拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现.pdf

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第2l卷第3期2008年6月四川理工学院学报（自然科学版）V0121No3JOURNALOFSICHUANUNIVERSITYOFSCIENCEENGINEERING（NATURALSCIENCEEDITION1Jun2008文章编号：

1673-1549（2008）03-0001-02拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现谢焕田，吴艳（临沂师范学院数学系，山东临沂276005）摘要：

文章基于区域转化的思想，通过MATLAB编程实现了四分之一圆域上拉普拉斯方程的有限差分方法，数值实验表明了方法的可行性和正确性关键词：

拉普拉斯方程；有限差分；Matlab中图分类号：

024182文献标识码：

A众所周知，拉普拉斯方程争+等=o是最简单的椭圆型偏微分方程之一，其定解问题的数值解法主要有有限元法和有限差分法等，传统上人们认为有限元法擅长计算复杂区域上椭圆型偏微分方程的定解问题但有限元法计算步骤较为复杂和抽象，功能强大的成熟软件MATLAB弥补了这一缺点但其中的PDE工具箱仅能计算边界条件为常数的边值问题，鉴于以上情况，本文考虑如下边值问题等+等=0（x，y）E力

（1）10。

仁，们力且x=0“力=矿似纠E力且y=0

（2）【16矿一20x3+5x，似纠力且x+y=l其中IrbG，力舻+严1，且xo，），o。

首先利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转化，进而通过MATLAB编程实现了上述边值问题的极坐标下的有限差分方法，数值实验结果表明了此方法的可行性和正确性。

1有限差分法的介绍有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法之一，其基本思想是把连续问题离散化，即首先对求解区域作网格剖分，用有限个网格节点代替连续区域；其次将微分算子离散化，从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题，解方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

参照文献【1】，给出有限差分法数值计算的基本步骤：

（1）区域的离散或子区域的划分。

（2）插值函数的选择。

（3）方程组的建立。

（4）方程组的求解。

2问题的转化首先，将不规则求解区域力转换为规则区域，令庐rcosO,y=rsinO，则直角坐标系下的四分之一单位圆域lf2就转化为如下的带状区域，=f（r，日）10sr冬1，0口s儡r2l其次，将x=rcosO,y=rsinO带入方程

（1）进行化简，此时拉普拉斯方程形如一参（r等）+告】一c3，3问题的分析按照有限差分法的求解步骤，首先将带状区域厂_f（r，们IOsrsl,0_0zu2进行网格剖分，分别取等步长坼和。

令r=（r+05）h，i=0，1，2，Oj=（j+1）h口，j=o，l，j-1，产2刀利用中心差商公式得到逼近方程（3）的差分方程121一上r丘出虻血趔塑h丛业趾咕牛】：

0【”一惦J-v有了以上格式就可以得到代数方程组进行求解。

收稿日期：

2008-03-04基金项目：

国家自然科学基金（10671086）作者简介：

谢焕田（1982），男，山东临沂人，硕士，主要从事偏微分方程数值解方面的研究万方数据2四川理工学院学报（自然科学版）2008年6月4问题的MATLAB编程根据前面的分析利用MATLAB编制程序如下：

网格剖分tar=50；nc=nr；,dr=1（nr-1）；dc=pi2（ne-1）；n=111奉nc；r=zeros（nr，nc）；c=r；fori_l：

nrforj=l：

nck=（i-1）宰nc+j；r（k）=dr乖（i一1）；c（k）=dc奉（j1）；endend差分方程的建立a=zems（n,n）；b=zeros（n，1）,U=zeros（n，1）；dr2=dr+dr；de2=dc幸dc；内点差分：

fori=2：

nr-1forj=2：

nc-1kij=（i-1）+nc+j；iO=kij-ne；il=kij+ne；jO=kij-1；jl=kij+l；a（kij，kij）=-2Jdr2-2dc2r（kij）r（kij）；a（kij，il）=ldr2+l（r（kij）木2+dr）；a（kij，i0）=1dr2-1（r（kij）+2木dr）；a（kij,j1）=1dc2r（kij）r（kij）；a（kij,jO）-1dc2r（kij）r（kij）；endend处理边界条件fori-l：

nrkl=i宰nc；a（kl，k1）=1；b（k1）=0；k2=l+（i-1）+nc；a（k2，k2）=l；s=r（k2）木cos（c（k2）；b（k2）=s5；endforj=hnck3-j；a（k3，k3）=1；b（k3）=0；k4=（nr-1）+nc+j；a（k4，k4）=1；sl=cos（c（k4）；b（k4）=16s15-20sl3+5sl；end，解方程组AU=Bu=a、b：

