女生,总分及格率也低于正常体重的男女生。

则我们认为男女生的有些差距不是差在体能上而是差在身高体重上。

说明体质测试评分的标准并不是绝对以体能为依据的,也兼顾到了身高体重有关身体发育的指标。

身高体重超重的男生在台阶测试和跳远的不及格率分别达到28.21%和64.10%高于正常体重（19.07%和50.37%）。

男生表现出随着体重的增加,体能测试项目中有的项目及格率降低,有的不变。

超重的女生四项体能测试及格率均远低于正常体重的女生,女生表现出随着体重的增加运动能力呈现逐渐下降的趋势。

6异常值检测异常值检测：

方法一方法一：

比较分析法比较分析法：

通过对数据的观察比较分析，根据日常的常识和标准，可以粗略的看出一些过分异常的数据，如有些数据中出现零值或负值，有些数据过分的大或过分的小，还有些变量结合在一起看可以发现有明显的不合常理性。

如此题处可以明显的发现学号为120039,120043的体重与身高就有着不协调性，有些不合日常标准，学号为120059和120087的台阶测试的结果有些明显的偏小了，学号120004和学号1200059的肺活量数据就有些偏大了。

比较分析法带有着主观性和难判性，对检验的结果必然会有着不合理性，因此还需使用数理统计法进行定量的检验，下用t-检验法进行检测。

方法二方法二：

t-t-检验法检验法：

由于t-检验法需要数据服从正态分布，则先对1、2、3班数据进行正态性检验，用SPSS做出身高、体重、肺活量，台阶测试、握力体重指数（坐位体前屈），立定跳远的P-P图（见附录中附件2），因为男女有差别，所以对数据进行分男女处理。

从PP图可明显看出所有检测变量基本是沿一条直线分布，因此可以判定此些数据均近似符从正态分布。

此处还应加上一个BMI指数，因为如果检验出BMI指数可以反映出身高和体重的搭配是否不合理。

显然BMI指数也近似服从正态分布。

下面分别对身高、体重、肺活量，台阶测试、握力体重指数（坐位体前屈），BMI指数，（分男女）的各个变量计算统计量mT，根据上述原理，编写MATLAB程序（程序见附录中附件1）计算出mT的值，所求结果见附表3。

1、2、3班男生数有72个，女生有16个，我们检验的值取01.0，则p=0.99，通过后面附录中的附件3的t-检验临界表可得男生数据的检验临界值T（722）2.325p，女生的数据的检验临界值T（162）2.78p，通过比较mT与pT的值，比pT大的数据即为异常值，比较说得最终结果附表3：

异常值检测，从结果中可以得出1、2、3班学号为120002,120004,120011,120017等15位同学的数据有异常,其中女生有学号分别为120055,120058，对学号120002和120004的同学来说，检测出的是肺活量数据异常，一个明显高于一般值，一个明显低于一般值。

用t-检验法可以定量化的检测出一组统计数据中的异常值，克服了比较分析法的主观臆断性，对异常值有着很好的研判结果。

4.24.2问题问题22：

选取适当的样本，试检验不同地区学生的体能健康是否具有显著差别。

4.21问题的分析首先数据庞大，需对数据进行抽样处理，此处共有1070个数据，其中还有异常数据，学生共分布8个不同的地区，我们采用常用的分组抽样的方法抽取样本，又由于各地区人数分布不均，导致有些地区不可能抽取到足够多的数据，我们通过各地区人数的综合比较，最终每组抽取10人，即样本为分成8组，每组10人，共80人的数据。

地区对体能健康的影响，是一个分类型变量对另一个数值型变量的影响，即单因素的影响问题，又由问题一可得，数据均由正态性，则对此问题的显著性检验采用单因素方差分析法有比较好的结果。

单因素方差分析采用的是F统计量，进行F检验，总的变异平方和记为SST，分解为两个部分：

一部分是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间离差平方和）；另一部7分由随机变量引起的SSE（组内离差平方和）。

于是有SST=SSA+SSE其中，kiiixxn12）（SSA，k为水平数；in为第i个水平下的样本容量。

可见，组间样本离差平方和是各组均值和总体均值离差的平方和，反映了控制变量的影响。

kinjiijixx112）（SSE，组内离差平方和是每个试验结果与本组平均值离差的平方和，反映了数据抽样误差的大小程度。

F统计量是平均组间平方和与平均组内平方和的比，计算公式为：

）（）1（SSAFknSSEk，从F值计算公式可以看出，如果控制变量的不同水平对试验结果有显著的影响，那么试验结果的组间离差平方和必然大，F值也就比较大；相反，如果控制变量的不同水平没有对试验结果造成显著的影响，那么，组内离差平方和影响就会比较大，F值就比较小。

4.22显著性检验：

单因素方差分析采用上述所说的分组抽样的方法，抽出80个样本，由于是抽样的方法，此处除了将总体样本中含有明显错误的数据剔除外就没有再对总体做异常值检测了，因为这时异常值对样本数据的影响是可以忽略的，我们所抽取的样本见附表4。

要比较各地区的体质健康是否有显著性的影响，即比较地区对身高、体重、肺活量，台阶测试、握力体重指数（坐位体前屈），立定跳远等变量是否有显著性影响，从数据来看，首先可以可以观测各个变量均值是否有显著。