5结果分析根据坐标转换的一一对应关系，将求得的结果利用MA，rIAB中的surf函数可以画出数值解、真解及其误差的的三维立体图形。

在图1中我们分别给出了数值解和真解的三维立体图形，比较可以看出数值解可以较好的逼近真解，具体误差如图2所示，从中可以看出在步长约为002的情况下最大绝对误差不超过5x10-4。

图1数值解与真解的比较图2误差6结束语通过本文结果可以知道，对于椭圆型偏微分方程当求解域是圆域、环形域或扇形域时，采用极坐标求解是方便可行的，同时启示我们对于复杂求解域区域转化的方法是值得研究的。

参考文献：

【l】赵得奎，刘勇MATLAB在有限差分数值计算中的应用【J】四川理工学院学报，2005，18（铆：

6l一641【2】李荣华偏微分方程数值解法【M】北京：

高等教育出版社，2005【3】王飞，裴永祥有限差分方法的MATLAB编程【J】新疆师范大学学报，2003，22（4）：

2227ActualizationofFiniteDifferenceMethodforLaplaceEquationbyMatlabXEHuan-tian,WUYah（DepartmentofMathematics，LinyiNormalUniversity，Linyi276005，China）Abstract：

Inthispaper,afinitedifferencemethodforlaplaceequationisactualizedbyMatlab，whichisbasedonregionconversionNumericalresultshowsthemethodisfeasibleandcorrectKeywords：

Laplaceequation；finitedifference；Matlab万方数据拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现作者：

谢焕田，吴艳，XIEHuan-tian，WUYan作者单位：

临沂师范学院数学系,山东临沂,276005刊名：

四川理工学院学报（自然科学版）英文刊名：

JOURNALOFSICHUANUNIVERSITYOFSCIENCE&ENGINEERING（NATURALSCIENCEEDITION）年，卷（期）：

2008,21（3）被引用次数：

6次参考文献（3条）参考文献（3条）1.赵得奎;刘勇MATLAB在有限差分数值计算中的应用期刊论文-四川理工学院学报2005（04）2.李荣华偏微分方程数值解法20053.王飞;裴永祥有限差分方法的MATLAB编程期刊论文-新疆师范大学学报2003（04）本文读者也读过（6条）本文读者也读过（6条）1.梁志辉用差分法计算柱坐标系的拉普拉斯方程期刊论文-信息系统工程2009（10）2.贾新民.严文有限差分法求解拉普拉斯方程期刊论文-昌吉学院学报2009（5）3.熊彬.阮百尧MATLAB在有限差分法中的应用期刊论文-桂林工学院学报2001,21

（2）4.王飞.裴永祥有限差分方法的MATLAB编程期刊论文-新疆师范大学学报（自然科学版）2003,22（4）5.王忆锋.唐利斌.WANGYi-feng.TANGLi-bin利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程期刊论文-红外技术2010,32（4）6.史策.SHICe热传导方程有限差分法的MATLAB实现期刊论文-咸阳师范学院学报2009,24（4）引证文献（6条）引证文献（6条）1.魏正曦图像阈值自动选取算法的C+实现期刊论文-四川理工学院学报（自然科学版）2010（4）2.薛琼.肖小峰热传导方程有限容积法的MATLAB实现期刊论文-武汉理工大学学报（交通科学与工程版）2011（6）3.梁金明.魏正曦Ostu算法的改进研究期刊论文-四川理工学院学报（自然科学版）2010（5）4.梁丽丹.张民悦有优先权4部件冷贮备Markov可修系统的可靠性分析期刊论文-四川理工学院学报（自然科学版）2011（3）5.谭铭.徐复宁.王慧异型电容器电场强度分布仿真模拟期刊论文-实验室研究与探索2013（11）6.史策热传导方程有限差分法的MATLAB实现期刊论文-咸阳师范学院学报2009（4）本文链接：

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