然后从总体上来进行单因素方差分析。

使用SPSS单因素分析方法进行数据处理和分析，其中因变量分别为身高、体重、肺活量，台阶测试、握力体重指数（坐位体前屈），立定跳远，因素变量为8个不同的地区。

表4-2-1是8个地区样本的各变量描述性统计量表（见附录中附件4），由表可得各变量的均值，标准差均相差不大，初步估计差异不大。

检验样本方差齐性，得到如4-2-1所示的表格，从表4-2-1的检验结果看出，各个变量的显著性概率均P均大于0.05，即方差具有齐次性。

表4-2-1.方差齐性检验Levene统计量df1df2显著性身高1.097772.374体重1.187772.321肺活量.863772.540台阶测试1.556772.163握力体重指数.665772.701立定跳远.904772.5098表4-2-2.方差分析表ANOVA平方和df均方F显著性身高组间536.730776.6761.439.203组内3835.4677253.270总数4372.19779体重组间1011.1847144.455.958.469组内10860.97672150.847总数11872.16079肺活量组间10062464.38871437494.9131.913.080组内54097268.30072751350.949总数64159732.68879台阶测试组间627.688789.670.768.616组内8406.50072116.757总数9034.18879握力体重指数组间1040.6497148.664.566.781组内18904.17572262.558总数19944.82479立定跳远组间.5327.076.634.726组内8.62172.120总数9.15279表4-2-2为方差分析表，从表中的结果可以看出，方差来源包括组间离差、组内离差和总离差；以跳远为例，组间离差平方和（SSA）为0.532，组内离差平方和（SSE）为8.621，总离差平方和（SST=SSA+SSE）为9.152。

Df为自由度，组间自由度为7，组内自由度为72，总自由度为79。

均方是平方和与自由度之比，组间均方为0.076，组内均方为0.120。

从以上数据计算得到F值等于0.634，对应的概率P为0.726，大于0.05，表明地区对立定跳远的结果没有显著性影响。

同理观查表中其他变量的F值和P值，可以发现F值均比较小，P值均大于显著性水平0.05，因此地区对其他变量的影响均不显著。

综上所述，不同地区学生的体能健康不具有显著差别。

4.34.3问题问题33：

试建立体质健康评价模型，评价该校学生的体质健康状况，并对1班的30名同学进行体质健康评价。

4.31问题分析对健康体质的评价就是根据各变量对总体的综合评价，此处首先想到根据各个变量占有的权重来对总体进行评分，根据国家学生体质健康标准大学生评价项目权重，对应权9重如下表：

表4-3-1.权重系数表标准体重台阶实验肺活量体重指数（BMI指数）立定跳远握力体重指数（坐位体前屈）权重系数0.100.300.200.200.20根据权重系数建立权重方程模型各个测试项目的得分之和为国家学生体质健康标准的最后得分，根据最后得分来评定等级:

90分以上为优秀，76分一89分为良好，60分一74分为及格、59分及以下为不及格，分为优秀、良好、及格、不及格四个等级。

考虑到这种权重模型具有严重的不变性和主观性，更有计算的繁琐性，则我们考虑采用系统聚类分析和判别分析结合起来建立的分级模型，先用聚类分析对总体进行聚类，然后用Fiser判别法对结果进行回判。

4.32模型的建立与求解模型一模型一：

权重系数模型权重系数模型数据的处理：

根据问题一中的异常值检测方法，对样本总体中的异常值进行剔除。

根据附表2的大学生各项测试项目评分标准对各项数据评分，评分结果见附表5。

根据国家学生体质健康标准给定的各项系数的权重，建立模型如下，设F为综合得分，12345,xxxxx分别为身高体重指数、台阶指数、肺活量、立定跳远、握力体重指数（坐位体前屈）则建立模型：

123450.20.10.30.20.2Fxxxxx，然后再根据模型对整体进行评分，并根据得分判出等级（结果见附表5）。

对1班的评级结果柱形图如下图4-3-1.1班学生体质健康状况人数柱形图10图4-3-1.1班学生体质健康状况男女比例柱形图根据柱形图可以很清晰的看出体质健康不及格的人数占有大多数的比例，不及格率为64%，及格率为16%，优秀率和良好率之和仅为20%。

，大多数的人均分布在及格与不及格之间。

由模型可以得出该学校的大学生体质健康水平偏下。

模型二模型二：

分级模型分级模型原始数据的处理：

用聚类分析对原始数据的处理如下表所示：

表4-3-2.聚类分析结果（男）学号学号身高身高体重体重肺活量肺活量台阶测台阶测试试握力体握力体重指数重指数立定跳立定跳远远类别类别120001167.361.145616559.42.221120002171.75721346547.11.882120003167.266.736044640.22.311120004176.26757624049.42.173120005173.761.638705440.82.231120006162.155.635905839.22.141120007172.867.140055039.42.151120008174.567.548934644.42.131200091677138095050.41.98112001017357.739834543.31.931表4-3-3.聚类分析结果汇总（女）学号学号身高身高（cmcm）体重体重（kg）（kg）肺活量肺活量（ml）（ml）台阶测台阶测试试坐位体坐位体前屈前屈立定跳立定跳远远（m）（m）类类别别120024162.350.424505122.61.781120025162.848.630115020.11.672120026162.354.932454916.81.64212002716454.825224719.31.651120028158.750.625706313.51.651120029154.45317085111.21.71112